Elementar Matematika

Seşanba "Algebra kuni"ning masalalari (10.11.2026) @el_mat

✂️ KUN LEMMASI #2 | Modular arifmetika 🔹 Eslatma: a ≡ b (mod m) yozuvi a va b ni m ga bo‘lganda qoldiqlari bir xil ekanini bildiradi. 🔖 Lemma. Har qanday toq sonning kvadrati 8 ga bo‘linganda doim 1 qoldiq beradi: n toq ⟹ n² ≡ 1 (mod 8) ✍️ Isbot. Toq n ni 8 ga bo‘lgandagi qoldiqlari bo‘yicha ko‘rib chiqamiz: ▫️ n ≡ 1 (mod 8) → n² ≡ 1 → qoldiq 1 ▫️ n ≡ 3 (mod 8) → n² ≡ 9 = 8 + 1 → qoldiq 1 ▫️ n ≡ 5 (mod 8) → n² ≡ 25 = 24 + 1 → qoldiq 1 ▫️ n ≡ 7 (mod 8) → n² ≡ 49 = 48 + 1 → qoldiq 1 Demak, toq sonning kvadrati har doim 8k + 1 ko‘rinishida bo‘ladi. ∎ 📊 Asosiy modlar: kvadratlar qanday qoldiq beradi? ▫️ n² mod 3 → 0, 1 ▫️ n² mod 4 → 0, 1 ▫️ n² mod 5 → 0, 1, 4 ▫️ n² mod 7 → 0, 1, 2, 4 ▫️ n² mod 8 → 0, 1, 4 ▫️ n² mod 9 → 0, 1, 4, 7 ▫️ n² mod 10 → 0, 1, 4, 5, 6, 9 (oxirgi raqam) ▫️ n² mod 16 → 0, 1, 4, 9 🔸 Kublar va 4-darajalar: ▫️ n³ mod 7 → 0, 1, 6 ▫️ n³ mod 9 → 0, 1, 8 ▫️ n⁴ mod 5 → 0, 1 ▫️ n⁴ mod 16 → 0, 1 🧭 Qaysi modni tanlash kerak? • Ikki kvadrat yig‘indisi → mod 4 • Uch kvadrat yig‘indisi → mod 8 • Kublar qatnashsa → mod 7 yoki mod 9 • 4-darajalar → mod 5 yoki mod 16 • Oxirgi raqam so‘ralsa → mod 10 💡 Qo‘llanilishi. a, b, c toq sonlar bo‘lsa, a² + b² + c² to‘liq kvadrat bo‘la olmasligini isbotlang. ✅ Yechim: Lemmaga ko‘ra a² + b² + c² ≡ 1 + 1 + 1 = 3 (mod 8). Jadvalga ko‘ra kvadrat 8 ga bo‘linganda faqat 0, 1 yoki 4 qoldiq beradi, hech qachon 3 bermaydi. Shuning uchun a² + b² + c² to‘liq kvadrat bo‘la olmaydi. ∎ 📌 Mustaqil ish: 1² + 3² + 5² + 7² + … + 99² yig‘indisini 8 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. 👇 Javobingizni izohlarda qoldiring! #lemma #modular_arifmetika #iqtidorlar_ligasi 🏆 Iqtidorlar Ligasi 👉 https://t.me/iqtidorlarligasi

Assalomu alaykum. Yangi haftani ham boşlab oldik. Bugungi 5 talik va 15 talik masalalarni kutayotganlar bormi? @el_mat

Bugungi 5 talik va 15 talik masalalarni kutayotganlar bormi? Reaksiya qoldiramiz) @el_mat