Бассейн эргодичности

Диссертации часто ругают за то, что их главы плохо стыкуются между собой в единую тему. Таким ругающим можно показать вот эту диссертацию, успешно защищенную в Корнеллском университете: Topological Excitations in an Atomic Bose Gas and Sexual Harassment Reported by Undergraduate Physicists – то есть «Топологические возбуждения в атомном бозе-газе и сообщения о сексуальных домогательствах от студенток бакалавриата». #цитаты

Кстати говоря, при анализе оптического правила сумм возникают три разных вида массы электрона в твердом теле. Само это правило сумм формулируется как ∫Re[σ(ω)]dω = πe²n/m, где интеграл по частотам берется от 0 до ∞. Масса m, которая здесь появляется, называется оптической массой и отражает усредненную (в смысле среднего гармонического) эффективную массу электронов, задействованных в тех оптических переходах, которые формируют интегрируемую оптическую проводимость σ(ω). Если же мы возьмем только часть оптической проводимости, связанную с внутризонной динамикой электронов, в правой части мы получим транспортную массу m_tr, связанную также с друдевским весом D = πe²n/m_tr. Эта масса описывает, как ускоряются под действием внешней силы электроны вблизи поверхности Ферми, оставаясь при этом в исходной зоне. Межзонная же оптическая проводимость дает соответствующую межзонную массу m_inter. Как видно, транспортная и межзонная массы, складываясь как обратные величины, дают оптическую массу: 1/m = 1/m_tr + 1/m_inter. #твердое_тело

Правила сумм устанавливают точные соотношения между интегралами функций отклика по всем частотам и некоторыми характеристиками основного состояния системы – концентрацией частиц, числом Черна и т.д. В последние годы активно изучаются и подобные неравенства, зачастую связанные с квантовой геометрией волновой функции системы. В этой статье приводится ряд точных равенств и неравенств, единообразно получаемых анализом квантовой геометрии электронных состояний в кристалле. На рисунке приведена таблица правил сумм для нескольких (p–1)-x моментов межзонной оптической проводимости. Вещественная часть S′ отвечает за диагональную проводимость и, в зависимости от степени p, связывается со статической восприимчивостью, длиной локализации волновых функций и обратной оптической массой. Мнимая часть S″, связанная с холловской проводимостью, связывается с числом Черна либо орбитальной намагниченностью. #твердое_тело

Еще один занятный пример касается простых чисел. Можно рассмотреть задачу о числе разбиений на простые слагаемые и отобразить ее на термодинамическую задачу о бозонах либо фермионах на уровнях энергии, пропорциональных простым числам, получив множество математических результатов, описанных в обзоре. Интересно, что можно получить формулу для плотности простых чисел, имеющую вид квазиклассической формулы следа – которая дает приближенную, сглаженную аппроксимацию для истинной плотности. Чем больше гармоник с частотами осцилляций α, пропорциональным координатам дзета-функции Римана, берется в показанной на рисунке формуле, тем более точной получается аппроксимация. На графике показана аппроксимация, посчитанная с 3000 слагаемыми, которая демонстрирует пики ровно на известных простых числах: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. #математика

Кстати говоря, при анализе числа разбиений заданного большого числа E на слагаемые в виде квадратов целых чисел обнаруживается интересный эффект. На рисунке крестиками показаны точные числа разбиений на квадраты с неповторяющимися слагаемыми, а синей прямой – аналитическая асимптотика, полученная переходом из большого канонического ансамбля методом перевала. Как видно, точная функция устойчиво осциллирует вокруг асимптотики, и амплитуда этих осцилляций не снижается с ростом E. Оказывается, что эти осцилляции обусловлены существованием пифагоровых троек целых чисел, удовлетворяющих условию a² + b² = c². При более высоких степенях подобных троек целых чисел, согласно теореме Ферма, не существует – поэтому и осцилляций в числах разбиений на более высокие степени не наблюдается. #математика

