Lav Math | Вышмат 🧡

Доклад прошёл хорошо! 🦊 После ужина был на литературном вечере и обсуждал задачи с научницей. А ещё вчера был красивый закат! #Жизнь

Первый доклад

🐱 Конференция по теории вероятностей 🐱 Сегодня приехал в Дивноморское на международную конференцию по стохастическим методам. Завтра начнутся доклады. Мне очень повезло: мой доклад будет в первый день. Это значит, что можно рассказать и дальше спокойно сидеть, слушать другие доклады, не переживать в ожидании своей очереди. 😌 #Жизнь

30* на улице. Я не был готов…

📍 Сегодня в Москве 📍 Ещё в 5 утра был в СПб, а сейчас уже добираюсь до мехмата МГУ. Сегодня защита диссертации, я — оппонент. Надо продумать, что говорить, когда дадут слово, ведь мероприятие важное! Для меня всё в новинку. Во-первых, впервые побываю внутри мехмата. Во-вторых, впервые с другой стороны защиты диссертации. 👏 #Жизнь

Напоминаю, что во вторник начинается интенсив по временным рядам и случайным процессам. Ещё есть возможность присоединиться! 💫

Пусть T — угол выстрела. Он имеет равномерное распределение на интервале от -𝝅/2 до 𝝅/2.

Y = R*tg(T)

— величина, распределение которой мы ищем. Тогда из

y = R*tg(t)

следует

t = arctg(y/R), t’ = R/(y^2+R^2).

Из этого делаем вывод, что плотность Y равна:

f(y) = 1/𝝅 *R/(y^2+R^2)

(Формула плотности при дифференцируемом преобразовании. На самом деле просто замена переменной в интеграле.) Полученное распределение называется распределением Коши. У него нет математического ожидания, так как интеграл от y/(R^2 + y^2) расходится в бесконечности. Удивительно то, что про пушку мы можем сказать, что выстрел в среднем происходит под углом 0* (есть и конечная дисперсия), но про ординату попадания сказать подобное нельзя. #Вышмат #Математика #Контент

🎲 Дисперсия 🎲 [2/2] При разговоре про математическое ожидание и дисперсия периодически приходится добавлять фразу: «Если они существуют». Для удобства далее будем рассуждать в терминах моментов, то есть EX^p. Момент существует, если E|X|^p < infty. 🟠. В случае, когда дискретная случайная величина распределена на конечном множестве, существуют все моменты: EX, EX^2, EX^3, … В том числе и дробные величины, и отрицательные (если определена p-ая степень от значений). 🟠. Для моментов порядка >=1: если существует старший момент, то существуют и младшие моменты. В частности, существование дисперсии влечёт существование математического ожидания. Обратное неверно. Насколько часто можно встретить пример, когда нет математического ожидания? Рассмотрим задачу:

На плоскости в начале координат находится пушка. На расстоянии R>0 от начала координат находится бесконечный экран, задающийся уравнением x=R. Пушка выбирает случайный угол от -90* до 90* для выстрела. На экране фиксируется попадание. Какое распределение имеет координата Y точки попадания (R,Y)? Существует ли математическое ожидание и дисперсия у угла выстрела? Существует ли математическое ожидание и дисперсия у ординаты точки попадания?

Решение в следующем посте. #Контент #Вышмат #Математика

🎲 Дисперсия 🎲[1/2] Вспомним пример из серии постов выше: X принимает значения +-1 с вероятностью 1/2, Y принимает значения +-1000 с вероятностью 1/2. В среднем эти величины равны 0: EX = 0, EY = 0. Но у них отличается разброс значений относительно среднего. Дисперсия случайной величины — это средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего: DX = E(X-EX)^2. С точки зрения физики — момент инерции тела относительно центра тяжести. В примере выше DX = 1*1/2 + 1*1/2 = 1 DY = 1000 000*1/2 + 1000 000*1/2 = 1000 000. Один из первых вопросов, который возникает после определения, почему именно квадрат? Можно ли рассмотреть средний модуль отклонения или средний куб модуля отклонения? Ответ — да, можно, и используются другие моменты, кроме второго центрированного. Но у данного выше определения есть существенное преимущество. Случайные величины, имеющие конечный второй момент и нулевой первый, образуют линейное пространство (то есть их можно трактовать как абстрактные векторы). На этом пространстве можно определить скалярное произведение — ковариацию. Полученное евклидово пространство геометрически легко интерпретируемо. Свойства ковариации становятся естественными, а дисперсия приобретает смысл квадрата длины вектора. 🤓 #Контент #Вышмат #Математика

