Математика з ЩА ⚡️ Підготовка до НМТ 2026

🔥 Функції, задані формулою Продовжуємо тему «Функції». Якщо раніше ми аналізували властивості за готовим графіком, то тепер навчимося робити це за формулою. Саме такий формат викликає труднощі у здобувачів через часте нерозуміння, що взагалі треба робити з формулою. 🔍 Функція — це залежність змінної 𝑦 від змінної 𝑥, за якої кожному значенню 𝑥 відповідає одне значення 𝑦. 🔍 𝑥 — незалежна змінна (аргумент), 🔍 𝑦 — залежна змінна (функція). ✈️ Приклади: 🔍 𝑦 = 3𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥² – 4𝑥, 𝑦 = √(𝑥 – 2) — функції; 🔍 𝑥 + 2𝑦 = 5, 𝑦² + 𝑥 = 1, √𝑥 + √𝑦 = 4 — рівняння. ✈️ Основні характеристики функції за формулою. Розглянемо їх на прикладі функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5. 1️⃣ Перетин із віссю 𝑦 — це точка, у якій 𝑥 = 0. ✈️ Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 маємо 𝑦 = 0² – 6⋅0 + 5 = 5 🔍 точка (0; 5). 2️⃣ Перетин із віссю 𝑥 — це точки, у яких 𝑦 = 0. ✈️ Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 маємо: 0 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 𝑥² – 6𝑥 + 5 = 0 𝑥 = 1 або 𝑥 = 5 🔍 точки (1; 0) і (5; 0). 3️⃣ Нулі функції — це всі значення аргументу, за яких 𝑦 = 0. ✈️ Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 маємо: 🔍 нулі: 𝑥 = 1 і 𝑥 = 5. 4️⃣ Область визначення функції — це всі значення 𝑥, для яких функція (формула) має зміст. ✈️ Приклад. Для 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 обмежень немає, тому: 🔍 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞). 5️⃣ Множина значень функції — це всі значення, які приймає функція 𝑦. ✈️ Приклад. Функцію 𝑦 = 𝑥² – 6𝑥 + 5 перепишемо у зручному вигляді: 𝑦 = (𝑥² – 6𝑥 + 9) – 9 + 5 = (𝑥 – 3)² – 4. Оскільки (𝑥 – 3)² ⩾ 0, то (𝑥 – 3)² – 4 ⩾ –4, тобто 𝑦 ⩾ –4. 🔍 𝐸(𝑦) = [–4; +∞). 🔍 Область визначення: основні випадки 1️⃣ Многочлени. Функції виду

𝑦 = 𝑎ₙ𝑥ⁿ + … + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀

не мають обмежень. ✈️ Приклад. Для функції 𝑦 = 2𝑥³ – 𝑥 + 7 маємо 𝐷(𝑦) = (–∞; +∞). 2️⃣ Дробово раціональні функції. Знаменник таких функцій не може дорівнювати нулю. ✈️ Приклад. Для функції 𝑦 = (𝑥 – 4)/(𝑥 + 1) маємо: 𝐷(𝑦): 𝑥 + 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ –1 🔍 𝐷(𝑦) = (–∞; –1) ∪ (–1; +∞). 3️⃣ Функції з коренем парного степеня. Підкореневий вираз таких функцій має бути невід’ємним. ✈️ Приклад. Для функції 𝑦 = √(2𝑥 + 6) маємо: 𝐷(𝑦): 2𝑥 + 6 ⩾ 0 → 𝑥 ⩾ –3 🔍 𝐷(𝑦) = [–3; +∞). 🔍 Шматково-задана функція — функція, яка описується різними формулами на різних проміжках аргументу. ✈️ Загальний вигляд:

𝑓(𝑥) = { 𝑓₁(𝑥), якщо 𝑥 ∈ 𝐼₁, 𝑓₂(𝑥), якщо 𝑥 ∈ 𝐼₂, ... 𝑓ₙ(𝑥), якщо 𝑥 ∈ 𝐼ₙ. }

де: 🔍 𝑓(𝑥) — позначення функції. 🔍 𝑓₁(𝑥), 𝑓₂(𝑥), ..., 𝑓ₙ(𝑥) — формули, що визначають функцію на різних інтервалах. 🔍 𝐼₁, 𝐼₂, ..., 𝐼ₙ — інтервали, на яких діють відповідні формули. Важливо, щоб ці інтервали не перекривалися (крім можливо точок з'єднання) і в сукупності покривали всю область визначення функції. ✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = { –𝑥, якщо 𝑥 < –1, 2, якщо –1 ⩽ 𝑥 ⩽ 1, 𝑥², якщо 𝑥 > 1. } Ця функція визначена трьома різними формулами на трьох різних інтервалах: 🔍 при 𝑥 < –1 маємо 𝑓(𝑥) = –𝑥; 🔍 на відрізку [–1; 1] маємо 𝑓(𝑥) = 2; 🔍 при 𝑥 > 1 маємо 𝑓(𝑥) = 𝑥². 📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах. 💬 Задавайте свої питання в коментарях! 🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🎄 Різдвяна магія мовою функцій Поки ми з вами опановуємо тему «Графіки функцій» світ навколо готується до свята. І навіть головний символ Різдва можна описати за допомогою математичних формул. Нехай ваші знання зростають за експонентою, а всі життєві негаразди прагнуть до нуля і стають горизонтальною асимптотою. ☃️ Вітаємо з прийдешнім Різдвом! Бажаємо, щоб Ваша траєкторія успіху була лише зростаючою 📈; настрій завжди перебував у верхній півплощині (𝑦 > 0)🔼; кожна складна задача мала елегантне рішення. ✨ 🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

💬 Виконайте завдання та пишіть свої відповіді в коментарі.