موسوعة البرهان

معضلة برمجية: كيف تكشف حلقة مفرغة (دائرة لانهائية) في مسار بيانات؟

💡 معضلة برمجية ورِياضية مع الحل: كيف تجد الرقم المفقود بالمرور على الأرقام مرة واحدة فقط؟

كيف تقارن بين أعداد ضخمة جداً مكتوبة على شكل قوى دون تجاوز عدد الخانات المسموح؟ مسألة شهيرة وحلها

بعض رموز الهندسة الإقليدية ومعانيها

كلما تأملتُ في الهندسة الإقليدية، كلما ازددتُ يقيناً أنها لم تُستنفَد بعد. أنشر اليوم الطبعة الخامسة من بحثي: موسوعة منهجية لعائلات المثلثات الخاصة في الهندسة الإقليدية، مبنية على تصنيف دقيق يقوم على المواضع الهندسية أحادية البُعد. الفكرة المركزية بسيطة في صياغتها، عميقة في تداعياتها: لكل شرط هندسي تفرضه على مثلث، يرسم الرأس الحر مساراً في المستوى — دائرة، أو قطعة ناقصة، أو ليمنيسكاتة برنولي، أو منحنى جبرياً من درجة أعلى. هذا المسار هو بصمة الشرط، وهو ما يُبنى عليه التصنيف. يضم البحث ما يقارب تسعين عائلة مصنَّفة، موزعة على فصول تغطي العلاقات الزاوية، والأضلاع، والمستقيمات البارزة، والدوائر المرتبطة بالمثلث، ومراكز المثلث وفق ترميز كيمبرلينج. لكل عائلة معادلة موضع صريحة وسلسلة كاملة من الخصائص المتكافئة — هندسية وجبرية معاً. هذا العمل موجَّه لكل مهتم بالهندسة الكلاسيكية: من طلاب الرياضيات والباحثين إلى عشاق المسابقات الهندسية وكل من يرى في المثلث عالماً لا ينضب. لتحميل الملف: https://doi.org/10.5281/zenodo.20576632

حل آخر بواسطة Larbi Duchene نضغط على زرين 1 و 2 و نترك الثالث كما هو ثم ننتظر بضعة وقت حتى يسخن المصباح و نرجع أحد المصباحين إلى وضعه الأصلي و ليكن 1 ، نفتح الباب، إذا كان المصباح متوهج فإن الزر هو 2 و إذا كان المصباح غير متوهج يكفي لمسه، إذا كان ساخنا فإن الزر هو 1 و إذا كان بارداً فإن الزر هو 3. نفس فكرة الحل السابق ولكن بطريقة أخرى

حل الأخ خالد صحيح: نضغط الزر الأول وننتظر خمس دقائق ثم نضغطه مرة ثانية ونضغط الزر الثاني ونفتح الباب، الآن: - إذا كانت الغرفة مضاءة فهذا يعني أن الزر الثاني هو زر الضوء. - إذا كانت الغرفة غير مضاءة نلمس الضوء فإن كان ما يزال ساخناً فهذا يعني أنّ الزر الأول هو زر الضوء. - إذا كانت الغرفة غير مضاءة والضوء بارد فهذا يعني أن الزر الثالث هو زر الضوء.

لعشاق الألغاز: أمامك غرفة بها باب مغلق وليس بها نوافذ، يوجد مصباح في هذه الغرفة وثلاثة أزرار في الخارج واحد منها هو زر المصباح، بإمكانك النقر على هذه الأزرار كما تريد قبل أن تفتح الباب، الهدف هو معرفة أي واحد من الأزرار الثلاثة هو زر المصباح، عندما تفتح باب الغرفة لا يُسمَح لك بالنقر على أي زر بعد الآن، حالة المصباح الأساسية قبل أن تضغط على أي زر هي أنه مُطفَأ، كيف يمكنك معرفة زر المصباح؟ تلميح: المصباح هو من النوع الذي يسخن بعد إشعاله لفترة من الوقت، أنت ستستفيد من ضوئه وسخونته للإجابة على هذا السؤال.

