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KKM SIR™:
Hello friends 😃☺️
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⚜⚜ *त्रिकोणमिति : महत्वपूर्ण सूत्र* ⚜⚜
🍎 *योग सूत्र*
➭ *Sin(A+B) = SinACosB+CosASinB*
➭ *Sin(A-B) = SinACosB-CosASinB*
➭ *Cos(A+B) = CosACosB-SinASinB*
➭ *Cos(A-B) = CosACosB+SinASinB*
🍏 *अन्तर सूत्र*
➭ *tan(A+B) = tanA+tanB/1-tanAtanB*
➭ *tan(A-B) = tanA-tanB/1+tanAtanB*
🍎 *C-D सूत्र*
➭ *SinC+SinD = 2Sin(C+D/2) Cos(C-D/2)*
➭ *SinC-SinD = 2Cos(C+D/2) Sin(C-D/2)*
➭ *CosC+CosD = 2Cos(C+D/2) Cos(C-D/2)*
➭ *CosC-CosD = 2Sin(C+D/2) Sin(D-C/2)*
➭ *CosC-CosD = -2Sin(C+D/2) Sin(C-D/2)*
🍏 *रूपांतरण सूत्र*
➛ *2SinACosB = Sin(A+B)+Sin(A-B)*
➛ *2CosASinB = Sin(A+B)-Sin(A-B)*
➛ *2CosACosB = Cos(A+B)+Cos(A-B)*
➛ *2SinASinB = Cos(A-B)-Cos(A+B)*
🍎 *द्विक कोण सूत्र*
➛ *Sin2A = 2SinACosA*
➛ *Cos2A = Cos²A-Sin²A = 2Cos²-1 = 1-2Sin²A*
➛ *tan2A = 2tanA/1-tan²A*
➛ *Sin2A = 2tanA/1+tan²A*
➛ **Cos2A = 1-tan²A/1+tan²A*
🍏 *विशिष्ट सूत्र*
➛ *Sin(A+B)Sin(A-B) = Sin²A-Sin²B*
= *Cos²B-Cos²A*
➛ *Cos(A+B)Cos(A-B) = *Cos²A-Sin²B = Cos²B-Sin²A*
🍎 *त्रिक कोण सूत्र*
➛ *Sin3A = 3SinA-4Sin³A*
➛ *Cos3A = 4Cos³A-3CosA*
➛ *tan3A = 3tanA-tan³A/1-3tan²A*
🍏 *महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं*
➛ *Sin²θ+Cos²θ = 1*
➭ *Sin²θ = 1-Cos²θ*
➭ *Cos²θ = 1-Sin²θ*
➛ *1+tan²θ = Sec²θ*
➭ Sec²θ-tan²θ = 1*
➭ tan²θ = Sec²θ-1*
➛ *1+Cot²θ = Cosec²θ*
➭ *Cosec²θ-Cot²θ = 1*
➭ Cot²θ = Cosec²θ-1
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गणित | समुच्चय सिद्धांत का परिचय
सेट वस्तुओं का एक अव्यवस्थित संग्रह है, जिसे सेट के तत्व या सदस्य के रूप में जाना जाता है।
समुच्चय A से संबंधित तत्व 'a' को 'a ∈ A' के रूप में लिखा जा सकता है, 'a ∉ A' दर्शाता है कि a समुच्चय A का तत्व नहीं है।
एक सेट का प्रतिनिधित्व
एक सेट को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है। सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली 3 सामान्य विधियाँ:
1. विवरण प्रपत्र.
2. रोस्टर फॉर्म या सारणीबद्ध फॉर्म विधि।
3. बिल्डर विधि सेट करें।
कथन प्रपत्र
इस निरूपण में समुच्चय के तत्वों का सुस्पष्ट विवरण दिया गया है। नीचे उसी के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
1. 10 से कम सभी सम संख्याओं का समुच्चय।
2. 10 से कम तथा 1 से अधिक संख्याओं का समुच्चय।
रोस्टर प्रपत्र
इस प्रतिनिधित्व में, तत्वों को कोष्ठक {} की जोड़ी के भीतर सूचीबद्ध किया गया है और अल्पविराम द्वारा अलग किया गया है। नीचे दो उदाहरण हैं.
1. माना N, 5 से कम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
एन = { 1 , 2 , 3 , 4 }.
2. अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का समुच्चय।
वी = { ए , ई , आई , ओ , यू }.
बिल्डर फॉर्म सेट करें
सेट-बिल्डर में सेट को एक संपत्ति द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे उसके सदस्य को संतुष्ट करना होगा।
1. {x : x एक सम संख्या है जो 6 से विभाज्य है और 100 से कम है}।
2. {x : x 10 से कम प्राकृतिक संख्या है}।
समान सेट
दो समुच्चयों को समान कहा जाता है यदि दोनों के अवयव समान हों।
उदाहरण के लिए A = {1, 3, 9, 7} और B = {3, 1, 7, 9} समान समुच्चय हैं।
नोट: किसी सेट के तत्वों का क्रम मायने नहीं रखता।
सबसेट
एक सेट ए को दूसरे सेट बी का उपसमुच्चय कहा जाता है यदि और केवल तभी जब सेट ए का प्रत्येक तत्व अन्य सेट बी का भी हिस्सा हो।
'⊆' से दर्शाया जाता है।
'ए ⊆ बी' दर्शाता है कि ए, बी का एक उपसमुच्चय है।
यह सिद्ध करने के लिए कि A, B का उपसमुच्चय है, हमें बस यह दिखाना होगा कि यदि x, A का है तो x भी B का है।
यह सिद्ध करने के लिए कि A, B का उपसमुच्चय नहीं है, हमें एक तत्व का पता लगाना होगा जो समुच्चय A का भाग तो है लेकिन समुच्चय B से संबंधित नहीं है।
एक सेट का आकार
समुच्चय का आकार परिमित या अनंत हो सकता है।
समुच्चय S के आकार को कार्डिनैलिटी संख्या के रूप में जाना जाता है, जिसे |S| के रूप में दर्शाया जाता है।
उदाहरण: मान लीजिए A 10 से कम विषम धनात्मक पूर्णांकों का एक समूह है।
समाधान: ए = {1, 3, 5, 7, 9}, सेट की कार्डिनैलिटी 5 है, यानी, ए| = 5.