Таким образом, имеется взаимосвязь между чисто математической задачей о числе разбиений и физической задачей о числе конфигураций частиц на уровнях гармонического осциллятора с фиксированной полной энергией E. Такая величина – число конфигураций системы при фиксированной E – называется многочастичной плотностью состояний. Если разбиения ничем не ограничены, то полное число всех возможных разбиений P(E) получается равным многочастичной плотности состояний системы бозонов, населяющих эквидистантные уровни энергии одномерного гармонического осциллятора. В свою очередь, число разбиений с различными слагаемыми соответствует плотности состояний системы фермионов. Системы частиц описываются здесь ансамблем демона Максвелла, поскольку фиксирована полная энергия E, но не задано полное число частиц N, то есть максимальное число слагаемых в разбиении (если мы считаем, что оставшиеся частицы просто сидят на уровне ε = 0 и не дают вклада в разбиение). Вообще, расчет многочастичной плотности состояний квантовой системы – очень сложная задача, но в имеющемся случае невзаимодействующих бозонов или фермионов ее можно посчитать разными способами – например, перейдя от большого канонического ансамбля (где все считается аналитически) к ансамблю демона Максвелла методом перевала, который становится асимптотически точным в пределе E → ∞. Еще один вариант – это квазиклассическая формула следа для плотности состояний, из которой также можно вытаскивать аналитические асимптотики при больших энергиях. Вообще, для асимптотического поведения числа неограниченных разбиений есть известная формула Харди-Рамануджана, полученная еще до создания квантовой механики. Позднее, уже после ее создания, Ганс Бете независимо получил похожую формулу, рассчитывая многочастичную плотность состояний атомного ядра. Вскоре стала понятна связь между этими задачами, и она помогла получить множество интересных результатов, о которых рассказывается в этом обзоре. Например, ограничивая максимальное заполнение каждого уровня k частицами, что отвечает статистике Джентиле, можно получить асимптотические формулы для числа разбиений, где кратность каждого слагаемого не превышает k. Чисто математически эта задача очень запутанная, а вот аналогичная физическая задача, наоборот, очень простая. Еще вариант – вместо гармонического осциллятора с эквидистантными уровнями рассмотреть частицы в прямоугольной потенциальной яме, где уровни энергии ведут себя как m². Так можно исследовать числа разбиений на квадраты целых чисел. #математика #термодинамика

Разбиениями целого числа называются его представления в виде суммы целочисленных слагаемых. На рисунке представлены 11 различных разбиений числа 6, сгруппированных по максимальной кратности повторения слагаемых. Сверху все слагаемые в каждом разбиений различны, и число таких разбиений равно Q(6) = 4. Дальше максимальная кратность последовательно увеличивается, давая суммарно P(6) = 6 неограниченных разбиений. Как видно из рисунков, каждому разбиению отвечает распределение тождественных частиц по уровням энергии ε = 0,1,2,… гармонического осциллятора. Слагаемое ε входит в разбиение столько раз, сколько частиц находится на соответствующем уровне энергии, а само разбиваемое число равно суммарной энергии всех частиц E = ε₁ + ε₂ + … Можно заметить, что неограниченные разбиения отвечают размещениям бозонов, а разбиения с различными слагаемыми – размещениям фермионов. Если же максимальная кратность слагаемых в разбиении равна 1 < k < ∞, это отвечает промежуточной статистике Джентиле. #математика

А здесь можно видеть пример использования формулы Стреды, связывающей удельную холловскую проводимость изолятора с производной концентрации электронов по магнитному полю. Диаграмма показывает результат измерения намагниченности ромбоэдрического графена при помощи миниатюрного СКВИДа, и на осях концентрации носителей n и внешнего магнитного поля B можно видеть небольшое пятно, отвечающее намагниченной фазе материала. В этой фазе он демонстрирует квантовый аномальный эффект Холла, связанный с открытием топологически нетривиальной щели между двумя плоскими зонами. Как видно, с изменением B значение концентрации n, при котором наблюдается намагниченная фаза, смещается линейно по B. Согласно формуле Стреды, коэффициент пропорциональности между смещениями n и B связан со значением аномальной холловской проводимости, которая еще и квантуется: σ_xy = (e²/h)C. Полученное отсюда число Черна C = 5 является рекордно высоким для всех наблюдавшихся квантовых аномальных холловских изоляторов. #топологические_материалы

