Математические байки

Два прообраза поменяются местами — что, собственно, показывает проблему с квадратным корнем в комплексных числах. Есть, но если просить его на всей комплексной плоскости и пытаться делать непрерывным — то он получается многозначным.

А что происходит в точке, где у графика вертикальная касательная, и два прообраза сливаются (как в точке c_3 на предыдущем рисунке)? Простейший случай — функция "квадратный корень", или x-z^2=0. В саму точку заходить не будем — зато выйдем в комплексные числа, и обойдём вокруг.

Начало разговора о монодромии: чуть-чуть двигаем аргумент c — и соответственно сдвигаются разные возможные значения многозначной функции V(c)

Алгебраическая функция = её график = полиномиальное соотношение "F(x,z)=0" вместо обычного "z=f(x)".

Давайте я выложу несколько картинок из "Ветвящихся объёмов", которые правда очень люблю:

А ещё — давайте я вспомню "Геометрию дискриминанта" и "Ветвящиеся объёмы и группы отражений" (этот курс Васильев читал в ЛШСМ два года — в 2013 и в 2014 годах — после первого раза решив одну из открытых проблем в этой области, так что на следующий год он уже рассказывал её решение. А недавно из этих курсов получилась, как мне кажется, замечательная книга для матшкольников и студентов — куда и это решение тоже вошло!).

https://knife.media/viktor-vasilyev/ к 65-летию Виктора Анатольевича Васильева — его недавнее интервью

Эйлеровой характеристикой многогранника называется число χ=В−Р+Г, где В, Р и Г — количества его вершин, ребер и граней соответственно. Оказывается, эйлерова характеристика зависит лишь от числа «дырок» в многограннике, например для многогранников без дырок (или как говорят математики, односвязных многогранников) эйлерова характеристика равна 2. То есть для куба, тетраэдра, октаэдра и любого другого многогранника без дыр χ=2. А для многогранника с g дырами χ=2−2g. Используя эйлерову характеристику, можно доказать несуществование некоторых многогранников. Например, не существует многогранника без дыр или с одной дыркой, у которого все грани — шестиугольники, попробуйте это проверить самостоятельно. Но если убрать условие на число дырок, то такие многогранники уже можно найти. Гораздо сложнее найти такой многогранник, все грани которого — выпуклые шестиугольники. На сегодняшней картинке изображён один такой многогранник. Попробуйте вычислить число его дырок :) #рисункиМихаилаПанова #которисунки #MetaPost

Экслюзив: Письмо Рохлина Гудкову о том, что он доказал его гипотезу.

"Без сомнения, это доказательство лучше выражает топологическую суть дела, чем первое. Оно не было найдено сразу просто потому, что общая топологическая теорема, на которой оно основано [т.е. сравнение κ(F)−σ(X) ≡ 2τ(F)mod 8] не была известна. Вероятно, я скоро напишу это доказательство подробно. Конечно, я пришлю его Вам. Не знаю, сможете ли Вы ещё учесть его в Вашем обзоре. Напишите, пожалуйста, нет ли аналогичных гипотез, относящихся к другим ситуациям, например, к кри- вым нечётной степени, к поверхностям или к неплоским кривым." 21.03.1972. Подробнее.

https://youtu.be/O85OWBJ2ayo 3blue1brown всегда интересно смотреть, а отдельно приятно, что «The book shown at the start is Vladimir Arnold's (excellent) textbook on ordinary differential equations» ( https://biblio.mccme.ru/node/6102/ )

Прекрасное прошлогоднее: самый обычный топологический препринт на arXiv-е: https://arxiv.org/pdf/2003.13758.pdf (картинка — одна страница оттуда). Rami Luisto, "A non-Euclidean story or: how to persist when your geometry doesn’t." Статья должна читаться как роман!

https://mccme.ru/dubna/2021/ Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.

Да, а задача правда красивая!

(теперь — с правильной ссылкой)

Берем число A, возводим в степень n, округляем до целого вверх. Бывает ли такое A, что все время (при всех натуральных n) получается число, отличающееся от полного квадрата ровно на 2? // задача Д.Крекова на ММО сегодня, https://olympiads.mccme.ru/mmo/2021/

Берем число A, возводим в степень n, округляем до целого вверх. Бывает ли такое A, что все время (при всех натуральных n) получается число, отличающееся от полного квадрата ровно на 2? // задача Д.Крекова на ММО сегодня, https://mccme.ru/mmo/2021/

И в заключение — очень хороший (и совсем о другом) текст А. А. Разборова: https://trv-science.ru/2021/03/pervoproxodcy-teoreticheskoj-informatiki/

Так что, чтобы если X хочет нас убедить, что он умеет доказывать гипотезу Римана, не раскрывая доказательство — нужно попросить его записать его формально, в виде алгоритмически-проверяемой последовательности вывода (где каждая следующая строчка получается из предыдущих применением одного из правил вывода). Спрашиваем, какую длину его доказательство занимает (та самая пачка бумаги, которой он потрясает); резервируем под его доказательство ProofText ячейки алгоритма формальной проверки CheckProof(RiemannHypothesis,ProofText). Смотрим, сколько времени алгоритм будет работать, превращаем потенциальный протокол работы+"окончание работы с выводом "верно, доказано"" в булевскую формулу для 3-SAT. Переделываем её в граф для 3-COL. Ура — можно применить процедуру проверки!