حتى أن المعادلة التي تربط بين أطوال أضلاع المثلث شبه القائم تشبه إلى حد بعيد منحني ليمنسكايت بيرنولي

ينشأ منحني ليمنسكايت بيرنولي عن انعكاس القطع الزائد المتساوي الساقين بالنسبة للدائرة التي طرفي قطرها هما ذروتي القطع، قياسات الزاويتين α,β في هذه الصورة هي نفسها قياسات زاويتي المثلث شبه القائم الناتج عن عكس ليمنسكايت بالنسبة للدائرة التي قطرها AB حيث C' هو انعكاس C بالنسبة لنفس الدائرة

العجيب أن هذا المثلث على صلة أعمق بالمثلث شبه القائم والذي دفعني للبحث أصلا في هذا المثلث، في الصورة C هي أي نقطة من منحني ليمنسكايت ثم سيكون |α-β|=90°

معلومات عن سياق السؤال: البارحة وبغرض المزيد من الدقة كنتُ أحاول دراسة بعض خصائص المثلث شبه القائم من الجهة الثانية للتحقق فيما إن كانت تشكل استلزاما أو أنها تتحقق من جهة واحدة، ومن بين تلك الخواص جربتُ هذه الصيغة لحساب المساحة: Δ=ab(a^2-b^2 )/2(a^2+b^2 ) وتبين أنها في الواقع ليست خاصة فقط بالمثلث الذي فيه α-β=90° فقط بل تتحقق أيضا في مثلث آخر وهو المثلث الذي فيه: tan⁡((α-β)/2)=cot^2⁡(γ/2) وهكذا أنا بدأتُ بدراسة هذا المثلث بمساعدة العديد من تطبيقات الذكاء الاصطناعي مع التحقق بواسطة تطبيق الهندسة الديناميكية GeoGebra أضفتُ العديد من خصائص هذا المثلث: tan⁡((α-β)/2)=cot^2⁡(γ/2)⇔cos⁡γ=-2ab/(a^2+b^2 )⇔tan⁡(γ/2)=(a+b)/(a-b) ⇔a^2 b^2+m_c^4=(c/2)^4⇔a^4+b^4+6a^2 b^2=c^2 (a^2+b^2 ) القيود: γ≥90°. وبفرض أنّ A:(1,0) و B:(-1,0) فإنّ معادلة المحل الهندسي للرأس C هي: (x^2+y^2 )^2=x^2-y^2 وهو منحني ليمنسكايت برنولي أبعد نقطتين عن بعضهما فيه هما A,B. وبفرض B:(1,0) و C:(-1,0) فإنّ معادلة المحل الهندسي للرأس A هي: y^2=-(x+1)(x+3)|x+3|/(x+5) وبفرض C:(1,0) و A:(-1,0) فإنّ معادلة المحل الهندسي للرأس B هي: y^2=-(1-x)(3-x)|3-x|/(5-x) ثم قمتُ بتمثيل الرسم على جيوجيبرا وأنشأتُ بعض مراكز المثلث ثم أثناء تحريك النقاط اكتشفتُ الخاصية الموضحة في السؤال بصريا في البداية ثم جعلتُ GeoGebra يحسب الزاوية وتبين أنها زاوية قائمة دائما أثناء تحريك النقطة C وهكذا وضعتُ الخاصية، لذا كل الخصائص الجبرية تم اكتشافها بواسطة تطبيقات الذكاء الاصطناعي بعد التحقق منها على GeoGebra ما عدا هذه الخاصية فقد اكتشفتها بنفسي