📈 Интенсив по временным рядам и случайным процессам 📈 Продолжаем развивать канал в сторону теории вероятностей и математической статистики! Приглашаю на серию уроков, посвященных практически полезным моделям эконометрики и случайных процессов. 12, 14, 16, 19, 21, 23 мая 19:00-20:30. Предстоящие темы: 1) Регрессия. Метод наименьших квадратов. 2) Введение в теорию временных рядов. Основные понятия. 3) Стационарность временного ряда. Тест Дики-Фуллера (DF-тест, ADF-тест). 4) Авторегрессия AR, скользящее среднее MA. Двойственность данных моделей. 5) ARMA, ARIMA, GARCH -модели. 6) Введение в теорию случайных процессов. Основные понятия. 7) Понятие мартингала. 8) Пуассоновский процесс. 9) Винеровский процесс (броуновское движение). 10) Введение в теорию стохастических дифференциальных уравнений. 11) Стохастический интеграл и формула ИТО. 12) Геометрическое броуновское движение (GBM). 13) Применение стохастического анализа к выводу рациональной стоимости опциона (формула Блэка-Шоулза). Ряд теоретических фактов будет дан без доказательств, а вот основные результаты по озвученным темам будут выведены для глубокого понимания. Материал будет адаптирован под всех участников, но предполагается базовое знание теории вероятностей и математической статистики. Так как курс не простой, предварительно нужно написать в ЛС @lav_100k немного о себе и о текущем уровне знаний и степени знакомства с темами курса. Видеозаписи будут доступны в закрытой беседе всем участникам неограниченное время. Стоимость: 18 тыс. рублей за все уроки. P.S. На курсе будем учиться моделировать процессы в Python. #Математика #Вышмат #Интенсивы #Финмат

🦊 Математическое ожидание 🦊 [3/3] Математическое ожидание является теоретическим средним. Возникает вопрос, как можно оценить его, не зная точно значение, но имея выборку из некоторой генеральной совокупности? Для этого используется эмпирический аналог среднего — выборочное среднее. Выборочное среднее является случайной величиной, равной среднему арифметическому наблюдений. Пусть X_1,….,X_n— выборка из некоторого распределения, имеющего математическое ожидание, тогда выборочное среднее есть T = (X_1+…+X_n)/n. По закону больших чисел данная статистика является состоятельной оценкой математического ожидания, то есть при больших значениях n вероятность, что T отклонится от EX больше, чем на положительный эпсилон, стремится к нулю. Дополнительно Т является несмещённой оценкой ЕХ, а при наличии дисперсии у распределения, ещё и асимптотически нормальной. Про эти свойства оценок уже немного писал здесь. #Математика #Вышмат #Контент

🦊 Математическое ожидание 🦊 [2/3] Рассмотрим игру.

Симметричный шестигранный кубик подбрасывают 1 раз. Если выпадает 1, 2, 3, 4 или 5 очков, нам платят столько денежных единиц, какое число выпало. Но если выпадает 6, мы должны заплатить 21 денежную единицу. Стоит ли сыграть в эту игру?

Ответ на поставленный вопрос неоднозначен. Можно сказать, что вероятность хоть какого-то выигрыша 5/6 больше вероятности проигрыша 1/6. Но при таком рассуждении не учтены размеры выигрыша и проигрыша. Рассудим с точки зрения математического ожидания нашей прибыли:

EX = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6-21*1/6 = -1.

Полученное отрицательное значение говорит нам о том, что в среднем мы в проигрыше от этой игры (-1 денежная единица). А сыграв 1000 раз мы среднем потеряем 1000 денежных единиц. Казалось бы, все просто, берём любую игру, считаем средний выигрыш и делаем вывод, стоит ли играть. Но само по себе математическое ожидание — необъективная оценка подобного рода игр. Например, если мы равновероятно выигрываем и проигрываем 1 денежную единицу, то средняя прибыль — 0. Такое же среднее значение прибыли было бы при игре, где равновероятно можно выиграть и проиграть 1000 денежных единиц. С точки зрения средних игры не отличаются, но во второй игре разброс значений прибыли вокруг среднего значительно шире, чем в первой игре. Нужно измерить этот разброс, оценить возникающий риск. Об этом будет дальше! #Математика #Вышмат #Контент

