Математические байки

На самом деле, это утверждение (и следствия из него) вполне удивительны. Например, отсюда следует, что притягивающих орбит у P(z)=z^2+c может быть не больше одной — каков бы ни был их период!

А в нашем случае P(z)=z^2+c критическая точка вообще лишь одна, это точка z=0. Значит, если есть притягивающая орбита — она притянет к себе орбиту z=0. В частности, образы z=0 не убегают на бесконечность — и это по определению и значит, что c из множества Мандельброта.

Если вы за этим рассуждением не уследили, ничего страшного — можно запомнить только само утверждение, что притягивающая орбита всегда притягивает к себе хотя бы одну критическую точку.

Но — пока притягивающая точка к себе не притянула хотя бы одну критическую, это соотношение позволяет "растягивать" область, где h^{-1} определено, всё дальше и дальше. И если и не притянет — то у нас будет конформная биекция между бассейном притяжения P до сопряжения и всей комплексной плоскостью (бассейном притяжения нуля) после. А это запрещено комплексным анализом (например, теоремой Лиувилля).

и тогда из предела видно, что h(P(z))=λh(z), то есть h превращает применение P в умножение на λ.

(давайте для простоты считать, что z_0=0, иначе сдвинем систему координат)

Оно доказывается так: сначала оказывается, что динамику отображения P рядом с притягивающей неподвижной точкой z_0=P(z_0) можно линеаризовать: можно найти новые координаты y=h(z), в которых применение отображения превращается просто в умножение на его производную λ=P'(z_0). И, более того, такое линеаризующее отображение очень несложно ищется — пишется предел

С другой — есть такое очень красивое утверждение: любая притягивающая периодическая орбита обязана притянуть к себе хотя бы одну критическую точку.

И значит, точка c принадлежит множеству Мандельброта. Что можно увидеть двумя способами. С одной стороны, если поверить в то, что два определения множества Мандельброта (не-уход 0 на бесконечность и заполненное множество Жюлиа не канторово) эквивалентны, то вот мы нашли целую окрестность, которая не убегает на бесконечность.

Если мы возьмём маленькое по модулю, но ненулевое c, то z=0 уже не будет неподвижной точкой. Но где-то неподалёку будет неподвижная точка z_0, решение уравнения z_0=P(z_0)=z_0^2+c, производная в которой (по непрерывности) будет очень маленькой по модулю. В частности, эта точка будет притягивающей: все достаточно близкие к ней будут стремится. Значит, заполненное множество Жюлиа будет включать в себя её маленькую окрестность.

А что будет, если мы возьмём какое-нибудь близкое c?

Так вот — как это ни смешно, мы пока что знаем только одну точку из множества Мандельброта, точку c=0 (просто потому, что про другие мы не задумывались). И там z=0 это суперпритягивающая точка: все близкие точки к ней стремятся, причём с суперэкспоненциальной скоростью (потому что расстояние до неё не делится, скажем, пополам или даже на 10, а возводится в квадрат). И, в частности, не убегает на бесконечность.

Вот, собственно, она изображена — на кадре из видео "Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics" (https://youtu.be/qhbuKbxJsk8?t=273 ) :

Давайте теперь вернёмся к множеству Мандельброта и с того, с чего я вообще начинал этот рассказ — с анимации о поведении на границе главной кардиоиды. И для начала поймём, что вообще это за кардиоида такая.

И вот объяснение самоподобия множества Жюлиа — действительно его малые окрестности динамика растягивает на его всего, и можно надеяться, с не слишком сильным искажением формы (ибо конформность, хотя я опять жульничаю с порядком пределов).

Мы знаем, что у самой этой точки орбита остаётся ограниченной — но сколь угодно близко есть точки, убегающие далеко (для полиномиального отображения — на бесконечность). Если было бы можно вольно обращаться с пределами, то мы могли бы сказать, что производная стремится к бесконечности, и поэтому маленькие окрестности будут становиться всё больше и больше. И если к этому добавить инвариантность множества Жюлиа — то его часть, заключённая в такой (сколь угодно маленькой) окрестности, должна расползтись до чего-то макроскопического — и глядя на наш исходный пример с удвоением окружности, можно предположить, что до всего множества Жюлиа. Про производную, на самом деле, неправда — критическая точка (где уже производная f, а тем самым и всех итераций f^n, обращается в ноль) может множеству Жюлиа принадлежать. А вот заключение про "расползание" правильное — и я опять процитирую книгу Милнора: