Математические байки

Первый кусочек, простой, но меня в своё время сильно удививший. Возьмём квадрат со стороной 2, поделим на четыре равных квадрата, впишем в каждый по кругу единичного диаметра:

Да, собственно, эта лекция (которую я читал в Computer Science Club — https://compsciclub.ru/courses/csseminar/2020-spring/classes/5816/ ) была как раз посвящена решёткам, упаковкам шаров и кодам — и мне хочется несколько кусочков оттуда пересказать и тут.

Отсюда — https://books.google.fr/books?id=eaRFAAAAcAAJ&pg=PA415&redir_esc=y#v=onepage

Видно, что на одной грани ядра сложены треугольным образом, а на другой — квадратным. Да, про ядра: четыре года назад Константин Новосёлов (нобелевская премия за графен) читал лекцию на ВсОШ-2016 по математике. Он рассказывал много чего — но ещё мне запомнилась забавная история: графит был стратегическим сырьём задолго до атомной бомбы. Потому что применялся при отливке пушечных ядер!

Давайте я ещё поделюсь вот таким фото из — тоже посвящённого решёткам и упаковкам, но более короткого — рассказа Жени Смирнова, https://www.youtube.com/watch?v=AHP3jPJ2T7k&feature=youtu.be :

Собственно, интересно, что у задачи выше есть очень много решений: например, вместо того, чтобы выделять часть большой упаковки, можно разместить эти 12 шаров в вершинах правильного икосаэдра. И — их можно катать, не отрывая от поверхности внутреннего шара И даже реализовывать нетривиальные их перестановки — то ли чётные, то ли вообще все; одну такую перестановку — цикл длины 5 — показывают в фильме (2:50-3:10), а всех таких циклов хватит, чтобы породить все чётные перестановки.

344. Можно ли расположить в пространстве 13 одинаковых шариков так, чтобы они не пересекались и при этом 12 шариков касались одного. #задача

В этой упаковке, кстати, реализуется контактное число в размерности 3 — каждого шара касаются ровно 12 других (в варианте треугольной упаковки — 6 в том же слое, 3 сверху и 3 снизу). А вот посвящённый вопросу о контактном числе мультфильм "Математических Этюдов" — https://www.etudes.ru/ru/etudes/contact-number/

А точки в центрах граней других направлений как раз образуют решётку "со сдвигом".

Наконец, в одной вертикальной плоскости cfc-упаковки центры образуют как раз квадратную сетку — только с поворотом на 45 градусов:

Или же можно посмотреть на "боковую грань" квадратно-упакованных апельсинов — и увидеть, что они там упакованы "треугольным" образом:

Вот одинаково расположенные шесть шаров на первых двух картинках:

Правильный ответ: это одна и та же упаковка!

Вопрос: какая из них плотнее?