خاصية جميلة لمنحني ليمنسكايت بيرنولي توصلتُ إليها للتو

📐 مجموعة أبحاث استثنائية في الهندسة الإسقاطية والجبرية — للمهتمين بالرياضيات الجادة يسعدني أن أشارككم اليوم ست أوراق بحثية لصديقي وزميلي حسين خيو من المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا بدمشق، وهي أوراق تدل على عمق نادر وإلمام حقيقي بأدوات الهندسة الكلاسيكية في صيغتها المعاصرة. ما يميز هذه الأبحاث أن صاحبها لا يكتفي بتطبيق أدوات جاهزة، بل يُعيد بناء المسائل من جذورها انطلاقًا من الإسقاطية والقطوع المخروطية والمنحنيات التكعيبية، ليصل إلى نتائج أصيلة تمتد أحيانًا إلى ما هو أبعد مما أثبته الأوائل. لمحة عن الأبحاث الستة: ① مسألة الحسن بن الهيثم — الجزء الأول حلٌّ إسقاطي جديد لمسألة الانعكاس الكلاسيكية التي حيّرت الرياضيين لقرون، مع تأسيس منهجي لنظرية الإنعكاسات في الرباعيات الكاملة. 🔗 https://doi.org/10.5281/zenodo.20379332 ② مسألة الحسن بن الهيثم — الجزء الثاني تعمق في المنحنيات التكعيبية من زاوية الإسقاطية والتقارن، مع دراسة تفصيلية للمكعبات المماثلة بمفهوم موبيوس. 🔗 https://doi.org/10.5281/zenodo.20379820 ③ حل مسائل هندسية صعبة بأدوات الهندسة الإسقاطية برهان برهانًا للنظرية المعروفة بدائرتَي ميكل الخمس، مع تشييد القطوع العشرية والاثني عشرية وإثبات خصائص الفضاء الثنائي في تقاطع القطوع المخروطية. 🔗 https://doi.org/10.5281/zenodo.20374084 ④ مبرهنة ثيبو وحلقات سانغاكو عبر هندسة القطوع المخروطية استحضار وتعميم لأنماط كلاسيكية في هندسة المثلث — من تزامن الدوائر وعلاقات التماس — بلغة القطوع المخروطية ونظرية الجذر الراديكالي. 🔗 https://doi.org/10.5281/zenodo.20373966 ⑤ و ⑥ بحثان مكملان في الإطار ذاته من أدوات الهندسة الإسقاطية والجبرية. 🔗 https://doi.org/10.5281/zenodo.20380871 🔗 https://doi.org/10.5281/zenodo.20381377 لمن هذه الأبحاث؟ لكل من لديه أساس في الهندسة الإسقاطية وهندسة القطوع المخروطية، سواء كان طالب دراسات عليا، أو باحثًا في الهندسة الكلاسيكية، أو مهتمًا بالمسائل الأولمبية على المستوى المتقدم. ليست قراءةً للتسلية، لكنها ستمنح من يصبر عليها طريقةً في التفكير تستحق كل جهد. قراءة موفقة، وتحية للمؤلف على هذا الإنجاز.

