Lav Math | Вышмат 🧡

🧸 Про стратегию 🧸 [2/2] Расскажу стратегию, которую однажды провернул! На первом курсе в летнюю сессию экзамен по алгебре был сначала в смежной группе, а потом у нас. Основной блок вопросов был посвящен теории групп. На тот момент я плохо понимал, что происходит. Сдавать как-то надо… Накануне экзамена я дождался, когда выйдет первый человек из смежной группы. Выяснил у него, какой был билет и сколько человек в итоге пришло на экзамен. Этот билет я выучил идеально. И решил рискнуть. На следующий день я первым забежал сдавать. Преподаватель еще не успел разложить билеты. Я отсчитал сверху нужное количество билетов (согласно количеству человек с экзамена смежной группы), переворачиваю… а там — тот самый единственный идеально выученный билет!!! 😎 Сдал тогда на 4, на допах оступился) #Контент #Вышмат #Математика

🧸 Про стратегию 🧸 [1/2] Продолжается пора экзаменов. Кто-то уже словил дизмораль, кто-то просто устал и ждёт, когда это всё кончится. Летняя сессия (особенно на 1 курсе) воспринимается тяжело. На улице хорошая погода, уже подходит к концу первый летний месяц, а нужно сдавать экзамены. Возникают мысли о пересдаче — мол, все лето впереди, успею подготовиться. И осенью легко сдам. Не попадитесь в эту ловушку! Нужно бороться сейчас. Лето пролетит быстро, новый семестр загрузит заботами и сдавать будет в разы сложнее. 😈 Успешная сдача экзамена связана со стратегией. Я уже неоднократно говорил, что понимание предмета может прийти лишь через месяц, год или несколько лет. Это не должно останавливать. Важно чётко знать правила экзамена, разобрать необходимый минимум, выучить все ключевые определения. Далее уже частичка удачи — знакомый билет и хороший проверяющий… 🙏 #Контент

🧑‍🦯 Вчера принимал экзамен по матану 🧑‍🦯 В ИТМО был экзамен — матан 2 семестр у физиков. Принял всего 6 человек за 3 часа. Так как ассистентов было много, можно было не торопиться, пробежаться по всему списку вопросов. Никак не могу понять, нравится ли мне принимать экзамены или нет. С одной стороны — да, сидишь, слушаешь, задаёшь вопросы, придумываешь примеры и контрпримеры на те или иные лжеутверждения студентов. С другой стороны — нет, так как иногда приходится ставить двойки. И отдельный минус — приходится ставить баллы. Очень тяжело оценивать ответ от 0 до 40 баллов. 28 это как? А 31? А вообще, позовите меня принимать линейную алгебру… 👉 #Контент #Жизнь

🥺 Про кризис после защиты диссертации 🥺 Немного грустный для меня пост. Ничего подобного ранее не писал, но уже полгода в раздумьях, решил поделиться с вами. Для меня защита кандидатской диссертации была, наверное, одним из самых важных событий в жизни. Волнительно, ответственно. И я приложил массу усилий для быстрого достижения цели, потому и закончил аспирантуру за 2 года. В голове была какая-то галочка, что мне железно нужна степень, дабы самому себе доказать, что я могу. Ожиданий было много. И почему-то в голове я делил жизнь на до защиты и после. В итоге всё прошло хорошо и очень быстро. Один день защита, потом через несколько месяцев получил корочку. Но ничего кардинально не поменялось. Точно такая же жизнь, но без конкретной цели. За столько лет я привык постоянно учиться. Сначала нужно было сдать ЕГЭ, потом защитить диплом, после — диссертацию. А теперь что? Говорить о докторской рано, да и не пишется она целенаправленно — это результат многолетней работы, когда циклы статей уже образуют большой самостоятельный труд. Какие были предприняты меры для выхода из ситуации: 🟠. Интенсивно работать — здорово, но конкретной цели в этом нет. 🟠. Отдохнуть и переключиться — пробовал, не получается после матфака и стольких лет пахоты выделить хотя бы месяц на перекур. 🟠. Спорт, творчество — в этом я действительно нашёл себя, разгрузился, перезагрузился, ведь для прогресса тоже нужно чему-то учиться, хоть и по-другому. 🟠. Начать что-то совершенно новое — об этом я действительно задумался, начал немного разбираться в финансах и программировании. Пока что на этом мысли обрываются, но я ещё буду рассуждать о жизненном пути, ведь так и сам смогу разобраться, и какой-то мудрый совет в комментариях найду и, возможно, кому-то смогу помочь разобраться с похожей ситуацией! 🥺 #Жизнь #Мысли

