Math
前往频道在 Telegram
Конкурсы на звёзды ⭐️ В матхе публикуются новости, задания и разборы по математике. Кроме того мемы и цитаты. Чередую простые и более сложные посты Сотрудничество: @thisMathAdv Предложка/ответы: @thisMathBot
显示更多596
订阅者
无数据24 小时
-17 天
-1130 天
正在加载数据
吸引订阅者
十月 '2610月 '26
十月 '26
+1
在1个频道中
九月 '26
+8
在1个频道中
Get PRO
八月 '26
+65
在3个频道中
Get PRO
七月 '26
+1
在0个频道中
Get PRO
六月 '26
+3
在0个频道中
Get PRO
五月 '26
+8
在1个频道中
Get PRO
四月 '26
+1
在1个频道中
Get PRO
三月 '26
+52
在2个频道中
Get PRO
二月 '26
+150
在3个频道中
Get PRO
一月 '26
+12
在2个频道中
Get PRO
十二月 '25
+7
在1个频道中
Get PRO
十一月 '25
+39
在4个频道中
Get PRO
十月 '25
+2 693
在8个频道中
Get PRO
九月 '250
在3个频道中
Get PRO
八月 '250
在2个频道中
Get PRO
七月 '25
+29
在1个频道中
Get PRO
六月 '250
在1个频道中
Get PRO
五月 '250
在1个频道中
Get PRO
四月 '250
在0个频道中
Get PRO
三月 '25
+29
在0个频道中
Get PRO
二月 '250
在0个频道中
Get PRO
一月 '25
+112
在3个频道中
| 日期 | 订阅者增长 | 提及 | 频道 | |
| 18 十月 | 0 | |||
| 17 十月 | 0 | |||
| 16 十月 | +1 | |||
| 15 十月 | 0 | |||
| 14 十月 | 0 | |||
| 13 十月 | 0 | |||
| 12 十月 | 0 | |||
| 11 十月 | 0 | |||
| 10 十月 | 0 | |||
| 09 十月 | 0 | |||
| 08 十月 | 0 | |||
| 07 十月 | 0 | |||
| 06 十月 | 0 | |||
| 05 十月 | 0 | |||
| 04 十月 | 0 | |||
| 03 十月 | 0 | |||
| 02 十月 | 0 | |||
| 01 十月 | 0 |
频道帖子
| 2 | Дисперсия, стандартное отклонение и вывод
Продолжаем тему дискретных случайных величин. В прошлый раз мы разобрали математическое ожидание — среднее значение, вокруг которого группируются результаты. Теперь встаёт следующий вопрос. Две случайные величины могут иметь одинаковое ожидание, но вести себя совершенно по-разному. Одна почти всегда выдаёт значения близко к среднему, а другая скачет от очень маленьких до очень больших. Как измерить этот разброс?
Для этого вводят дисперсию.
Сначала пример
Представьте две лотереи.
Первая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 0 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 1000 рублей.
Вторая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 499 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 501 рубль.
Посчитаем ожидание для обеих.
Первая: 0 × 0.5 + 1000 × 0.5 = 500.
Вторая: 499 × 0.5 + 501 × 0.5 = 500.
Ожидание одинаковое — 500 рублей. Но ощущение от лотерей разное. В первой результат непредсказуем — либо ничего, либо тысяча. Во второй результат почти гарантированно около пятисот. Нужно число, которое измерит эту разницу.
Мы хотим понять, насколько сильно значения в среднем отклоняются от ожидания. Начнём с простого.
Возьмём первую лотерею. Ожидание 500. Смотрим на каждое значение и считаем, насколько оно отклонилось от ожидания.
Для 0: отклонение = 0 − 500 = −500
Для 1000: отклонение = 1000 − 500 = 500
Теперь попробуем усреднить эти отклонения. Умножим каждое на его вероятность и сложим.
(−500) × 0.5 + 500 × 0.5 = −250 + 250 = 0
Получился ноль. И так будет всегда. Потому что отрицательные и положительные отклонения гасят друг друга. Это особенность самого определения ожидания — оно находится ровно в центре, поэтому сумма отклонений в обе стороны одинакова.
Значит, просто усреднять отклонения нельзя. Нужно убрать минусы. Есть два способа: взять модуль или возвести в квадрат. В математике пошли по второму пути. Квадраты удобнее для дальнейших вычислений.
Поэтому мы делаем так. Сначала возводим каждое отклонение в квадрат. Потом умножаем на вероятность. Потом складываем.
Для первой лотереи.
Отклонение для 0: −500. Квадрат: (−500)² = 250000.