╔════════════════════════════╗ ✦لماذا تشبه البراهينُ الرواياتِ الجميلة؟✦ ╚════════════════════════════╝ هناك لحظة غريبة يعيشها كل من أحب الرياضيات حقًّا، ولو مرة واحدة في حياته. إنها تلك اللحظة التي ينتهي فيها البرهان الرياضي، لا بانتهاء السطور، بل بشعور داخلي عميق يشبه الراحة التي يشعر بها القارئ بعد رواية عظيمة أغلقت كل أبوابها بإحكام. فجأة تصبح الأشياء المتفرقة منسجمة، وتتحول الفوضى إلى نظام، وتبدو النتيجة — التي كانت قبل دقائق بعيدة وغامضة — وكأنها كانت تنتظرنا منذ البداية. وهنا بالضبط يبدأ السر الذي لا ينتبه إليه كثير من الناس: البراهين الرياضية ليست مجرد أدوات لإثبات صحة النتائج، بل هي نوع خاص من السرد العقلي. إنها قصص تُحكى باللغة المنطقية بدل اللغة العاطفية، لكنها مع ذلك تحتفظ بجوهر الحكاية الجميلة: بداية تثير السؤال، ومسار يخلق التوتر، ونهاية تمنح العقل نوعًا من الرضا العميق. ولعل هذا ما جعل الفيلسوف والرياضي لايبنتز يقول إن «الموسيقى هي متعة العقل وهو يعدّ دون أن يشعر»، وكأن الجمال الحقيقي لا يكمن فقط في النتيجة، بل في الطريقة التي تنتظم بها الأشياء في انسجام خفي. فالبرهان الرياضي الجيد لا يُقنعك بالقوة، بل يقودك برفق، خطوة خطوة، حتى تشعر أن النتيجة أصبحت ضرورية لا يمكن للعقل أن يرفضها. وهذا يشبه تمامًا ما تفعله الرواية العظيمة؛ فهي لا تدفعك دفعًا نحو النهاية، بل تجعلك تصل إليها وأنت تشعر أن كل حدث سابق كان يمهد لها في صمت. ولهذا كان علماء الرياضيات يتحدثون كثيرًا عن «جمال البرهان» كما يتحدث الأدباء عن جمال الأسلوب. حتى إن الرياضي المجري بول إيردوش كان يؤمن بأن هناك «كتابًا سماويًا» يحتفظ فيه الله بأجمل البراهين الرياضية، وكأن البرهان الجميل ليس مجرد استنتاج صحيح، بل قطعة فنية مكتملة البناء. ثم إن الروايات العظيمة — مثل البراهين العظيمة — لا تكشف كل شيء منذ البداية. إنها تترك للقارئ مساحة للقلق والتوقع والتأمل. خذ مثلًا برهانًا هندسيًا بسيطًا: في بدايته تبدو المعطيات متباعدة لا رابط بينها، ثم فجأة تظهر فكرة صغيرة تغير كل شيء، خط إضافي في الشكل، أو علاقة لم يكن العقل يراها، فتضيء الصورة كلها دفعة واحدة. أليس هذا قريبًا من تلك اللحظة الروائية التي يكتشف فيها القارئ سرًّا كان مختبئًا منذ الصفحات الأولى؟ لقد فهم أرسطو منذ زمن بعيد أن العقل الإنساني يحب الانتقال من الغموض إلى الوضوح، ومن الاحتمال إلى اليقين، ولهذا جعل المنطق نفسه قائمًا على بناء مترابط تقود فيه المقدمات إلى النتائج كما تقود الأحداث إلى خاتمتها الطبيعية. وحتى ديكارت، الذي أراد أن يبني المعرفة على الوضوح والبداهة، كان يرى أن الفكر السليم يجب أن يسير في خطوات متتابعة ومنظمة، كأن العقل يكتب روايته الخاصة لفهم العالم. لكن أجمل ما في البرهان الرياضي أنه لا يعتمد على السلطة، بل على الإقناع الخالص. ففي الحياة اليومية قد نصدق شخصًا لأنه مشهور أو قوي أو مؤثر، أما في الرياضيات فلا قيمة للأسماء أمام المنطق. لا أحد يستطيع أن يفرض نتيجة على العقل إذا لم تكن خيوطها مترابطة بإحكام. ولهذا تحمل البراهين نوعًا نادرًا من العدالة الفكرية؛ فالحقيقة فيها لا تُفرض، بل تُكتشف. وربما لهذا السبب أحب سبينوزا الرياضيات إلى هذا الحد، حتى إنه كتب كتابه الشهير *الأخلاق* بالطريقة الهندسية، محاولًا أن يجعل الأفكار الفلسفية تسير كما تسير المبرهنات. كان يحلم بعالم تصبح فيه الأفكار مترابطة بوضوح الشمس، لا بالغموض والانفعال. ومن يدري؟ ربما لهذا نشعر أحيانًا، ونحن نقرأ برهانًا جميلًا، أننا لا نتعلم حقيقة رياضية فقط، بل نتعلم شيئًا أعمق عن العقل الإنساني نفسه: حاجته الدائمة إلى المعنى، وإلى النظام، وإلى تلك اللحظة الساحرة التي تتحول فيها الفوضى فجأة إلى فهم. ━━━━━━━━━━ منقول عن صفحة Les Maths D’abord

مبرهنة أخرى توصلتُ إليها للتو

توصلتُ إليها قبل قليل

الموضوع التالي بإذن الله تعالى هو حول طرق تحديد توازي أو عدم توازي مستقيمين، أي أفكار حول هذا الموضوع يمكنكم طرحها في المجموعة لإثرائه بطرق ووجهات نظر متتعددة