Топологический фазовый переход, при котором энергетическая щель в изоляторе закрывается и тут же открывается обратно с изменением топологического инварианта, по своей конструкции является непрерывным. А в этом эксперименте впервые обнаружен топологический фазовый переход первого рода – когда меняется топологический инвариант и одновременно происходит резкий скачок параметра порядка. Исследуемая система – это ромбоэдрический 4-слойный графен, знаменитый разнообразием своих скоррелированных фаз. Здесь он приведен в контакт с WS₂ и, в зависимости от уровня допирования n и вертикального поля D, демонстрирует фазы послойного антиферромагнетика (LAF) и послойно поляризованного изолятора (LPI), как показано на панели (a). При увеличении видно (b), что в направлении D < 0 имеются два последовательных перехода M1 и M2 между этими фазами. Авторы показывают, что в этих местах изменяется топологический инвариант и одновременно резко меняется намагниченность материала (e,h). #топологические_материалы #графен #магнетизм

Активная материя, состоящая из самодвижущихся частиц, в некоторых случаях демонстрирует такое же статистическое поведение, как обычные, пассивные частицы, – но часто ее поведение качественно отличается. В этой работе была исследована динамика активных упругих нитей, которые могут двигаться в окружающей жидкости под действием градиентов концентрации веществ. В зависимости от отношения вязкости среды к активной силе, выделяются разные режимы движения нити, показанные на рисунке: 1) плоское баллистическое движение; 2) уход в штопор после длительного движения по прямой; 3) периодическая циркуляция с выполнением «плавательных» движений; 4) диффузионное распространение, похожее на случайные блуждания; 5) движение по прямой, но с хаотичными извивами нити; 6) плоская циркуляция, которая на больших временах сменяется «бегом с кувырками» – типичным для бактерий способом движения, при которым движение по прямой прерывается резкими сменами направления. #самоорганизация

Эффект Фарадея – это вращение плоскости поляризации света, проходящего через вещество в магнитном поле, а обратный эффект Фарадея – это появление магнитного поля или намагниченности в веществе, облучаемом циркулярно поляризованным светом. Вот недавний эксперимент, где обратный эффект Фарадея наблюдался в графене, помещенном в квантующее магнитное поле. При интенсивной накачке графена циркулярно поляризованным излучением начальный уровень Ландау частично опустошается, а конечный заполняется электронами, что меняет отклик самого графена – а именно, угол вращения плоскости поляризации зондирующего импульса. Графен в магнитном поле и так ее вращает, так что изменение угла в результате накачки можно трактовать как появление в образце дополнительного магнитного поля. Приравнивая изменение угла поворота, обусловленного накачкой, к таковому, обусловленному изменением внешнего поля, авторы оценивают величину индуцированного магнитного поля в несколько миллитесла. #уровни_Ландау #графен

Двойной маятник – одна из канонических хаотичесих систем, демонстрирующая труднопредсказуемое движение при промежуточных энергиях. Авторы этой работы обратили внимание на перевороты – события, при которых нижний маятник проходит через положение, когда он смотрит вертикально вверх (θ₂ = π). Оказалось, что среднюю частоту переворотов можно предсказать, если рассмотреть седловые орбиты – периодические орбиты вблизи седловой точки потенциальной энергии θ₁ = 0, θ₂ = ±π. По ссылке можно интерактивно посмотреть, как выглядят такие орбиты. Поскольку переворот нижнего маятника обязан пересекать хотя бы одну такую седловую орбиту, частоту переворотов можно посчитать подобно тому, как считается частота пересечения хаотично движущимися атомами в сосуде воображаемой мембраны, натянутой посредине. Авторы получили аналитическое выражение для частоты переворотов как функции энергии, усредненной по начальным условиям. Как видно на графике, оно идеально согласуется с результатами численного моделирования. #механика #хаос

