Математика с нуля
Open in Telegram
Геометрией он занялся поздно; кто-то спросил: «Разве теперь время для этого?» — «Неужели еще не время?» — переспросил Лакид. По всем вопросам: @ederika Чат канала: @marhfromzerochat Наш Boosty: https://boosty.to/mathfromzero
Show more1 718
Subscribers
No data24 hours
-17 days
-2230 days
Posts Archive
1 718
а) Не существует, поскольку n^2 + n + 1 при всех целых n является нечётным числом, а значит, не может делиться на 1996.
b) Верно, что: 1995 | 5.
Тогда n^2+n+1 = 0 (mod 5).
Возможные остатки от деления n на 5: 0, 1, 2, 3, 4.
Пусть n = 0 (mod 5), тогда n^2 = 0 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 1 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 1 (mod 5), тогда n^2 = 1 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 3 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 2 (mod 5), тогда n^2 = 4 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 7 = 2 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 3 (mod 5), тогда n^2 = 9 = 4 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 8 = 3 (mod 5), противоречие.
Пусть n = 4 (mod 5), тогда n^2 = 16 = 1 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 6 = 1 (mod 5), противоречие.
Перебрав все возможные остатки, мы выяснили, что n^2+n+1 ≠ 0 (mod 5) ни при каких n.
Чтобы n^2+n+1 делилось на 1995, оно должно делится на каждый из делителей 1995, но на 5 n^2+n+1 не делится, следовательно, на 1995 тоже.
1 718
При делении на 5 число даёт остаток 2, который
квадраты натуральных чисел давать не могут
1 718
Остатки, даваемые степенями 3 при делении на 7, повторяются через 6. Поэтому ответ задачи зависит от остатка числа 11^9 при делении на 6. В свою очередь, так как 11≡5 (mod 6) , то степени числа 11 дают при делении на 6 остатки 1 и 5 в зависимости от четности показателя степени. Таким образом, 11^9 даёт остаток 5 при делении на 6, а значит,
3^11^9 ≡ 3^5 ≡ 5 (mod 7).
1 718
Существует ли натуральное число n, такое, что:
а) (n^2 + n +1) | 1996;
b) (n^2 + n + 1) | 1995?
1 718
Докажите, что число 199 519 961 997 не является квадратом никакого натурального числа
1 718
Как известно, если натуральное число, большее 1, является k-й степенью натурального числа, то в его канонической форме все показатели степени кратны k.
Так как а и b взаимно просты, то произведение канонических форм a и b равно канонической форме n^k, отсюда следует, что в канонических формах а и b показатели степеней будут кратны k (как и показатели в канонической форме n^k), откуда следует, что a и b можно представить в виде k-й степени натурального числа. ЧТД
1 718
Если произведение двух взаимно простых чисел, больших 1, является k-й степенью натурального числа, то каждое из них является k-й степенью некоторого натурального числа.
То есть
a*b=n^k, a,b>1, (a;b)=1, то a=n_1^k, b=n_2^k.
Докажите это.1 718
Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров?
1) в радианах;
2) в угловых минутах.
1 718
Опустим перпендикуляр с точки M, получим перпендикуляр МK.
Заметим, что:
1) MC*cos 72°=KC=4a*cos 72°;
2) AM*cos 36°=AK=AC-KC;
3) AC-KC=AK;
4) cos 36° = (AC-KC):AM;
5) AM=2a*cos 72°;
6) (AC-KC):AM=1-2cos^2(72°)=cos 36°;
cos 36° = [1+sqrt(5)]/4
1 718
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 72° и углом при вершине 36°. Проведем в нем биссектрису АМ угла А и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники АВМ и АСМ равнобедренные и АС=АМ=ВМ. Если АВ=а, то АС=2аcos72°, MC=2ACcos72°=4acos^2(72°); так как АВ=ВС=МС+ВМ=МС+АС, получаем равенство
а = 4acos^2(72°)+2acos(72°) => 4acos^2(72°)+2acos(72°)-1=0.
Решая это квадратное уравнение относительно cos72°, получим
cos72°=(sqrt(5)-1)/4.
1 718
Интересная задачка: Найти cos 72°
Ясно, что не в гугле ответ посмотреть из калькулятора
1 718
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, угол при основании равен х.
Найдите:
1) высоту, опущенную на основание;
2) высоту, опущенную на боковую сторону.
