Математические этюды

Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола. Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко». Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере. Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.

Про неевклидову геометрию Математические этюды уже сделали несколько красивых сюжетов https://etudes.ru/etudes/@non-euclidean-geometry https://etudes.ru/models/@non-euclidean-geometry Про геометрию Лобачевского написано много текстов. Тем удивительнее, что главный редактор журнала «Квант» Александр Александрович Гайфуллин, в связи с 200-летием первого доклада Николай Ивановича, написал новую, очень интересную и содержательную статью, вышедшую в журнале во 2 и 3 номерах за этот год https://www.kvant.digital/issues/2026/2/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-c7aeef50/ https://www.kvant.digital/issues/2026/3/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-022b1500/

Поздравляем Павла Александровича Кожевникова с юбилеем! (Которые, как известно, случаются каждые 50 лет.) ПалСаныч понимает и умеет раскрывать математическую суть рассматриваемой задачи на любом уровне – неподготовленным школьникам и школьникам-участникам международной математической олимпиады, учителям математики и профессиональным математикам. Посмотрите записи его докладов и его статьи! Счастья и почаще улыбаться!

Команда из Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством заместителя директора по научной работе члена-корреспондента РАН Сергея Олеговича Горчинского с сентября 2026 года открывает новую группу бакалавриата воспитания будущих математиков в стиле эпохи возрождения https://www.hse.ru/ba/ami/mplusplus Несмотря на то, что «территориально» поток М++ открывается на базе Факультета компьютерных наук ВШЭ, он рассчитана на студентов, желающих трудиться и заниматься настоящей математикой – серьёзной, абстрактной, теоретической, …, а не её приложениями. Первый набор на первый курс – этим летом. Как всё сложится – конечно, никто не знает. Но квалификация коллег, участвующих в задумке, и как математиков, и как преподавателей, не подлежит сомнениям. Записи их лекций можно найти на многих сайтах, в частности, среди записей школы «Современная математика» в Дубне. А желание коллег сделать действительно хорошее университетское разностороннее математическое образование, их взаимодействие друг с другом при обсуждении будущих курсов, поддержка команды руководством факультета, а также многолетняя человеческая забота Сергея Олеговича о подрастающем поколении дают уверенность, что дети заведомо не будут брошены и всё получится наилучшим образом!

Развёртки позволяют не только лучше понять стереометрическую фигуру, но и, например, посчитать площадь боковой поверхности. А если развёртки ещё и оживить https://etudes.ru/models/solid-figures-threaded-net/ ... Представленные конструкции – лишь примеры. Использовать лучше плотную бумагу, которая держит форму. Читатель может попробовать анимировать и другие развёртки куба, развёртки других многогранников или фигур.

Вне зависимости от количества вершин сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике на плоскости одна и та же и равна 360 градусов. Нарисуем на плоскости многоугольник и раскрасим его внешние углы. Отдалим плоскость от наблюдателя: многоугольник будет видеться точкой, а точки всей остальной плоскости будут окрашены каким-то одним из цветов. Внешние углы составят полный угол — 360 градусов. Это и другие иллюстрации-доказательства — как классические, так и менее известные —представлены красивыми анимациями в сюжете «Сумма внешних углов выпуклого многоугольника».

Штатный краснодеревщик нашей Лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН Александр Лещинский придумал простую в изготовлении, но удивительно наглядную модель, демонстрирующую форму Земли: силиконовый шарик, надетый на верёвочную петлю https://etudes.ru/models/Earth-figure/ . Идея модели основана на игрушке из детства — пуговице на закрученной верёвочке, и уже встречалась у нас в сюжете «Гиперболоид: пуговица на верёвочке». Растягивая руками петли верёвочки, вы заставляете пуговицу вращаться. Если приноровиться и вовремя «давать слабину», позволяя верёвочке закрутиться в другую сторону, в эту игрушку можно играть непрерывно. В небольшом силиконовом шарике следует сделать два отверстия, параллельных друг другу и отстоящих от диаметра на одно и то же расстояние; продеть через них верёвочку и завязать её в петлю. Модель готова. В процессе демонстрации, в момент, когда петля скручена максимально, шарик, меняя направление, останавливается и приобретает форму шара. Когда вы растягиваете верёвочную петлю, скорость вращения увеличивается, и шарик принимает форму эллипсоида вращения, сжатого вдоль оси вращения.

Обновился сюжет «Календарь-головоломка» https://etudes.ru/models/puzzle-calendar/ , рассказывающий о нашем варианте вечного календаря, который очень понравился многим счастливым обладателям. В приведённом календаре можно собрать 2604 комбинаций число-месяц-день. Из них реально встречаются $366\times 7 =2562$ и чем меньше вариантов сложить заданную дату, тем головоломка сложнее. У 42 комбинаций есть только единственный способ их сложить, по два варианта — у 16 дат. Не более 10 способов укладки допускают 781 комбинация. Самых простых дат — с наибольшим числом вариантов сложить: 50 вариантов — одна дата, 55 варианта — четыре даты, 68 вариантов — четыре даты. Теперь, прежде чем складывать, вы можете оценить сложность сложить выбранную комбинацию, например сегодняшний день, посмотрев на сайте количество вариантов сложить конкретную дату! Поиграться в большой настенный календарь можно на третьем этаже МЦНМО, а небольшой картонный вариант календаря можно найти в их магазине.

