Математические байки

Для n=2 единственное дерево на двух вершинах это отрезок, так что ответ 1. Для n=3 это два последовательных отрезка — но важно, какая из трёх вершин в центре, поэтому мы получаем 3 варианта (можно сказать, что полный граф на трёх вершинах это треугольник, а мы выкидываем одну из его сторон). Для n=4 деревьев без пометок два, это три последовательных отрезка и "лапа" из трёх отрезков с общей вершиной. В первом случае пометки можно расставить 12 способами (потому что 24/2 — подписываем всеми возможными способами, а потом вспоминаем, что дерево можно перевернуть), во втором 4 (единственное, что важно, это значение в центральной вершине; ну или 24/6, потому что отрезки из центра переставляются 3!=6 способами). Итого 12+4=16 вариантов.

--- Вопросы сформулированы — и давайте сначала немного посчитаем, какими будут ответы при небольших n. Проще всего это сделать для второго вопроса.

Так что окончательная формулировка третьего вопроса — сколько есть многочленов вида z^n + a_{n-2}z^{n-2} +...+a_1 z + a_0 с заданными (n-1) критическими значениями c_1,...,c_{n-1} ?

Понятно, что в такой формулировке ответом будет "бесконечность", потому что если мы сдвинем многочлен, перейдя от P(z) к P(z+a), критические значения от этого не изменятся. Поэтому можно наложить условие, что коэффициент при z^{n-1} равен 0 (как раз любой многочлен в такой можно единственным образом сдвинуть). И ещё наложим условие, что старший коэффициент равен 1. Опять-таки, любой многочлен с данными критическими значениями к такому виду приводится — только на этот раз заменой w=bz при правильном выборе b. А если никакого условия тут не наложить, то все такие замены нам из одного решения сделают бесконечное количество — что естественно, потому что у нас неизвестных коэффициентов пока n, а условий на критические значения (n-1).

Вопрос 3: сколько есть многочленов степени n с комплексными коэффициентами и с заданными (n-1) критическими значениями (т.е. значениями в критических точках — там, где производная обращается в 0)?

Вопрос 2: сколько есть разных деревьев с n пронумерованными от 1 до n вершинами? Рассмотрим наши пронумерованные вершины как вершины полного графа. Тогда дерево с этими вершинами — это остовное дерево такого графа. Поэтому тот же вопрос можно переформулировать как "сколько есть остовных деревьев в полном графе на n вершинах" ?

Операций нам понадобится (n-1) — что, собственно, часть вопроса, но пока давайте в это поверим. Так вот, вопрос формулируется классическим комбинаторным образом: а сколькими способами мы сможем это сделать — поставить статуи на свои места за (n-1) применение погрузчика?

Иными словами: мы расставили n статуй по стоящим вокруг площади постаментам, и только закончив работу, обнаружили, что перепутали, откуда надо было начинать. Статуя 1 стоит на постаменте 2, статуя 2 на постаменте 3, и так далее до статуи n, которая стоит на постаменте с подписью 1. Надо их поставить на места; единственный доступный нам инструмент — "погрузчик", позволяющий поменять местами любые две статуи. Причём погрузчик нас просили вернуть как можно скорее — так что нужно обойтись минимальным числом операций.

Давайте зададимся тремя вопросами. Вопрос 1: сколько есть разных способов разложить цикл длины n в произведение (n-1) транспозиции?

По случаю прошедшего юбилея Сергея Константиновича — "байка о трёхглавом драконе". (У меня, конечно, ещё не закончен рассказ про ренормализацию, но давайте я его чуть-чуть отложу.)

Ну и — соответствующая глава из фильма "Хаос": https://www.chaos-math.org/ru/chaos-vi.html — вот тут показывают, как устроено символическое кодирование для неё: https://youtu.be/LktmWlabav0?t=363 (там есть русские субтитры) Да, и более короткий ролик с подковой — https://www.youtube.com/watch?v=SrJm6bkLuPs

И вдогонку — брошюра ЛШСМ, заканчивающаяся как раз конструкцией подковы Смейла: https://www.mccme.ru/free-books/dubna/ilyashenko-smale.pdf

http://kvant.mccme.ru/1994/01/podkova_smejla.htm к сегодняшнему 90-летию Смейла пусть здесь будет статья в Кванте про подкову Смейла

Вдогонку к спиралям и комплексным числам — есть вот такое четырёхсекундное видео https://images.math.cnrs.fr/media/51/video.mp4 (отсюда — https://images.math.cnrs.fr/L-effet-Droste.html ; правда, там по-французски, но можно только посмотреть иллюстрации). И об этом же — https://twitter.com/i/status/1283275125618442245

Divide et impera Принцип «разделяй и властвуй» хорошо работает не только в большой политике, но и математике и информатике. Мы посмотрим на геометрические задачи о «делении поровну», обслуживающие этот принцип, как классические, так и современные. В рассказе появятся важные математические понятия: класс Эйлера, кривая Веронезе, конфигурационное пространство (что-то явно, что-то неявно). Для разминки перед лекцией рекомендуется подумать над следующими задачами: 1) всякая плоская фигура может быть разделена двумя прямолинейными разрезами на четыре равные по площади части; 2) не всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на семь равных по площади частей. Лекция: 20 июля (пн), 16:00 (обсуждение в 17:30) Лектор: Гаянэ Юрьевна Панина (ПОМИ РАН) Что это вообще? А это летняя школа «Современная математика» в этом году проходить не будет, зато все желающие могут попасть на прекрасные математические вечера ЛШСМ. Подробности и анонсы других вечеров: https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ Но это не всё. Там пишут, что уровень высок, поэтому заранее советуют посмотреть видеозаписи прошлых школ. Вот они, все под рукой, там много интересного: https://mccme.ru/dubna/courses/ #лекции #видео

https://mccme.ru/dubna/lect2020/ С 2001 года каждое лето во второй половине июля проходит Летняя школа «Современная математика» для старшеклассников и младшекурсников. В этом году ЛШСМ не будет. Но примерно в те же сроки и для той же аудитории будет несколько математических вечеров: часовая лекция + вопросы-обсуждение после нее. Приятный бонус онлайн-режима — в отличие от лекций ЛШСМ, сюда есть возможность пригласить всех желающих. Г.Ю.Панина, В.А.Клепцын, А.Ю.Окуньков, É.Ghys, А.А.Логунов, С.О.Горчинский, А.П.Веселов и В.Ю.Овсиенко — с 20 по 32 июля, примерно через день, на совсем разные темы (подробности постепенно появляются по ссылке).

6 миллионов мегатонн это, мм, впечатляет.

Это — цитата из Википедии (https://ru.wikipedia.org/wiki/D/1993_F2_(%D0%A8%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2_%E2%80%94_%D0%9B%D0%B5%D0%B2%D0%B8) ) — а вот сюда идёт сноска к аналогичному абзацу из англоВики: http://www.physics.sfasu.edu/astro/sl9/cometfaq2.html#Q3.1