Zenzeli

Вчера узнал на докладе Мигела Абреу о гипотезе: два торических многообразия диффеоморфны тогда и только тогда когда изоморфны их кольца когомологий как градуированные кольца. они это проверили для многообразий фано ботта не знаю что еще там известно

вот

https://arxiv.org/abs/2609.39707 слышал эту гипотезу от Мигеля Абреу и она мне нравилась по причине того что никаких причини в нее верить не было

Появилась наша работа с Дмитрием Олеговичем про некоммутативные минифолды https://arxiv.org/abs/2609.39766 Это вот что. Есть разные свойства минимальности для многообразий: когомологическое, мотивное, категорное и так далее. Минифолд это такое многообразие, у которого есть полный исключительный набор из минимального числа объектов — так что ранг группы Гротендика K_0 такой же, как у проективного пространства. Любое проективное пространство и нечетномерные квадрики это минифолды. А четномерные нет — у них два спинорных расслоения, и ранг К_0 на единицу больше. В размерности 3 есть 4 знаменитых минифолда: помимо уже двух названных это линейное сечение Грассмана 2,5 и Фано X_22. Оказывается, есть еще пятый численный тип, который реализуется некоммутативно. Увидеть это можно численно: нужно написать матрицу формы Эйлера исключительного набора, это просто целочисленная верхнетреугольная 4 на 4 матрица с единицами на диагонали. Она называется матрицей Эйлера. С точки зрения зеркальной симметрии происходит вот что: из матрицы Эйлера А получается оператор -A^(-1)A^T, который отвечает монодромии обхода слоя над бесконечностью в зеркальном семействе над P^1. Этот оператор является максимально унипотентным. Матрицы Эйлера, которые удовлетворяют этому условию — и еще паре естественных геометрических — мы называем положительными. На исключительные наборы — и значит на матрицы Эйлера — можно действовать мутациями. Вопрос: сколько найдется орбит действия группы кос на четырех нитях на множестве (положительных) матриц Эйлера? Казалось бы, должно быть четыре, но нет. Есть еще пятая. И степень для элемента этой орбиты — она выражается из матрицы — равна 72. Гладких коммутативных трифолдов Фано такой антиканонической степени не существует, но эти матрицы должны чему-то соответствовать. Они отвечают семейству некоммутативных многообразий Фано (определение дается в статье: по сути, оно имитирует proj-конструкцию с антиканонической алгеброй), которые задаются при помощи явно выписанного потенциала. Есть соблазн смотреть на эти многообразия как на некоммутативное сглаживание горенштейнова трифолда Фано P(1,1,1,3) максимально возможной степени. Однако это пока не установлено (да и определения некоммутативных деформаций я не знаю). Самое интересное это как устроено доказательство. В каком-то смысле оно тоже основано на зеркальной симметрии. Оказывается, что задача про матрицу Эйлера четырехмерна только на первый взгляд. На самом деле, при помощи следовой конструкции все ее нетривиальные элементы приходят из следов матриц 2 на 2 — матриц представления свободной группы на трех образующих. Дальше происходит модулярное чудо: матрицы можно сопрячь и поместить в SL(2, Z), так что их образы в PSL(2, Z) дадут подгруппу индекса 12. При этом фактор верхней полуплоскости по этой подгруппе будет тором с двумя проколами, имеющим конечный объем в индуцированной гиперболической метрике. И классов сопряженности таких подгрупп всего 5, это уже было посчитано раньше, используя теорию детских рисунков. А если сфакторизовать эту эллиптическую кривую с проколами по подходящей инволюции (в классических примерах это инволюция Аткина-Ленера), получится та самая P^1 с отмеченной бесконечностью (4 точки ветвления будут отвечать вырожденным слоям зеркального семейства), о которой тут уже писал выше. Получается, что здесь ЗС работает как некоторый трюк понижения размерности. Пусть и в некоммутативном контексте.

Хотите рандомную гипотезу? (причин в нее верить у меня нет) Пусть есть кэлерово многообразие X. Рассмотрим пространство С(X) всех кривых в ней оснащенных индуцированными метриками из X. Гипотеза: X проективное тогда и только тогда когда X лежит в замыкании C(X) в пространстве Громова-Хаусдорфа только когда направление очевидно — можно приближать объединениями многих дивизоров потом сглаживать потом продолжать по индукции. для поверхностей это тоже верно

Джоел выложил наконец https://arxiv.org/abs/2609.24790 We show that a sequence of simplicial polytopes approximating a smooth convex body has primitive Betti numbers diverging from the upper bound given by the g-theorem. This complements a result of Adiprasito-Nevo-Samper, who proved the corresponding divergence from the lower bound. The proof uses a new lower bound for the size of the shadow of a set of monomials.