Отклонение для 1000: 500. Квадрат: 500² = 250000
Теперь умножаем на вероятности и складываем:
250000 × 0.5 + 250000 × 0.5 = 125000 + 125000 = 250000
Это число и есть дисперсия. Оно показывает средний квадрат отклонения от ожидания.
Считаем для второй лотереи. Мат ожидание тоже 500
Отклонение для 499: 499 − 500 = −1. Квадрат: 1.
Отклонение для 501: 501 − 500 = 1. Квадрат: 1.
Умножаем на вероятности и складываем:
1 × 0.5 + 1 × 0.5 = 0.5 + 0.5 = 1
Дисперсия равна 1.
Сравните: 250000 против 1. Теперь у нас есть число, которое показывает, насколько сильно различаются разбросы в двух лотереях.
Общая формула
Теперь соберём всё вместе. Дисперсия обозначается D(X). Формула выглядит так.
D(X) = (x₁ − E)² × p₁ + (x₂ − E)² × p₂ + ... + (xₙ − E)² × pₙ
Где xᵢ — возможные значения, E — математическое ожидание, pᵢ — вероятности.
Словами: берём каждое значение, вычитаем ожидание, возводим в квадрат, умножаем на вероятность этого значения, всё складываем.
Стандартное отклонение
У дисперсии есть одна неудобная особенность. Она измеряется в квадратных единицах. Если выигрыш в рублях, то дисперсия в квадратных рублях. Это трудно интерпретировать. Например, в первой лотерее дисперсия 250000 квадратных рублей. Много это или мало — непонятно.
Поэтому вводят ещё одну величину — стандартное отклонение. Это просто квадратный корень из дисперсии.
σ(X) = √D(X)
Для первой лотереи: σ = √250000 = 500 рублей. Для второй лотереи: σ = √1 = 1 рубль.
Вот теперь понятно. В первой лотерее значения в среднем отклоняются от ожидания на 500 рублей. Во второй — на 1 рубль. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, поэтому его удобно использовать.
В следующий раз перейдём к непрерывным случайным величинам.
#углублённо | 141 |
| 3 |  没有文字... | 98 |
| 4 | Математическое ожидание
Продолжаем тему дискретных случайных величин. Теперь, когда мы умеем строить закон распределения, можно задать главный вопрос. Какое значение случайной величины следует ожидать в среднем?
Ответ на этот вопрос даёт математическое ожидание.
🎰 Пример: лотерея
Начнём сразу с жизненного примера. Допустим, проводится лотерея. Билет стоит 100 рублей. Всего продаётся 1000 билетов. Один билет выигрывает 50000 рублей, два билета выигрывают по 5000 рублей, десять билетов выигрывают по 1000 рублей. Остальные билеты не выигрывают ничего.
Вопрос: стоит ли покупать билет?
Интуитивно хочется ответить: есть шанс выиграть 50000, значит стоит. Но на одной интуиции далеко не уедешь. Нужно посчитать, на какой выигрыш можно рассчитывать в среднем.
Сначала запишем все возможные значения выигрыша и их вероятности.
- 50000 рублей: 1 билет из 1000, вероятность = 1/1000 = 0.001
- 5000 рублей: 2 билета из 1000, вероятность = 2/1000 = 0.002
- 1000 рублей: 10 билетов из 1000, вероятность = 10/1000 = 0.01
- 0 рублей: остальные 987 билетов, вероятность = 987/1000 = 0.987
Теперь посчитаем средний выигрыш. Для этого каждое возможное значение выигрыша умножим на его вероятность и всё сложим.
50000 × 0.001 = 50
5000 × 0.002 = 10
1000 × 0.01 = 10
0 × 0.987 = 0
Складываем: 50 + 10 + 10 + 0 = 70 рублей.
Это и есть математическое ожидание выигрыша. 70 рублей. А билет стоит 100 рублей. Значит, в среднем каждый билет приносит убыток в 30 рублей.
🔺🔻🔺
Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взятое с учётом вероятностей. Если провести опыт много раз, то среднее арифметическое полученных значений будет стремиться к математическому ожиданию.
В случае с лотереей это означает вот что. Если купить один билет, можно выиграть 50000, можно 5000, можно ничего. Но если купить тысячу таких билетов на тысячу подобных лотерей, то средний выигрыш на один билет будет около 70 рублей. И в итоге потеряешь примерно 30 рублей с каждого билета.
Ожидание не гарантирует результат в одном конкретном опыте. Один конкретный билет может принести и 50000. Но ожидание даёт ориентир для долгосрочной стратегии. Оно подсказывает: играть в такую лотерею невыгодно.
Формула
Теперь, когда смысл понятен, запишем общую формулу. Для дискретной случайной величины математическое ожидание считается так: Берём каждое возможное значение, умножаем на его вероятность и всё складываем.
