تأملات رياضية ومنطقية

معنى التكامل عكس الاشتقاق عند نيوتن و عند لايبنتز

معنى التكامل عكس الاشتقاق عند نيوتن و عند لايبتز

كلام دكتور عن اهمية التاسيس النظري و الرياضي وان الادوات التنفيذيه مثلا سابقا ماتلاب و اليوم لغات برمجة ك بايثون و غدا غيرها هي وسائل تتغير وتتبدل مع الوقت مع ثبات الأساس

عرفنا ان الشبكات العصبية ليست الا تقريب رياضي لدالة تمثل مهمة ما f(x) لكن فضاء الدوال الذي يحقق نفس الدالة هو لانهائي ( كمثال لو كانت بيانات تدريب فيها نقاط (0,1) ف انا اقدر ابني دوال مثلثية اة اسية او تركيب معقد يمر بنفس هذه نقاط) وهنا تاتي نظرية No Free Lunch وتنص اذا فرضنا جميع الدوال الرياضيه الممكنة متساوية الاحتمال فإن متوسط أداء اي خوارزمية تعلم على البيانات يتساوى مع متوسط اداء اي خوارزمية أخرى( لذلك يقال ان من منظور رياضيات البحته فان احتمال اجابة الشبكة العصبية يساوي احتمال رمي عملة معدنية بشكل عشوائي) فلو دربنا شبكة عصبيه على بيانات لتتعلم دالة f(x) فمعروف بيانات هذه ما تحدد سلوك الداله خارج النقاط بالتالي توجد دوال متتعده تطابق هذه بيانات بالتالي لا توجد خوارزمية واحده تتفوق على باقي خوارزميات التعليم( على مستوى النظري) بالتالي الكلام عن تفوق شبكات العصبية العميقة او Transformer او غيرها بمهام مثل اللغه و البرمجة و تنصنيف و الخ.. يقابله بشكل حتمي ان ادائها يكون ضعيف جدا لاي دالة معاكسة للدالة الذي تعلمتها(ملاحظه لو قلنا بتعريف agi بانه ذكاء عام لهذه الدوال فالنظرية تثبت استحالته )

عرفنا ان الشبكات العصبية ليست الا تقريب رياضي لدالة تمثل مهمة ما f(x) لكن فضاء الدوال الذي يحقق نفس الدالة هو لانهائي ( كمثال لو كانت بيانات تدريب فيها نقاط (0,1) ف انا اقدر ابني دوال مثلثية اة اسية او تركيب معقد يمر بنفس هذه نقاط) وهنا تاتي نظرية No Free Lunch وتنص اذا فرضنا جميع الدوال الرياضيه الممكنة متساوية الاحتمال فإن متوسط أداء اي خوارزمية تعلم على البيانات يتساوى مع متوسط اداء اي خوارزمية أخرى( لذلك يقال ان من منظور رياضيات البحته فان احتمال اجابة الشبكة العصبية يساوي احتمال رمي عملة معدنية بشكل عشوائي) فلو دربنا شبكة عصبيه على بيانات لتتعلم دالة f(x) فمعروف بيانات هذه ما تحدد سلوك الداله خارج النقاط بالتالي توجد دوال متتعده تطابق هذه بيانات بالتالي لا توجد خوارزمية واحده تتفوق على باقي خوارزميات التعليم( على مستوى النظري) بالتالي الكلام عن تفوق شبكات العصبية العميقة او Transformer او غيرها بمهام مثل اللغه و البرمجة و تنصنيف و الخ.. يقابله بشكل حتمي ان ادائها يكون ضعيف جدا لاي دالة معاكسة للدالة الذي تعلمتها(ملاحظه لو قلنا بتعريف agi بانه ذكاء عام لهذه الدوال فالنظرية تثبت استحالته ) تبقى مسالة كيف تنجح خوارزميات ai على خوارزميات أخرى في تعلم و تحقيق نتائج طالما ان متوسط ادائها يستحيل ان يتفوق احدهم على الاقل وهذا سانشر عنه لاحقا لكن يكفي قول بوجود تحيزات استقرائية