🚴‍♂️ Планы на июнь 🚴‍♂️ 🟠. Уже вернулся с конференции, приступил к работе: сессия в полном разгаре — помогаю при подготовке к экзаменам. Поэтому репетиторство — основное. 🟠. Про работу в универах: В СПбГУ зачёты уже проставил, а в ИТМО ещё предстоит быть ассистентом на двух экзаменах (математический анализ) 👆 🟠. Погода в Питере как раз для роликов. Ещё и белые ночи скоро — самое время кататься. Ближе к вечеру особый шик мчаться на светящихся колёсах! 🎹 🟠. Раз в недельку с друзьями будем играть в бадминтон. И надо бы, конечно, в большой теннис как-нибудь попробовать. #Жизнь

🙏 Настоящая математическая жизнь 🙏 Фотокарточки из окрестности Геленджика в правильном неправильном порядке ото всюду, где мы были! Топ-1 моё культурное потрясений за эту поездку — открытый фуникулёр… Было бесконечно красиво и безумно страшно. Всю ночь потом не спал, мерещилось, что снова-снова еду по канатке… Уже четвёртый раз был на этой конференции. И так совпало, что в этом году приехало очень много друзей. С кем-то мы видимся раз в неделю, с кем-то — раз в полгода, с кем-то — раз в год, а с кем-то и того реже. Поэтому каждая минута бесценна. Интернета не было. Мы вставали в 8 утра, шли на завтрак, потом — на доклады. В этом году нас раскидали по всем дням (обычно ставят подряд). Море в 5 минутах от конференцзала. Купаться было холодно, но это не останавливало. После обеда/ужина гуляли. И по пути домой ближе к 2 часам ночи мы шли на пляж покидать камни и посмотреть на звёздное небо! Только что мы разъехались и увидимся теперь в августе в Казани. Но я уже скучаю… 🥹 #Жизнь

Доклад прошёл хорошо! 🦊 После ужина был на литературном вечере и обсуждал задачи с научницей. А ещё вчера был красивый закат! #Жизнь

Первый доклад

🐱 Конференция по теории вероятностей 🐱 Сегодня приехал в Дивноморское на международную конференцию по стохастическим методам. Завтра начнутся доклады. Мне очень повезло: мой доклад будет в первый день. Это значит, что можно рассказать и дальше спокойно сидеть, слушать другие доклады, не переживать в ожидании своей очереди. 😌 #Жизнь

30* на улице. Я не был готов…

📍 Сегодня в Москве 📍 Ещё в 5 утра был в СПб, а сейчас уже добираюсь до мехмата МГУ. Сегодня защита диссертации, я — оппонент. Надо продумать, что говорить, когда дадут слово, ведь мероприятие важное! Для меня всё в новинку. Во-первых, впервые побываю внутри мехмата. Во-вторых, впервые с другой стороны защиты диссертации. 👏 #Жизнь

Напоминаю, что во вторник начинается интенсив по временным рядам и случайным процессам. Ещё есть возможность присоединиться! 💫

Пусть T — угол выстрела. Он имеет равномерное распределение на интервале от -𝝅/2 до 𝝅/2.

Y = R*tg(T)

— величина, распределение которой мы ищем. Тогда из

y = R*tg(t)

следует

t = arctg(y/R), t’ = R/(y^2+R^2).

Из этого делаем вывод, что плотность Y равна:

f(y) = 1/𝝅 *R/(y^2+R^2)

(Формула плотности при дифференцируемом преобразовании. На самом деле просто замена переменной в интеграле.) Полученное распределение называется распределением Коши. У него нет математического ожидания, так как интеграл от y/(R^2 + y^2) расходится в бесконечности. Удивительно то, что про пушку мы можем сказать, что выстрел в среднем происходит под углом 0* (есть и конечная дисперсия), но про ординату попадания сказать подобное нельзя. #Вышмат #Математика #Контент

🎲 Дисперсия 🎲 [2/2] При разговоре про математическое ожидание и дисперсия периодически приходится добавлять фразу: «Если они существуют». Для удобства далее будем рассуждать в терминах моментов, то есть EX^p. Момент существует, если E|X|^p < infty. 🟠. В случае, когда дискретная случайная величина распределена на конечном множестве, существуют все моменты: EX, EX^2, EX^3, … В том числе и дробные величины, и отрицательные (если определена p-ая степень от значений). 🟠. Для моментов порядка >=1: если существует старший момент, то существуют и младшие моменты. В частности, существование дисперсии влечёт существование математического ожидания. Обратное неверно. Насколько часто можно встретить пример, когда нет математического ожидания? Рассмотрим задачу:

На плоскости в начале координат находится пушка. На расстоянии R>0 от начала координат находится бесконечный экран, задающийся уравнением x=R. Пушка выбирает случайный угол от -90* до 90* для выстрела. На экране фиксируется попадание. Какое распределение имеет координата Y точки попадания (R,Y)? Существует ли математическое ожидание и дисперсия у угла выстрела? Существует ли математическое ожидание и дисперсия у ординаты точки попадания?