E(X) = x₁ × p₁ + x₂ × p₂ + ... + xₙ × pₙ
Где x₁, x₂, ..., xₙ — возможные значения, а p₁, p₂, ..., pₙ — их вероятности.
В лотерее мы ровно это и проделали. Только в роли x были суммы выигрыша, а в роли p — доли билетов с таким выигрышем.
#углублённо | 260 |
| 5 |  没有文字... | 145 |
| 6 |  没有文字... | 234 |
| 7 |  没有文字... | 365 |
| 8 | Дискретные случайные величины: закон распределения
Дискретная случайная величина принимает отдельные значения. Их можно перечислить списком. Чтобы описать такую величину полностью, нужно знать две вещи: какие значения она может принимать и с какими вероятностями. Это и называется законом распределения.
1️⃣ Все вероятности должны быть от 0 до 1. Это мы уже знаем из первых постов.
2️⃣ Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Потому что какое-то значение точно выпадет. События «величина приняла значение x» несовместны (два события не могут произойти одновременно) и покрывают все возможные исходы.
🎲 Простой пример: один кубик
Бросаем правильный кубик. Случайная величина X — число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого: 1/6.
Записываем в таблицу:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Проверяем сумму:
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
Всё верно. Это пример равномерного распределения — все значения равновероятны.
🎲 Сумма двух кубиков 🎲
Бросаем два кубика. Случайная величина Y — сумма очков на обоих.
Здесь вероятности уже не одинаковые. Сумма 2 выпадает только одним способом: 1+1. А сумма 7 — шестью разными способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1.
Всего возможных исходов при броске двух кубиков: 6 × 6 = 36. Все они равновероятны.
Строим таблицу. Для каждого значения суммы считаем, сколько исходов к ней приводит, и делим на 36
- Y = 2: 1 способ, P = 1/36
- Y = 3: 2 способа, P = 2/36
- Y = 4: 3 способа, P = 3/36
- Y = 5: 4 способа, P = 4/36
- Y = 6: 5 способов, P = 5/36
- Y = 7: 6 способов, P = 6/36
- Y = 8: 5 способов, P = 5/36
- Y = 9: 4 способа, P = 4/36
- Y = 10: 3 способа, P = 3/36
- Y = 11: 2 способа, P = 2/36
- Y = 12: 1 способ, P = 1/36
Проверяем сумму
(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1) / 36 = 36/36 = 1
Всё верно.
Видно, что форма распределения уже не равномерная, а с пиком в центре. Это важная идея: суммы случайных величин обычно концентрируются около средних значений.
Закон распределения — это полное описание случайной величины. Зная его, можно считать средние значения, вероятности попадания в интервалы, разброс и многое другое. В следующем посте начнём разбирать математическое ожидание.
#простым_языком | 419 |
| 9 |  没有文字... | 368 |
| 10 |  没有文字... | 420 |
| 11 |  没有文字... | 287 |
| 12 |  没有文字... | 376 |
| 13 |  没有文字... | 353 |
| 14 | Дискретные случайные величины: закон распределения
Дискретная случайная величина принимает отдельные значения. Их можно перечислить списком. Чтобы описать такую величину полностью, нужно знать две вещи: какие значения она может принимать и с какими вероятностями. Это и называется законом распределения.
1️⃣ Все вероятности должны быть от 0 до 1. Это мы уже знаем из первых постов.
2️⃣ Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Потому что какое-то значение точно выпадет. События «величина приняла значение x» несовместны (два события не могут произойти одновременно) и покрывают все возможные исходы.
🎲 Простой пример: один кубик
Бросаем правильный кубик. Случайная величина X — число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого: 1/6.
Записываем в таблицу:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Проверяем сумму:
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
Всё верно. Это пример равномерного распределения — все значения равновероятны.
🎲 Сумма двух кубиков 🎲
Бросаем два кубика. Случайная величина Y — сумма очков на обоих.
Здесь вероятности уже не одинаковые. Сумма 2 выпадает только одним способом: 1+1. А сумма 7 — шестью разными способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1.
Всего возможных исходов при броске двух кубиков: 6 × 6 = 36. Все они равновероятны.
Строим таблицу. Для каждого значения суммы считаем, сколько исходов к ней приводит, и делим на 36
- Y = 2: 1 способ, P = 1/36
- Y = 3: 2 способа, P = 2/36
- Y = 4: 3 способа, P = 3/36
- Y = 5: 4 способа, P = 4/36
- Y = 6: 5 способов, P = 5/36
- Y = 7: 6 способов, P = 6/36
- Y = 8: 5 способов, P = 5/36
- Y = 9: 4 способа, P = 4/36
- Y = 10: 3 способа, P = 3/36
- Y = 11: 2 способа, P = 2/36
- Y = 12: 1 способ, P = 1/36
Проверяем сумму
(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1) / 36 = 36/36 = 1
Всё верно.