Для разных манипуляций в области нанофизики возникает нужда в осаждении небольшого количества атомов на поверхность материала с тем, чтобы их можно было потом двигать и изучать иглой сканирующего микроскопа. Это нужно делать сразу при криогенных температурах, иначе атомы будут быстро диффундировать по поверхности, и поймать их будет невозможно. В этой работе придумали метод осаждения атомов в условиях низких температур и ограниченного места, использующий миниатюрную нить накаливания крошечной лампочки. Авторы покрыли ее микрометровым слоем железа, так что при включении тока атомы железа разлетаются и осаждаются на изучаемую поверхность. При исходной температуре микроскопа 5 К испарение нагревает его всего на 2 К. Снизу на рисунке показана россыпь атомов железа, напыленных на образец таким методом. #наноструктуры

Сила Казимира между плоскими отражающими пластинами является пригятивающей, но если материалы обладают ненулевой холловской проводимостью (как электронный газ в магнитном поле или топологические изоляторы с ненулевыми числами Черна C₁ и C₂), то при достаточно больших расстояниях притяжение сменяется отталкиванием. В этой работе была получена универсальная оценка снизу для расстояния, где сила Казимира становится отталкивающей. Она дается формулой (1), где α – постоянная тонкой структуры, n₁, n₂ – электронные плотности в двух материалах, a_⟂ – боровский радиус в них же. Этот результат выводится из формулы Лифшица для казимировской энергии, в которой берется доминирующий при низких частотах вклад, так что получается формула (9). Первое слагаемое – обычная казимировская энергия притяжения, а второе – отталкивание, доминирующее на больших расстояниях. После этого остается только применить квантовые геометрические неравенства для поляризуемостей материалов χ₁, χ₂. #электродинамика #наноструктуры

🤖 Что будет, если ИИ-агента поставить в реалистичные условия, хорошо знакомые многим работникам, когда начальник направляет подчиненному поток руководящих указаний, но никогда не слушает его ответы? В этой работе эксперимент с открытыми языковыми моделями GPT-2 показал, что в такой ситуации подчиненный ИИ демонстрирует аномальное поведение, никогда не проявляющееся при работе в изоляции. Аномалия поведения ИИ-подчиненного, в одностороннем порядке заваливаемого результатами генерации ИИ-начальника, проявляется в высокой доле «генераций типа D». Что это конкретно, авторы обещают объяснить в Supplementary окончательно опубликованной статьи, но на рисунке приведены примеры высказываний о вреде вакцин и о том, как весело причинять людям вред. Важно отметить, что это сырая модель, еще не прошедшая дообучение хорошему поведению. Одностороннее воздействие начальника на подчиненного авторы сравнивают с действием на физическую систему большого инертного теплового резервуара. #нейронные_сети #популярное

Эффект кулоновского увлечения (или дрэг) наблюдается в многочисленных экспериментах не только между двумерными материалами, но и между квантовыми нитями. При это эффект может демонстрировать разные странности: быть невзаимным, нелинейным, осциллировать в магнитном поле и т.д. В этой работе предложена довольно простая модель дрэга между квантовыми нитями, хорошо объясняющая его особенности. Модель рассматривает две параллельные нити с узкими местами, в которых потенциал имеет седловую точку: он квадратично удерживает электроны в перпендикулярном направлении (и дает набор подзон), а в продольном направлении образует для них туннельный барьер. Вероятность прохождения электронов через такой потенциал находится точно, в том числе при наличии магнитного поле. В итоге дрэг определяется асимметрией вероятностей прохождения вблизи уровней Ферми обеих нитей. На рисунке показан пример того, как транспроводимость зависит от магнитного поля h и затворного напряжения на первой нити v₁. #наноструктуры