Кстати обнаружил сейчас забавное элементарное явление. вот допустим у меня есть любой триангулированный полиэдр в R^3 гомеоморфный сфере например строго выпуклый политоп со всеми гранями трегульниками давайте немного его пошевелим чтобы все длины ребер стали общими а теперь я его разрезаю по треугольникам и посылаю в посылке вместо с полной схемой какие стороны каких треугольников как склеивать сможете ли вы его однозначно склеить? есть ведь теорема Коши-Александрова что по развертке можно восстановить выпуклое тело. ответ: никогда не сможете! то есть если вы например знаете что она должна быть выпуклая то да по теореме Коши, но на самом деле всегда будет еще хотя бы одна другая конфигурация (невыпуклая). Увидеть это можно так на поверхности всегда есть цикл длины 4 (два треугольника с общей стороной) разрежем нашу сферу на два диска по этому циклу полигоны длины четыре с фиксированным длинами ребер точностью до движений R3 образуют пространство имени Каповича-Милсона которое изоморфно CP^1=S^2 из пространств изометрических реализаций (с точностью до движений) каждого из получившихся диска есть отображение границы в наше S^2 — мы берем реализацию диска и забываем все кроме границы ну один диск это склеенные по ребру два треугольника и его образ это погруженная окружность C упражнение : малым шевелением нашего полиэдра изначального можно добиться что образ второго диска это иммерсированное подмногообразие причем окружность C пересекается с ним общим образом то есть не в самопересечении и не касается значит число точек пересечения четное значит наш изначальный сферический полиэдр склеивается из двух дисков по крайней мере двумя разными способами забавно что в случае когда род замкнутого полиэдра больше 1 то для общих длин его пространство реализаций состоит из одной точке то есть он глобально жесткий (за редкими случаями триангуляций с трехсвязными скелетами)

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/hilldale.pdf Максвелл о холмах и долинах потрясающе, случайно обнаружил ища самое раннее упоминание слова landscape в математике или физике в значении "качественное описание поведения функционала на большом пространстве модулей" Максвелл в 1870 году доказывает что число минимумов - число седел + число вершин = 2 ну на языке пиков, впадин, перемычек и перевалов (последние два это седла, это типа не вполне локальное свойство) доказывается конечно так: представим что наш пейзаж заполняется водой и смотрим как изменяется затопленный регион. две впадины соединяются по перемычке, две горы соединяются когда затапливает перевал и тд. у него даже на самом деле есть разложение Морса-Смейла типа точки которые стекают в один минимум и который спадают с одного максимума, границы этих областей это специальные траектории между седловыми точками.

https://arxiv.org/abs/2608.25902 Thousands of sangaku tablets, inscribed with colorful geometry problems, were posted in shrines and temples across the Japanese archipelago starting in the Edo period (1603--1868), representing an intersection of artistic, religious, and mathematical traditions. The Sangaku Archive is an attempt to carefully document these objects using the latest digital tools, and to tell an unusual and compelling story about mathematics---one that enriches computations and proofs with historical context and cultural appreciation.

cute

https://arxiv.org/abs/1812.10137 Low degree approximation of random polynomials Daouda Niang Diatta, Antonio Lerario

We prove that with "high probability" a random Kostlan polynomial in n+1 many variables and of degree d can be approximated by a polynomial of "low degree" without changing the topology of its zero set on the sphere Sn. The dependence between the "low degree" of the approximation and the "high probability" is quantitative: for example, with overwhelming probability the zero set of a Kostlan polynomial of degree d is isotopic to the zero set of a polynomial of degree O(dlogd−−−−−√). The proof is based on a probabilistic study of the size of C1-stable neighborhoods of Kostlan polynomials. As a corollary we prove that certain topological types (e.g. curves with deep nests of ovals or hypersurfaces with rich topology) have exponentially small probability of appearing as zero sets of random Kostlan polynomials.

если униформно независимо выбирать два лагранжевых подпространства в F^{2g} где F это поле из q элементов то эта формула дает вероятность того что они трансверсальны. и она сходится к положительному числу