Математика просто!

◻️ Теорема Байеса Это одна из самых важных тем в теории вероятностей. Выглядит она на первый взгляд как просто формула, но за ней стоит способ мышления. Теорема Байеса отвечает на вопрос: как пересмотреть свои ожидания после получения новых данных. Представьте, что у вас есть некоторая гипотеза. Вы примерно представляете, насколько она вероятна. Потом происходит некоторое событие, которое как-то связано с этой гипотезой. После этого события ваша оценка вероятности гипотезы должна измениться. Теорема Байеса говорит, как именно её пересчитать. Например: - Гипотеза: человек болен некоторой болезнью. - Событие: тест показал положительный результат. - Вопрос: какова теперь вероятность, что человек действительно болен. Или другой пример: - Гипотеза: письмо — спам. - Событие: в письме встретилось слово «заработок». - Вопрос: какова теперь вероятность, что письмо — спам То есть мы не считаем вероятность второго события при первом, а пересчитываем вероятность. Раньше, шанс первого был 1, а какая вероятность первого события, после того как произошло второе? ◻️ Сама формула

P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)

Читается так: вероятность гипотезы H при условии, что произошло событие E, равна вероятности события E при условии H, умноженной на априорную вероятность H, и делённой на полную вероятность события E. P(H|E) — это то, что мы ищем. Апостериорная вероятность гипотезы после получения данных. ◻️ Разбор на примере Возьмём задачу из предыдущих постов. Болезнь встречается у 0.1% людей. Тест даёт положительный результат в 99% случаев, если человек болен. Тест даёт положительный результат в 1% случаев, если человек здоров. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?

1️⃣ Определяем гипотезу и событие. H — человек болен. E — тест положительный

2️⃣ Выписываем известные вероятности. P(H) = 0.001 (болезнь у 0.1% людей, это априорная вероятность). P(E|H) = 0.99 (тест положителен с вероятностью 99%, если человек болен).

3️⃣ Считаем P(E) — полную вероятность положительного теста. Здесь нужна формула полной вероятности, которую мы разбирали в прошлом посте.

Гипотез две: человек болен (H) и человек здоров (не H). Обозначим не H как ¬H. P(¬H) = 0.999 (вероятность быть здоровым). P(E|¬H) = 0.01 (вероятность ложного положительного теста, если человек здоров).

По формуле полной вероятности: P(E) = P(H) × P(E|H) + P(¬H) × P(E|¬H) P(E) = 0.001 × 0.99 + 0.999 × 0.01 P(E) = 0.00099 + 0.00999 P(E) = 0.01098

4️⃣ Подставляем всё в формулу Байеса. P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E) P(H|E) = 0.99 × 0.001 / 0.01098 P(H|E) = 0.00099 / 0.01098 P(H|E) ≈ 0.0902

Результат: примерно 9%. #углублённо

Пожалуй, ни один год XX века не длился так долго, как 1972-й. Он был не только високосным, но и получил сразу две "високосные секунды" — редкое астрономическое явление, когда к мировому времени добавляют дополнительные секунды, чтобы компенсировать неравномерное вращение Земли. В результате этот год стал самым длинным в современной истории. Продолжительность 1972 года составила 31 622 402 секунды, тогда как в обычном году — 31 536 000 секунд, а в стандартном високосном — 31 622 400 секунд. Дополнительные две секунды были добавлены 30 июня и 31 декабря, чтобы синхронизировать астрономическое и атомное время.

О, обычное "легкое" решение геометрической задачи

Запоминаем основное тригонометрическое тождество