استذكر ايضا مثال اخر في لينكس سابقا لتحميل حزم معينه نستعمل امر rpm لكن مشكلته انه لو لدينا حزم A و A تعتمد على B فهو لايمكنه التعامل مع هذا الاعتماد المنطقي فجائوا بحل اولي وهو YUM يعمل بصورة برمجية دون تحويل منطقي فجائوا بحل اذكى وهو dnf يقوم بتحويل المسالة الى صيغة sat لكن بدل من تحويل برمجي فقط وضعوا تحويل منكقي لحل sat بسرعة بالتالي نجعله يفهم الارتباطات عن طريق تحويل هذه الروابط الى SAT ف مثلا A يعتمد على B و B على C و هكذا فهو يحولهم الى صيغة A → B B → C و نحول هذه الصيغ الى cnf فتكون (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C) الان لو اردنا تثبيت A يكفي ان نضيفه مع رابطة and فاصبحت مسالة sat وهكذا اصبح امر dnf سريع و مستعمل باغلب توزيعات لينكس

وهنالك مبرهنة اخرى شهيرة تسمى مبرهنة كوك-ليفن يثبت فيها اختزال مسائل الى Sat بالتالي اي كود برمجي يعمل سواء نكتبه باي لغة كانت لتعامل مع بيانات او سكربتات او حتى في الامن السيبراني و كل شيء برمجي يعمل مرده الى مسألة منطقية نحاول فيها وضع قيم T و F ل عبارة بمنطق رياضي

هذا يكافئ رياضيا ان الشبكات العصبية يمكنها تمثيل اي دالة متصلة( او تقريب الدوال المنفصلة) او بتعبير طوبولوجي يمكنها انشا cover ل مجموعة متراصة الان ان عرفنا هذا فكيف اذن تتعلم الشبكة التمثيلات و تعطي نتائج قويه بمجالات اللغة و البرمجة وما شاكلهم؟ التفسير المتعارف عليه ان النماذج فقط تتوقع التوكن القادم و نلاحظ ان هذا فقط يفسير المخرجات وليس فعليا كل ما يحدث لان التفسير الكامل هو حصول تمثيلات معرفيه فالتوقع يكون سلوك داخل هذه التمثيلات ( بالمناسبة هذا اساسا احد المدارس التفسيرية لعلم الاعصاب بخصوص عمل الدماغ حيث الدماغ ليس الا الة تنبا لكن دخول في صحة و خطا هذا بحث اخر) خذ على سبيل مثال نموذج تعلم بيانات كود برمجي فهو لا يتوقع اي كلمة بل يحدث داخل مسار معرفي يخص تمثيل للبرمجه هنالك ظاهرة ايضا مهمة لتقديم التفسير تعرف ب grokking حيث باحثين في openai دربوا نموذج لتعلم عملية جمع معياربه بعد ساعات تدريب و فشل النموذج نجح في النهاية و السبب ان النموذج بداخله شكل تمثيل لتحويل فوريه وليس أنه توقع توكن فقط - الان الشبكات العصبية هي: تعتبر الة تورنج كامله( مما يسمح لها بتنفيذ اي كود برمجي يكافئ حوسبة تورنج) و تعتبر الة تقريبة عامه و تعتبر بنفس وقت نموذج ( نموذج بالمعنى الذي في فلسفة العلم وهو ) فيه تتشكل تمثيلات معرفيه و التفسير الرياضي 1-الشبكات هي مجرد دالة y=f(x,n1, n2... ) 2-لدينا ظاهرة معرفية مثلا تعلم البرمجة 3-البيانات الذي تخص هذه الظاهرة لها تمثيل في أبعاد عاليه 4-هذا التمثيل فيه بنيه و مسارات معرفيه( وهي الذي تسهل الاستدلال) 5--توجد دالة y تتعلم او تتقارب الى هذا التمثيل 6- اذن لدينا الدالة y مع وقت و ذاكرة كافيه ( وعلى فرض صحة التمثيل) تتقارب بشكل حتمي الى هذا تمثيل المعرفي بالتالي المسألة محسومة رياضيا بشكل نظري

