Математические байки

(И это совсем несложно увидеть, но уже точно не в этот раз...) Пара картинок в завершение рассказа:

И я обещал рукомахательное объяснение про углы. Оказывается, динамика того, что происходит с траекторией, описывается перекладыванием отрезков со сдвигом и переворотом. И длины там как раз отвечают углам треугольника.

Ну и на сейчас хватит — в общем, красивый самоподобный объект. Так вот, периодические траектории в паркете с тем самым Рози-треугольником, когда они становятся всё больше и больше (начинаясь близко к центру описанной окружности) — становятся похожи на этот самый фрактал Рози!

https://youtu.be/fMJflV_GUpU?t=231 — а вот и настоящий паркет из дерева...

https://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kanel-mitrofanov.htm — связанный с этим курс;

1) https://en.wikipedia.org/wiki/Rauzy_fractal + картинка из Википедии:

Уравнение a+a^2+a^3=1 — то самое, которое играет роль во фрактале Рози. Который сам по себе тема для отдельной байки, а пока лишь пара картинок и ссылок...

Треугольник для этого должен быть с очень специальными углами — вообще, тут (сейчас скажу, почему) играют углы, а не, например, длины сторон или что-нибудь ещё.

А есть — очень хитрые: для них (почти все) траектории, которые проходят через центр описанной окружности, посещают (либо в прошлом, либо в будущем) все вообще плитки. То есть это убегание на бесконечность, но гораздо более медленное. А не-проходящие — периодичны, но чем ближе траектория к проходящей через центр, тем больше у неё период. Более того, эти периоды — удвоенные элементы последовательности Трибоначчи (1,1,1,3, следующее = сумма трёх предыдущих, так что получается 1,1,1,3,5,9,17,...). 2*1, правда, не бывает, зато бывает остальное — 2*3=6, 2*5=10,...

(и это как раз типичный случай.)

Для некоторых — часть траекторий периодична, а часть убегает на бесконечность с линейной скоростью.

Для некоторых (например, для правильного) — периодичны все траектории.

Всё зависит от того, из каких именно треугольников собран паркет:

Вот мы видели периодические и линейно убегающие на бесконечность траектории. А что-нибудь ещё бывает? И насколько сложными бывают периодические траектории? И каким может быть набор всех траекторий для данного треугольного паркета?

И последний, ещё наглядный, но уже более сложный аккорд — это сложность траекторий.