नोट: शून्य सेट की कार्डिनैलिटी 0 है।
पावर सेट
पावर सेट सेट एस के सभी संभावित उपसमुच्चय का सेट है। पी (एस) द्वारा दर्शाया गया है।
उदाहरण: {0, 1, 2} का पावर सेट क्या है?
समाधान: सभी संभावित उपसमुच्चय
{∅}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}।
नोट: ख़ाली समुच्चय और स्वयं समुच्चय भी उपसमुच्चय के इस समुच्चय का सदस्य है।
पावर सेट की कार्डिनैलिटी है
2^n, जहां n एक सेट में तत्वों की संख्या है।
कार्टेशियन उत्पाद
माना A और B दो समुच्चय हैं। ए और बी का कार्टेशियन उत्पाद ए × बी द्वारा दर्शाया गया है, सभी क्रमित जोड़े (ए, बी) का सेट है, जहां ए ए से संबंधित है और बी बी से संबंधित है।
ए × बी = {(ए, बी) | ए ∈ ए ∧ बी ∈ बी}.
उदाहरण 1. A = {1, 2} और B = {p, q, r} का कार्तीय गुणनफल क्या है।
समाधान: ए × बी = {(1, पी), (1, क्यू), (1, आर), (2, पी), (2, क्यू), (2, आर)};
A × B की कार्डिनैलिटी N*M है, जहां N, A की कार्डिनैलिटी है और M, B की कार्डिनैलिटी है।
नोट: A × B, B × A के समान नहीं है।
Mathematics | Introduction of Set theory
A Set is an unordered collection of objects, known as elements or members of the set.
An element ‘a’ belong to a set A can be written as ‘a ∈ A’, ‘a ∉ A’ denotes that a is not an element of the set A.
Representation of a Set
A set can be represented by various methods. 3 common methods used for representing set:
1. Statement form.
2. Roaster form or tabular form method.
3. Set Builder method.
Statement form
In this representation, the well-defined description of the elements of the set is given. Below are some examples of the same.
1. The set of all even number less than 10.
2. The set of the number less than 10 and more than 1.
Roster form
In this representation, elements are listed within the pair of brackets {} and are separated by commas. Below are two examples.
1. Let N is the set of natural numbers less than 5.
N = { 1 , 2 , 3, 4 }.
2. The set of all vowels in the English alphabet.
V = { a , e , i , o , u }.
Set builder form
In Set-builder set is described by a property that its member must satisfy.
1. {x : x is even number divisible by 6 and less than 100}.
2. {x : x is natural number less than 10}.
Equal sets
two sets are said to be equal if both have same elements.
For example A = {1, 3, 9, 7} and B = {3, 1, 7, 9} are equal sets.
NOTE: Order of elements of a set doesn’t matter.
Subset
A set A is said to be subset of another set B if and only if every element of set A is also a part of other set B.
Denoted by ‘⊆‘.
‘A ⊆ B ‘denotes A is a subset of B.
To prove A is the subset of B, we need to simply show that if x belongs to A then x also belongs to B.
To prove A is not a subset of B, we need to find out one element which is part of set A but not belong to set B.
Size of a Set
Size of a set can be finite or infinite.
Size of the set S is known as Cardinality number, denoted as |S|.
Example: Let A be a set of odd positive integers less than 10.
Solution: A = {1, 3, 5, 7, 9}, Cardinality of the set is 5, i.e., A| = 5.
Note: Cardinality of a null set is 0.
Power Sets
the power set is the set all possible subset of the set S. Denoted by P(S).
Example: What is the power set of {0, 1, 2}?
Solution: All possible subsets
{∅}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.
Note: Empty set and set itself is also the member of this set of subsets.
Cardinality of power set is
2^n, where n is the number of elements in a set.
Cartesian Products
Let A and B be two sets. Cartesian product of A and B is denoted by A × B, is the set of all ordered pairs (a, b), where a belong to A and b belong to B.
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Example 1. What is Cartesian product of A = {1, 2} and B = {p, q, r}.
Solution: A × B = {(1, p), (1, q), (1, r), (2, p), (2, q), (2, r)};
The cardinality of A × B is N*M, where N is the Cardinality of A and M is the cardinality of B.
Note: A × B is not the same as B × A.
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1) जरूरत से ज्यादा नींद
2) गुस्सा
3) आलस्य
4) मनोरंजन
5) पार्टिया
6) दोस्त
7) नकारात्मक सोच
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