Математические байки

Определение. То, что получилось, называется последовательностью Фарея порядка N.

Давайте возьмём все несократимые дроби p/q на отрезке [0,1], у которых знаменатель q не превосходит некоторого фиксированного числа N. И упорядочим их по возрастанию.

Во-вторых, по соседству с цепными дробями есть история про последовательности (или ряды) Фарея.

А вся книга выложена тут — https://www.mathesis.ru/book/rudio/

Ещё пара слов в дополнение ко вчерашнему. Во-первых — цитата из книги Фердинанда Рудио. "О квадратурѣ круга", вышедшей в 1911 году в Одессе:

Ну и, кажется, на этом рассказ об иррациональности пи можно закончить — доказательство и впрямь завершено.

Ну и — даже если за формулами в канале следить не очень просто, мне хочется сказать, что всё последнее рассуждение это не "магия". Как только мы поставили себе цель "разложить тангенс в цепную дробь" — ну, и угадали, что лучше работать не алгоритмом Евклида для tg x и 1, а для sin x и cos x, дальше мы не могли не преуспеть. Мы обязаны были (если не делать арифметических ошибок) получить те ряды, которые получили — и даже если не угадать, что они получаются с помощью дифференциального оператора -(1/x) d/dx, можно было просто по индукции доказать, что они всегда и впрямь такие.

И мы получили обещанное разложение тангенса в цепную дробь — по крайней мере, на уровне формальных рядов. Собственно, я подозреваю, что этого хватит и для того, чтобы доказать настоящую сходимость (потому что мы знаем, как устроены результаты последовательных вычитаний, совсем явно!), но мне кажется, техничность этого уже будет заметно превышать уровень "рассказываемой байки".

Вот мы и получили, что все наши "остатки" это f_k=D^k[f_0], а неполные частные это нечётные числа (2k+1). (Конечно, можно было работать и по индукции из явных разложений в ряд Тейлора, но мне кажется, так получается красивее.)

(Каждое применение D увеличивает коэффициент в середине на 2).

Значит, второе неполное частное равно 3, а f_3=D^2[f_1]. И продолжая по индукции, получаем

Применим теперь к нему D. В правой части, конечно, останется ноль; в левой D[f_0] это f_1, D[-Df_0]=-D[f_1], а вот при применении к произведению x^2 D^2[f_0] срабатывает правило Лейбница: производная может упасть на первый сомножитель, а может на второй. Слагаемое от второго это просто x^2 D^3[f_0]=x^2 D^2[f_1], а вот при применении D к первому сомножителю получится -2 D^2[f_0]=-2 D[f_1], в дополнение к уже имеющемуся -D[f_1]. Итого —

Но на это можно посмотреть как на дифференциальное уравнение на f_0=cos x — необычное, потому что в терминах D, а не обычной производной:

Так что на начальном этапе всё сходится.

Заметим, что f_1 = sin(x)/x = D[cos x] = Df_0 просто по определению. И если посмотреть на D^2 f_0, то мы так же по определению получаем