Математические байки

Солнце, универсально накрывающее сферу без трёх точек —

Воздушный шар с расслоением Хопфа —

Добрался до Лиона, и теперь могу показать кусочки их математической фрески в лучшем качестве:

И это, кажется, хороший момент, чтобы сделать паузу в рассказе...

Так вот — если так "побродить" достаточно долго, то получается (почти) равновероятное распределение на том, куда мы в принципе можем прийти. И это и есть один из способов генерации случайного разбиения. Но тут нужно быть аккуратным и в том, как генерировать, и в том, когда останавливаться (а ещё есть красивые слова "coupling from the past", которые позволяют гарантировать, что получаемое разбиение совсем честно случайно).

И можно рассмотреть блуждание по такому графу — приходим в вершину, уходим по случайно выбранному ребру, оттуда опять по случайно выбранному ребру, и так далее.

Зато рёбер из каждой вершины выходит не так много — не больше 2n^2=20.000, что вполне компьютерно-реалистично.

Этот граф, конечно, объект чисто абстрактный: для порядка n=100 у него 2^{5050} вершин, что немного многовато.

А именно: рассмотрим граф, вершинами которого являются _все_ разбиения АБ, а рёбра соединяют разбиения, отличающиеся на элементарную перестройку.

Но можно себе представить другой способ порождать случайные разбиения — с помощью случайного блуждания.

Так вот, возвращаясь к ацтекскому бриллианту. Вообще, картинки, которые я показывал, нарисованы с использованием специфики именно ацтекского бриллианта. А именно, одно из доказательств теоремы о числе разбиений позволяет ещё и по честно-равномерному разбиению АБ порядка (n-1), дополнительно несколько раз подбросив монетку, получить честно-равномерное разбиение АБ порядка n. И завязано это как раз на функцию высоты (которая достраивает картинку до трёхмерной) — рассматриваемую в одном случае в чёрных, а в другом в белых вершинах. Но в эту технику я не пойду, именно потому, что она завязана на конкретику АБ.

То же самое можно сделать и для разбиений (опять таки, областей без дырок) на квадратной решётке — а в качестве элементарной перестройки выступает переразбиение квадрата 2x2.

От любого состояния дошли до одного и того же, минимального — значит, от любого можно дойти до любого другого. (Я взял слово "доказательство" в кавычки — потому что это для настоящей комнаты легко сказать, что означает "пустая комната", а так нужно действовать чуть более аккуратно. Но давайте считать, что тут я всё заметаю под ковёр.)

"Доказательство". Трёхмерный взгляд позволяет посмотреть на картинку, как просто на добавление/убирание кубика. Будем убирать кубики "от самого верхнего", пока не дойдём от любого исходного разбиения до состояния "пустая комната".

Теорема. Пусть на треугольной решётке задана область "без дырок" (например, наш большой правильный шестиугольник). Тогда от любого её разбиения на ромбики до любого другого можно дойти чередой элементарных перестроек.

Пусть у нас есть разбиение на ромбики на треугольной решётке. Если в нём есть шестиугольник со стороной 1, разбитый на три ромбика одним способом — можно его переразбить другим. Назовём это "элементарной перестройкой".

Оказывается, этот взгляд нам (сразу несколькими способами) может помочь сгенерировать случайное разбиение.

Но мне из этой картинки хочется вытащить "функцию высоты" и вообще трёхмерный взгляд на неё.