"De Morgan clearly realized the inadequacy of traditional logic... witness his famous aphorism, that all the logic of Aristotle does not permit us, from the fact that a horse is an animal, to conclude that the head of a horse is the head of an animal" -تاركسي ذاكرا مثال دي مورغان الشهير عن عجز المنطق القديم باستنتاج نتيجة من علاقة

السلام عليكم اعمل حاليا على مشروع لجمع بيانات باللهجة العراقية (لأن البيانات العراقية المتاحه لاتزال قليلة على hugface و مولده اليا) و ابني Dataset عراقية غير مولدة الية او ب ai هذه الداتا تفيدنا لاحقا في تدريب نماذج الذكاء الاصطناعي او اختبارات تقيم اللغة وابحاث NLP او مساهمات بحثية لاحقا اتمنى مشاركة بسيطه لمن يستطيع هذا الموقع سيتم جمع فيه البيانات اي واحد يقدر يدخل و يكتب اي كلام باللهجة العراقية حصرا( عادي تستعمل مصطلحات فصحى ضمن الكلام لكن المهم في لهجة عراقية) رابط موقع : https://iraqi-dialect-data.pages.dev والذي يمكنه ارسال أكثر من مساهمة او نشر هذا راح يخفف علي جزء كبير من عملية جمع البيانات و يساعد ببناء هذه بيانات🌷🌷

السلام عليكم اعمل حاليا على مشروع لجمع بيانات باللهجة العراقية (لأن البيانات العراقية المتاحه لاتزال قليلة على hugface و مولده اليا) و ابني Dataset عراقية غير مولدة الية او ب ai هذه الداتا تفيدنا لاحقا في تدريب نماذج الذكاء الاصطناعي او اختبارات تقيم اللغة وابحاث NLP او مساهمات بحثية لاحقا اتمنى مشاركة بسيطه لمن يستطيع هذا الموقع سيتم جمع فيه البيانات اي واحد يقدر يدخل و يكتب اي كلام باللهجة العراقية حصرا( عادي تستعمل مصطلحات فصحى ضمن الكلام لكن المهم في لهجة عراقية) رابط موقع : https://iraqi-dialect-data.pages.dev والذي يمكنه ارسال أكثر من مساهمة او نشر هذا راح يخفف علي جزء كبير من عملية جمع البيانات و يساعد ببناء هذه بيانات🌷🌷

في خمسينات كان هنالك مشروع Ai يسمى Logic Theorist و يعتبر من اوائل ai الخاصة في المنطق رياضي فكرته هو برهنة على نظريات رياضية و منطقيه خاصة بكتاب راسل ووايتهاد ، في بداية حقق النموذج نجاح باثبات النظريات فقال راسل : «“I am delighted to know that Principia Mathematica can now be done by machinery.”» و اختتم بنبؤة قرب تحققها اليوم وقال «“everything in deductive logic can be done by a machine.”» راسل تنبا بان كل مافي المنطق الاستنباطي(من حوسبة و رياضيات بحته و كل ما بتفرع من المنطق) انه يمكن للآلة ان تنجزه وهذا بدانا نشهده اليوم 😆 وبعد عام عاد Simon و ارسل نتائج جديده لراسل لكن هذه مرة فيها برهان ابداعي و مختصر و جميل ف رد راسل مازحا : «“I am delighted by your example of the superiority of your machine to Whitehead and me”» على عموم كل هذا كان قبل سبعين سنة و اليوم بدا ai بالفعل بتحقيق ما قاله راسل