Возьмите прямоугольный лист бумаги, например А4, и, прежде чем переходить по ссылке, попробуйте сделать из него тетраэдр. Не обязательно правильный, но так чтобы прямоугольник был именно его развёрткой: в получившемся тетраэдре не должно быть наложений слоёв бумаги. Самый простой способ можно посмотреть в новом фильме «Тетраэдр из… прямоугольника» https://etudes.ru/etudes/tetrahedron-rectangle-net/ . А какие ещё многогранники кроме тетраэдра можно сложить из прямоугольного листа бумаги? Подумать над этим вопросом помонут фильмы «Вершины многогранника» https://etudes.ru/etudes/polyhedron-vertices/ , «Развёртка» https://etudes.ru/etudes/polyhedra-net/ , «И это развёртка?!» https://etudes.ru/etudes/polyhedra-development/ , а так же брошюра Н. П. Долбилина «Жемчужины теории многогранников». Ответ будет в одном из следующих фильмов.

В преддверии 8 марта традиционно пополнился раздел «Математические украшения». Задача квадрирования квадрата — разрезания квадрата на неравные квадраты — проста по постановке, но нетривиальна математически. Решение этой задачи может стать как основой головоломок, так и идеей для создания украшений https://etudes.ru/models/squaring-the-square-pendant/ . Кулон, показывающий квадрирование квадрата, привлекает внимание — возникает желание посчитать количество квадратиков, обсудить саму задачу и оптимальность решения. А исполнение перекликается со способом решения задачи — теорией электрических цепей.

Остов из трёх перпендикулярных одинаковых прямоугольников может стать основой построения замечательных многогранников: икосаэдра и псевдоикосаэдра, кубооктаэдра, октаэдра и додекаэдра https://etudes.ru/etudes/polyhedra-rectangular-spanner/ . Такого рода построения икосаэдра и додекаэдра по существу восходят к «Началам» Евклида (книга XIII, предл. 16—17; сам Евклид приписывает открытие додекаэдра Пифагору, а икосаэдра — Теэтету). И их можно сделать своими руками: прорезав пазы в прямоугольниках соединить их в перпендикулярных плоскостях, а на углы натянуть верёвочку.

Пятый постулат Евклида (в более поздней формулировке Прокла): через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Для понимания, как так бывает, что пятый постулат не выполняется, стоит начать с чего-то более привычного, чем геометрия Лобачевского, и тут поможет интерактивный сюжет «Сферическая геометрия» https://etudes.ru/etudes/spherical-geometry/ . Ознакомившись, Вы узнаете, что сферическая геометрия отличается от евклидовой не только пятым постулатом, поэтому она не давала ответа на вопрос можно ли из первых четырёх постулатов вывести пятый. Николай Иванович Лобачевский, умерший в 1856 году, не увидел ни одной графической реализации своей геометрии. Нам с вами проще, так как в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами придумал несколько моделей плоскости Лобачевского. И познакомиться с геометрией Лобачевского можно на интерактивном сюжете «Геометрия Лобачевского: модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ . Дело в том, что реализовать всю плоскость Лобачевского на какой-либо поверхности нашего пространства нельзя, поэтому визуализировать всю неевклидову геометрию можно только моделями. Классических моделей несколько, и их объединяет один физический объект, представленный в сюжете «Три модели плоскости Лобачевского» https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/ . Кстати, такое наглядное пособие можно сделать своими руками, а фонарик, светящий во все стороны сейчас всегда по рукой — в телефоне. А вот часть плоскости Лобачевского реализовывается на псевдосфере Бельтрами. Постоянство гауссовой кривизны во всех точках этой поверхности имеет интересную механическую интерпретацию, с которой можно ознакомиться в сюжете «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны» https://etudes.ru/models/pseudosphere-constant-negative-curvature/ . Итак, существуют евклидова геометрия, сферическая геометрия и геометрия Лобачевского. Четыре плаката «Три геометрии: сходства и различия» https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ явно представляют базовые сходства и различия этих геометрий. Плакаты можно скачать, распечатать на бумаге формата «А» (оптимальный размер — листы А3 или крупнее) и повесить, например, в школе.