🦊 Математическое ожидание 🦊 [1/3] Поговорим про роль математического ожидания. Начнём с геометрии и физики. Математическое ожидание — есть средневзвешенное значений случайной величины с весами, равными вероятностям. Если величина дискретная, то это сумма произведений значений величины на соответствующие вероятности. Если величина абсолютно непрерывная, то это интеграл значений величины на плотность в соответствующей точке.* Геометрический и физический смысл математического ожидания — центр тяжести тела или системы тел. Так, например, математическое ожидание случайной величины X, принимающей значения 3 с вероятностью 1/3 и 6 с вероятностью 2/3, есть

EX = 3 * 1/3 + 6 * 2/3 = 5.

Это можно трактовать так: если в точке 3 невесомого стержня находится груз массой 1/3 кг, а в точке 6 — груз массой 2/3 кг, то, поставив точку опоры в точку 5, рычаг будет в равновесии. Чтобы понять непрерывный случай, вновь обратимся к физике 7 класса. Масса однородного тела равна произведению плотности на объём. Если тело состоит из нескольких однородных кусков, то масса равна сумме произведений соответствующих плотностей на объёмы кусков тела. В общем случае, рассматривая бесконечно малые элементы объёма, получаем

m = ∫ pdV.

У нас суммарная вероятностная мера (аналог массы) равна 1, поэтому m=1. И для случайной величины малый элемент объёма меняется на малый элемент длины, а плотность — на линейную плотность. Координата центра тяжести тела находится аналогично дискретному случаю:

EX = ∫ xp(x)dx.

На физическом уровне строгости прийти к этой формуле можно такими же рассуждениями, как была получена интегральная формула для массы. *Для математиков: интеграл случайной величины по вероятностной мере, если это интеграл определен. #Контент #Вышмат #Математика

👨‍💻 Про события и планы 👨‍💻 🟠. Второй набор олимпиадной группы успешно прошёл весь курс. В отличие от первого курса, было больше теории вероятностей, немного теории графов, меньше теории чисел. Очередной набор планируется в июне. В этот раз участники были больше ориентированы на ШАД, поэтому решали задачи из вариантов прошлых лет. Следующий набор в олимпиадную группу планирую в середине июня. 🟠. Теория вероятностей пользуется большим спросом среди студентов и специалистов в различных областях. Планирую создать курс по случайным процессам и основным моделям эконометрики. Про это будет пост совсем скоро. 🟠. Наконец-то завершилась эпопея с экзаменом-пересдачей-комиссией по ТВ. Вчера принял двух последних человек. Предыдущий семестр закрыт! 🟠. В мае буду оппонентом на защите диссертации! Новые опции после защиты, поеду в Москву. А сейчас читаю сам диссер, пишу отзыв. 🟠. Думаю, о чём написать посты, но пока что особо нет вдохновения)) Много разноплановой работы, устаю. Но если есть пожелания, про что хотите почитать, пишите! #Жизнь #Вышмат #Математика

🎧 Загадка и задача 🎧 Мне очень нравится загадка (детская):

Молодого человека подставили и приговорили к казни. Однако есть шанс её избежать. Перед казнью приговорённому дают мешок с двумя камнями — чёрным и белым. Если приговорённый достанет чёрный камень, то его казнят, если белый — помилуют. В ночь перед исполнением приговора враги молодого человека подмели камни в мешочке, теперь там два чёрных камня. Об этом узнали друзья молодого человека и сообщили ему, на что он сказал: «Теперь я помилован». Почему?

Отгадка: Нужно достать камень и со всей силы кинуть его в сторону. Чтобы палач понял, какой камень достал приговорённый, нужно заглянуть в мешок. Эта загадка является представителем целого класса более сложных задач. Одну из них предлагаю вам!

10 человек стоят в колонне один за одним. Им на головы надевают колпаки трёх цветов (красный, зелёный, синий). Каждый видит только колпаки тех, кто стоит перед ним. Так, например, последний человек в колонне видит 9 колпаков, предпоследний — 8 колпаков, а первый — 0 колпаков. Далее все по очереди, начиная с последнего человека, называют цвета. Все участники слышат и помнят, что говорили до него. Цель — назвать цвет своего колпака. Участникам разрешено договориться о стратегии. Докажите, что существует стратегия, при которой верно будут названы хотя бы 9 цветов.