Решение в следующем посте. #Контент #Вышмат #Математика

🎲 Дисперсия 🎲[1/2] Вспомним пример из серии постов выше: X принимает значения +-1 с вероятностью 1/2, Y принимает значения +-1000 с вероятностью 1/2. В среднем эти величины равны 0: EX = 0, EY = 0. Но у них отличается разброс значений относительно среднего. Дисперсия случайной величины — это средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего: DX = E(X-EX)^2. С точки зрения физики — момент инерции тела относительно центра тяжести. В примере выше DX = 1*1/2 + 1*1/2 = 1 DY = 1000 000*1/2 + 1000 000*1/2 = 1000 000. Один из первых вопросов, который возникает после определения, почему именно квадрат? Можно ли рассмотреть средний модуль отклонения или средний куб модуля отклонения? Ответ — да, можно, и используются другие моменты, кроме второго центрированного. Но у данного выше определения есть существенное преимущество. Случайные величины, имеющие конечный второй момент и нулевой первый, образуют линейное пространство (то есть их можно трактовать как абстрактные векторы). На этом пространстве можно определить скалярное произведение — ковариацию. Полученное евклидово пространство геометрически легко интерпретируемо. Свойства ковариации становятся естественными, а дисперсия приобретает смысл квадрата длины вектора. 🤓 #Контент #Вышмат #Математика

📈 Интенсив по временным рядам и случайным процессам 📈 Продолжаем развивать канал в сторону теории вероятностей и математической статистики! Приглашаю на серию уроков, посвященных практически полезным моделям эконометрики и случайных процессов. 12, 14, 16, 19, 21, 23 мая 19:00-20:30. Предстоящие темы: 1) Регрессия. Метод наименьших квадратов. 2) Введение в теорию временных рядов. Основные понятия. 3) Стационарность временного ряда. Тест Дики-Фуллера (DF-тест, ADF-тест). 4) Авторегрессия AR, скользящее среднее MA. Двойственность данных моделей. 5) ARMA, ARIMA, GARCH -модели. 6) Введение в теорию случайных процессов. Основные понятия. 7) Понятие мартингала. 8) Пуассоновский процесс. 9) Винеровский процесс (броуновское движение). 10) Введение в теорию стохастических дифференциальных уравнений. 11) Стохастический интеграл и формула ИТО. 12) Геометрическое броуновское движение (GBM). 13) Применение стохастического анализа к выводу рациональной стоимости опциона (формула Блэка-Шоулза). Ряд теоретических фактов будет дан без доказательств, а вот основные результаты по озвученным темам будут выведены для глубокого понимания. Материал будет адаптирован под всех участников, но предполагается базовое знание теории вероятностей и математической статистики. Так как курс не простой, предварительно нужно написать в ЛС @lav_100k немного о себе и о текущем уровне знаний и степени знакомства с темами курса. Видеозаписи будут доступны в закрытой беседе всем участникам неограниченное время. Стоимость: 18 тыс. рублей за все уроки. P.S. На курсе будем учиться моделировать процессы в Python. #Математика #Вышмат #Интенсивы #Финмат

🦊 Математическое ожидание 🦊 [3/3] Математическое ожидание является теоретическим средним. Возникает вопрос, как можно оценить его, не зная точно значение, но имея выборку из некоторой генеральной совокупности? Для этого используется эмпирический аналог среднего — выборочное среднее. Выборочное среднее является случайной величиной, равной среднему арифметическому наблюдений. Пусть X_1,….,X_n— выборка из некоторого распределения, имеющего математическое ожидание, тогда выборочное среднее есть T = (X_1+…+X_n)/n. По закону больших чисел данная статистика является состоятельной оценкой математического ожидания, то есть при больших значениях n вероятность, что T отклонится от EX больше, чем на положительный эпсилон, стремится к нулю. Дополнительно Т является несмещённой оценкой ЕХ, а при наличии дисперсии у распределения, ещё и асимптотически нормальной. Про эти свойства оценок уже немного писал здесь. #Математика #Вышмат #Контент

🦊 Математическое ожидание 🦊 [2/3] Рассмотрим игру.