Пятый постулат Евклида (в более поздней формулировке Прокла): через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Для понимания, как так бывает, что пятый постулат не выполняется, стоит начать с чего-то более привычного, чем геометрия Лобачевского, и тут поможет интерактивный сюжет «Сферическая геометрия» https://etudes.ru/etudes/spherical-geometry/ . Ознакомившись, Вы узнаете, что сферическая геометрия отличается от евклидовой не только пятым постулатом, поэтому она не давала ответа на вопрос можно ли из первых четырёх постулатов вывести пятый. Николай Иванович Лобачевский, умерший в 1856 году, не увидел ни одной графической реализации своей геометрии. Нам с вами проще, так как в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами придумал несколько моделей плоскости Лобачевского. И познакомиться с геометрией Лобачевского можно на интерактивном сюжете «Геометрия Лобачевского: модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ . Дело в том, что реализовать всю плоскость Лобачевского на какой-либо поверхности нашего пространства нельзя, поэтому визуализировать всю неевклидову геометрию можно только моделями. Классических моделей несколько, и их объединяет один физический объект, представленный в сюжете «Три модели плоскости Лобачевского» https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/ . Кстати, такое наглядное пособие можно сделать своими руками, а фонарик, светящий во все стороны сейчас всегда по рукой — в телефоне. А вот часть плоскости Лобачевского реализовывается на псевдосфере Бельтрами. Постоянство гауссовой кривизны во всех точках этой поверхности имеет интересную механическую интерпретацию, с которой можно ознакомиться в сюжете «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны» https://etudes.ru/models/pseudosphere-constant-negative-curvature/ . Итак, существуют евклидова геометрия, сферическая геометрия и геометрия Лобачевского. Четыре плаката «Три геометрии: сходства и различия» https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ явно представляют базовые сходства и различия этих геометрий. Плакаты можно скачать, распечатать на бумаге формата «А» (оптимальный размер — листы А3 или крупнее) и повесить, например, в школе.

200 лет назад, 11 февраля 1826 года (по старому стилю), профессор Императорского Казанского университета Николай Иванович Лобачевский на заседании комиссии Отделения физико-математических наук сделал первый доклад про неевклидову геометрию. ___________ Препровождаю сочинение моё под названием: Exposition succincte des principes de la Géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles [с фр. — «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных»]… Профессор Н. Лобачевский. 6 февраля 1826. Слушано 1826 года 11 февраля. Определено: поручить рассмотреть сочинение гг. профессорам Симонову, Купферу и адъюнкту Брашману и мнение своё сообщить Отделению. [Помета рукою секретаря Отделения адъюнкта П. М. Васильева.] [Само сочинение вышло в свет позднее как часть сочинения «О началах геометрии», где к заглавию приведена сноска о докладе.] ___________ Проверить, правильно ли вы формулируете отрицание к пятому постулату Евклида и знаете ли базовые факты неевклидовой геометрии, можно в новой неевклидовой викторине «Геометрия Лобачевского: 200 лет первого доклада».

Известная иллюзия «круг—квадрат» и её вариации, автором которых является Кокичи Сугихара (Kokichi Sugihara), основана на геометрии. В некотором смысле это амбиграм: только с разных направлений наблюдатель видит не разные буквы, а разные формы. Как построить кривую, которая воспринимается как круг, а в зеркале отражается как квадрат, рассказано в сегодняшнем сюжете https://etudes.ru/models/ambigram-square-circle/ .

Лента Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, узнаваемым математическим объектом. Обычно её делают из полоски бумаги перекручивая концы и склеивая их. В качестве задания предлагается с помощью ножниц, ничего не склеивая, вырезать ленту Мёбиуса из «книги с тремя листами» https://etudes.ru/mathgrounds/Mobius-book-embedding/ . Задание интересно тем, что нетривиально, предлагает непривычный взгляд на привычный объект, а главное, имеет математическую основу, о которой можно рассказать: вложения в книгу с несколькими листами изучаются в математике, например, доказано, что в книгу с тремя листами можно вложить любой узел.

«Великий государь, Царь и Великий Князь Пётр Алексеевич […] указал Именным Своим Великого Государя повелением в государстве Богохранимой Своей Державы Всероссийского Самодержавия на славу Всеславного Имени Всемудрейшего Бога и Своего Богосодержимого храбропремудрейшего царствования, во избаву же и пользу Православного Христианства, быть Математических и Навигацких, то есть мореходных хитростно наук учению». 325 лет назад, 14 января 1701 года (по старому стилю), Высочайший указ Петра I об основании школы математических и навигацких наук положил начало математическому образованию в России. [Словарь русского языка XI—XVII вв.: избава — спасение, избавление.] ---------------------------------------------------------- Первые учебники тех времён: 1703 годом помечена книга «Арифметика» («Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, …») Леонтия Филипповича Магницкого; в 1705 году издан плакат Василия Анофриевича Киприанова «Новый способ арифметики феорики или зрительно, сочинён вопросами ради удобнейшего понятия» (описание см. в книге Д.Д. Галанина «Леонтий Филиппович Магницкий и его арифметика»); в 1708 году в переводе Якова Вилимовича Брюса вышла книга «Геометрия словенски землемерие» (основу составило австрийское издание «Приёмы циркуля и линейки» ) замечательная несколькими моментами. На рукописи перевода есть правка-редактура рукой Петра I. К одному из изданий Пётр I сам написал приложение «Как делать на горизонтальном месте солнечные часы». И вдобавок это первая книга, изданная «гражданским шрифтом». ---------------------------------------------------------- ...В итоге Россия стала «математической» державой, а общий уровень математического образования позволил добиться великих достижений в различных областях. Хочется пожелать общешкольному математическому образованию снова стать надёжным фундаментом развития нашей страны.