#Контент #Вышмат #Математика

🐱 Бот @lav_math_bot снова работает 🐱 Вновь можно присылать заявки на уроки и решение задач через него! ✏️ Большая благодарность моему другу. Сам бы не смог справиться с проблемами, которые возникли в связи с блокировками телеграмма! #Контент

🙁 Про решение задач с помощью ИИ 🙁 [2/2] Раньше меня очень сильно напрягали три вещи: 1) TeXать матрицы и всё, что с ними связано; 2) TeXать презентации; 3) Рисовать картинки, строить графики функций для статей и презентаций. Но теперь все три пункта очень удобно делать с помощью ИИ. Кстати, спасибо всем, кто накидал ещё идей под предыдущим постом! ❤️ С 3 пунктом я работаю так: либо прошу именно заTeXать нужную картинку (присылаю каким-либо способом нарисованную картинку с подробным описанием), либо прошу написать код на python для данной картинки, после компилирую. Второй вариант зачастую оказывается более эффективным. 🧑‍💻 #Контент #Математика #Вышмат

🙁 Про решение задач с помощью ИИ 🙁 [1/2] Сейчас уже тяжело представить учёбу/работу без использования ИИ. Расскажу, какому алгоритму следую при решении задач (в основном возникающих в науке). Стандартный набор открытых окон: DeepSeek, GPT, Desmos, Prisma. По поим наблюдениям, DeepSeek значительно хуже справляется с заданиями, но его основной плюс, что без всяких подписок нет ограничений на количество запросов. Поэтому он выступает в роли слабого, но очень инициативного саппорта. GPT выдаёт значительно более взвешенные результаты, но ограничение по количеству файлов и фотографий ощутимо влияет на качество работы. Обновляется он раз в сутки, поэтому основная цель — реализовать два точных запроса с файлами и фотографиями каждый день. Prisma работает на основе GPT и помогает быстро TeXать. Desmos — подручный калькулятор (в основном у меня много работы с функциями). Алгоритм работы: 🟠. С помощью Prisma и DeepSeek я формирую LateX-файл, в котором есть все основные результаты с доказательствами, требующиеся для решения основной задачи. 🟠. Сам аккуратно проверяю файл, согласую обозначения, что-то правлю, что-то редактирую. Добавляю ссылки на существующие книги. В конце формирую ключевую проблему, которую нужно решить. Если решение с неточностями есть, то пишу и его. Но не указываю, где есть дырки, чтобы проконтролировать GPT. 🟠. Отправляю подробный запрос GPT. Прикладываю файл и нужные фотографии. Прошу навести мощную критику и завершить доказательство. 🟠. Результат его ответа внимательно проверяю. Ну а дальше либо есть прогресс, либо жду нового дня. На одну итерацию уходит около 1,5-2 часов, но и результаты впечатляют. 🥹 Каждый день появляется мотивация сделать прогонку актуальной проблемы. А как только заканчиваются запросы либо захожу в тупик, так сразу останавливаюсь, чтобы завтра начать с начала. 🤓 #Математика #Вышмат #Контент

🥺 Еду домой после приема пересдачи по теории вероятностей 🥺 В этот раз подготовились значительно лучше. Из 14 человек только одна двойка! И есть две пятёрки. Однако очень много неявок (около 10), поэтому придётся ехать и на третью попытку :( #Математика #Вышмат #Жизнь

👨‍💻 Сегодня был очередной рекордный рабочий день 👨‍💻 4:00 Подъём, подготовка к занятиям 7:40 - 8:40 Случайно уснул 8:50 - 9:50 Матан 10:00 - 12:00 Олимпиадная группа (тоже был теорвер) 12:30 - 13:30 Матан 14:00 - 15:00 Матан 15:10 - 16:10 Теорвер 16:50 - 17:50 Матан 18:00 - 19:00 Матан 19:10 - 20:40 Теорвер Итого: 9,5 часов уроков. Завтра посвободнее!) Нужно будет составить и проверить домашки. А во вторник еду принимать пересдачу по теорверу на физфаке СПбГУ ! 😈 Из проблем: из-за блокировки ТГ перестал работать бот, надо будет пофиксить. Весна уже заряжает энергией! 🔥 #Жизнь #Вышмат #Мотивация