Симметричный шестигранный кубик подбрасывают 1 раз. Если выпадает 1, 2, 3, 4 или 5 очков, нам платят столько денежных единиц, какое число выпало. Но если выпадает 6, мы должны заплатить 21 денежную единицу. Стоит ли сыграть в эту игру?

Ответ на поставленный вопрос неоднозначен. Можно сказать, что вероятность хоть какого-то выигрыша 5/6 больше вероятности проигрыша 1/6. Но при таком рассуждении не учтены размеры выигрыша и проигрыша. Рассудим с точки зрения математического ожидания нашей прибыли:

EX = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6-21*1/6 = -1.

Полученное отрицательное значение говорит нам о том, что в среднем мы в проигрыше от этой игры (-1 денежная единица). А сыграв 1000 раз мы среднем потеряем 1000 денежных единиц. Казалось бы, все просто, берём любую игру, считаем средний выигрыш и делаем вывод, стоит ли играть. Но само по себе математическое ожидание — необъективная оценка подобного рода игр. Например, если мы равновероятно выигрываем и проигрываем 1 денежную единицу, то средняя прибыль — 0. Такое же среднее значение прибыли было бы при игре, где равновероятно можно выиграть и проиграть 1000 денежных единиц. С точки зрения средних игры не отличаются, но во второй игре разброс значений прибыли вокруг среднего значительно шире, чем в первой игре. Нужно измерить этот разброс, оценить возникающий риск. Об этом будет дальше! #Математика #Вышмат #Контент

🦊 Математическое ожидание 🦊 [1/3] Поговорим про роль математического ожидания. Начнём с геометрии и физики. Математическое ожидание — есть средневзвешенное значений случайной величины с весами, равными вероятностям. Если величина дискретная, то это сумма произведений значений величины на соответствующие вероятности. Если величина абсолютно непрерывная, то это интеграл значений величины на плотность в соответствующей точке.* Геометрический и физический смысл математического ожидания — центр тяжести тела или системы тел. Так, например, математическое ожидание случайной величины X, принимающей значения 3 с вероятностью 1/3 и 6 с вероятностью 2/3, есть

EX = 3 * 1/3 + 6 * 2/3 = 5.

Это можно трактовать так: если в точке 3 невесомого стержня находится груз массой 1/3 кг, а в точке 6 — груз массой 2/3 кг, то, поставив точку опоры в точку 5, рычаг будет в равновесии. Чтобы понять непрерывный случай, вновь обратимся к физике 7 класса. Масса однородного тела равна произведению плотности на объём. Если тело состоит из нескольких однородных кусков, то масса равна сумме произведений соответствующих плотностей на объёмы кусков тела. В общем случае, рассматривая бесконечно малые элементы объёма, получаем

m = ∫ pdV.

У нас суммарная вероятностная мера (аналог массы) равна 1, поэтому m=1. И для случайной величины малый элемент объёма меняется на малый элемент длины, а плотность — на линейную плотность. Координата центра тяжести тела находится аналогично дискретному случаю:

EX = ∫ xp(x)dx.

На физическом уровне строгости прийти к этой формуле можно такими же рассуждениями, как была получена интегральная формула для массы. *Для математиков: интеграл случайной величины по вероятностной мере, если это интеграл определен. #Контент #Вышмат #Математика

👨‍💻 Про события и планы 👨‍💻 🟠. Второй набор олимпиадной группы успешно прошёл весь курс. В отличие от первого курса, было больше теории вероятностей, немного теории графов, меньше теории чисел. Очередной набор планируется в июне. В этот раз участники были больше ориентированы на ШАД, поэтому решали задачи из вариантов прошлых лет. Следующий набор в олимпиадную группу планирую в середине июня. 🟠. Теория вероятностей пользуется большим спросом среди студентов и специалистов в различных областях. Планирую создать курс по случайным процессам и основным моделям эконометрики. Про это будет пост совсем скоро. 🟠. Наконец-то завершилась эпопея с экзаменом-пересдачей-комиссией по ТВ. Вчера принял двух последних человек. Предыдущий семестр закрыт! 🟠. В мае буду оппонентом на защите диссертации! Новые опции после защиты, поеду в Москву. А сейчас читаю сам диссер, пишу отзыв. 🟠. Думаю, о чём написать посты, но пока что особо нет вдохновения)) Много разноплановой работы, устаю. Но если есть пожелания, про что хотите почитать, пишите! #Жизнь #Вышмат #Математика