Тонкая пленка топологического изолятора, такого как Bi₂Se₃, обладает топологически защищенными поверхностными состояниями на противоположных сторонах, которые при достаточно малой толщине гибридизуются в симметричную и антисимметричную комбинации. В этой работе рассмотрены уровни Ландау в тонкой пленке топологического изолятора с резким краем. В таких ситуациях уровни Ландау толщи превращаются в магнитные краевые каналы по мере приближения к краю их ведущего центра. Черными линиями показаны получившиеся энергии уровней Ландау как функции координаты ведущего центра. Как видно, уровни в двух зонах, разделенные гибридизационной щелью, искривляются вблизи края. Существует еще один уровень (красная кривая), проходящий через щель и отвечающий топологически защищенному киральному краевому состоянию. Интересно, что для численных расчетов в качестве базисных состояний пришлось взять также нефизические уровни с отрицательными номерами и ненормируемыми волновыми функциями. #уровни_Ландау #топологические_материалы

Число Милгрэма 6 – это средняя степень разделения пар людей на графе их знакомств: та самая «теория 6 рукопожатий», согласно которой любые два человека соединены в среднем цепочкой 6 знакомств. Такие низкие степени разделения характерны для сетей малого мира (small-world networks). В этой работе показано, что граф состояний кубитного регистра в квантовом компьютере тоже является сетью малого мира, обладая средним числом разделения 9. Авторы рассмотрели двумерный массив кубитов, связанных случайными взаимодействиями между ближайшими соседями. Вычисляя матричные элементы гамильтониана всей системы между разными парами многокубитных состояний вида |01001000…〉, можно понять, какие из них отличны от нуля и, таким образом, соединены друг с другом на графе состояний. Синие столбики на гистограмме показывают, как распределены степени разделения: как видно, среднее значение здесь равно 9. А снизу показано, как граф соединений разваливается, если постепенно отсекать самые слабые взаимодействия. #квантовые_вычисления

Для тепловой изоляции критических важных узлов (например, сверхпроводниковых детекторов) от тепловых фононов весьма перспективным методом является создание интерференционных сверхрешеток, подобных многослойным брэгговским зеркалам. Ведь тепловые фононы при низких температурах, с частотами в гигагерцовом и терагерцовом диапазонах, когерентно рассеиваются на неоднородностях материалов. Как показано на рисунке сверху, машинная оптимизация многослойных структур с переменными толщинами дает при этом куда лучшие результаты, чем «наивное» брэгговское зеркало, где толщина каждого слоя равна ¼ длины волны типичной фононной моды. Снизу на рисунке показаны два результата оптимизации, использующей генетический алгоритм и учитывающей полную зонную структуру фононов. В первом случае многослойная структура состоит из сверхпроводящих нибоия и нитрида титана, во втором – из алюминия и рения. Во втором случае, благодаря более удачному подбору материалов, пропускание на высоких частотах подавляется гораздо сильнее. #фононы

Можно ли сделать половину кубита? Обычно это делают при помощи майорановских мод, которые трактуются как «половины фермиона». В этой работе предлагается другой подход, основанный на концепции «полумонеты» Габора Секея. Обычная монета дает значения случайной величины p = 0 или 1 с вероятностями ½, что можно записать через производящую функцию g(z) = ½ + ½z. Коэффициент разложения производящей функции по степеням z при k-й степени дает вероятность выпадения значения k. При сложении двух независимых случайных величин их производящие функции перемножаются, так что производящая функция полумонеты равна f(z) = ([1+z]/2)¹ᐟ². Разложив ее в обобщенный биномиальный ряд, получим выпадение значений k = 0,1,2,… с вероятностями в виде (1/√2)½!/k!( ½ –k)! Как показано на рисунке сверху, полумонета выдает значения k = 0,1 с положительными вероятностями, а значения k = 2,3,… – с отрицательными вероятностями. Две же независимые полумонеты выдают с ненулевыми вероятностями только значения N = k₁ + k₂ = 0,1. #математика