"فإذا لم يستطع نيوتن أن يتنبأ بسلوك ثلاث كرات فهل يستطيع ماركس أن يتنبأ بسلوك ثلاثة أشخاص ؟ "😆

هنالك تسريبات بان النموذج السري حل بالفعل مسألة اخرى و حقق تقدم في ريمان و يعمل على حل كل مسائل الالفية و ايضا حل عشرات المسائل المفتوحة مما دفع الى اجتماع طارئ آخر بين مجتمع العلماء و openai .. ربما حلم لايبتز بوجود آلة منطقية تحل كل شيء بات قريب.. لايبتز كان يقول "عندما ينشأ خلاف، لن يكون هناك حاجة للجدال بين فيلسوفين أكثر مما يدور بين محاسبين، بل سيكفي أن يأخذا أقلامهما ويقولا لبعضهما: فلنحسب " لكن المحبط ان حلم لايبنتز كان مبني على تنوير العقل البشري وتسهيل التوافق البشري ف العقل هو من يبحث و يحاول ان يثبت و يتعلم بينما ما يحدث حاليا في ai هو انه يقوم بتهميش العقل البشري بالكامل و استعباده من ساحة البحث العلمي كاملا و حتى العملي لاحقا..

صورة حديثة، السيد كمال الحيدري دام ظله مع نسخة من كتاب تلميذه الدكتور علي المدن، متضامنا بعد قرار منع الكتاب في معرض بغداد الدولي للكتاب.

في الثقافة الصينية و بعض ثقافات الغربية يتم تسميات الابتكارات و التقنيات باسماء علماء رياضيات تقديرا و تكريما لهم كمثال هواوي تضع اسماء لعلماء الرياضيات في تسمية بعض تقنياتها و مشاريعها مثلا توزيعة لينكس openEuler فيها اسم اويلر ونظام ادارة بيانات openGauss نسبة الى غاوس و مركز الابحاث Hilbert Research Center نسبة الى ديفيد هيلبرت

من طرائف الرياضيات ؛ يوجد في الرياضيات مفارقة تسمى (Interesting number paradox) أو مفارقة العدد المثير، والعدد المثير أو المهم هنا هو أي عدد له خاصية مميزة، فمثلا الواحد عدد مثير لأن له خاصية مميزة الا وهو أنه يساوي العاملي -أو المضروب- الخاص به أي: 1!=1 والعدد 2 عدد مثير لأنه العدد الأولي الزوجي الوحيد -وهذه مبرهنٌ عليها في الرياضيات- والعدد 3 عدد مميز أيضا لأنه أول عدد من أعداد ميرسين، وهلم جرا. نفترض أولا أن بعض الأعداد الطبيعية لها خصائص "مثيرة" واستقرأنا ذلك على أول 3 أعداد، فكيف نبرهن أن هذا هو الحال لكل الأعداد الطبيعية؟ لنفترض النقيض -أي أن هناك مجموعة أعداد غير مثيرة- (Uninteresting Numbers Set) لنسمها S، وكل عنصر داخل S هو عدد طبيعي غير مثير. بحسب مبدأ الترتيب الحسن: (well-ordering principle) والذي ينص على أنه كل مجموعة غير خالية من الأعداد الطبيعية لها أصغر عنصر، أي ببساطة فهي تحتوي على عنصر يكون هو الأصغر بين باقي الأعداد ؛ فإنه يوجد على الأقل عنصر واحد أصغر داخل المجموعة S الخاصة بالأعداد غير المثيرة، لكن هذه الخاصية بحد ذاتها خاصية مثيرة، مما يؤدي إلى تناقض لأننا افترضنا أن كل العناصر داخل S غير مثيرة، مما يؤدي إلى استنتاج أن جميع الأعداد الطبيعية هي أعداد مثيرة ولا يمكن أن توجد مجموعة أعداد غير مثيرة رياضيا.

"The primary goal of mathematics has always been about human understanding of ideas. When a mathematician solves a problem, then they can explain to others the new concepts that led them to this discovery and how they came about it. "