Видно, что форма распределения уже не равномерная, а с пиком в центре. Это важная идея: суммы случайных величин обычно концентрируются около средних значений.
Закон распределения — это полное описание случайной величины. Зная его, можно считать средние значения, вероятности попадания в интервалы, разброс и многое другое. В следующем посте начнём разбирать математическое ожидание.
#простым_языком | 525 |
| 15 |  没有文字... | 393 |
| 16 |  没有文字... | 610 |
| 17 | 💜 Случайные величины: Старт
До этого мы говорили о событиях. Выпал орёл, вытянули туза, тест показал положительный результат. Это всё события. Они либо произошли, либо нет.
Теперь переходим к следующему шагу — случайным величинам. Это когда результат опыта выражается числом.
🍇 Что такое случайная величина
Случайная величина — это величина, которая принимает то или иное числовое значение в зависимости от исхода случайного опыта.
Простой пример. Бросаем кубик. Выпало 3 — случайная величина приняла значение 3. Выпало 6 — приняла значение 6. Мы не знаем заранее, какое значение будет. Но знаем, из какого набора чисел оно может быть выбрано и с какими вероятностями.
🟣 Дискретные и непрерывные
Случайные величины делятся на два типа. Разница в том, какие значения они могут принимать.
Дискретная случайная величина принимает отдельные, изолированные значения. Их можно пересчитать. Например, число орлов при трёх бросках монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. Четыре варианта.
Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка. Пример: Рост случайного человека. Может быть 172 см, 172.1 см, 172.15 см и так далее. Значений бесконечно много, они идут сплошным интервалом.
Для непрерывных величин нельзя сказать «вероятность того, что рост равен ровно 180 см». Такая вероятность равна нулю, потому что вариантов бесконечно много. Вместо этого говорят о вероятности попасть в интервал, например от 179 до 181 см.
👾 Зачем это?
Когда мы вводим случайную величину, мы перестаём каждый раз описывать словами, что именно произошло. Вместо этого мы говорим на языке чисел. А с числами уже можно работать: складывать, усреднять, строить графики.
#простым_языком | 576 |
| 18 |  没有文字... | 498 |
| 19 | ◻️ Теорема Байеса
Это одна из самых важных тем в теории вероятностей. Выглядит она на первый взгляд как просто формула, но за ней стоит способ мышления. Теорема Байеса отвечает на вопрос: как пересмотреть свои ожидания после получения новых данных.
Представьте, что у вас есть некоторая гипотеза. Вы примерно представляете, насколько она вероятна. Потом происходит некоторое событие, которое как-то связано с этой гипотезой. После этого события ваша оценка вероятности гипотезы должна измениться. Теорема Байеса говорит, как именно её пересчитать.
Например:
- Гипотеза: человек болен некоторой болезнью.
- Событие: тест показал положительный результат.
- Вопрос: какова теперь вероятность, что человек действительно болен.
Или другой пример:
- Гипотеза: письмо — спам.
- Событие: в письме встретилось слово «заработок».
- Вопрос: какова теперь вероятность, что письмо — спам
То есть мы не считаем вероятность второго события при первом, а пересчитываем вероятность. Раньше, шанс первого был 1, а какая вероятность первого события, после того как произошло второе?
◻️ Сама формула
P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)
Читается так: вероятность гипотезы H при условии, что произошло событие E, равна вероятности события E при условии H, умноженной на априорную вероятность H, и делённой на полную вероятность события E.
P(H|E) — это то, что мы ищем. Апостериорная вероятность гипотезы после получения данных.
◻️ Разбор на примере
Возьмём задачу из предыдущих постов. Болезнь встречается у 0.1% людей. Тест даёт положительный результат в 99% случаев, если человек болен. Тест даёт положительный результат в 1% случаев, если человек здоров. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?
1️⃣ Определяем гипотезу и событие.
H — человек болен.
E — тест положительный
2️⃣ Выписываем известные вероятности.
P(H) = 0.001 (болезнь у 0.1% людей, это априорная вероятность).
P(E|H) = 0.99 (тест положителен с вероятностью 99%, если человек болен).
3️⃣ Считаем P(E) — полную вероятность положительного теста. Здесь нужна формула полной вероятности, которую мы разбирали в прошлом посте.
Гипотез две: человек болен (H) и человек здоров (не H). Обозначим не H как ¬H.
P(¬H) = 0.999 (вероятность быть здоровым).
P(E|¬H) = 0.01 (вероятность ложного положительного теста, если человек здоров).
По формуле полной вероятности:
P(E) = P(H) × P(E|H) + P(¬H) × P(E|¬H)
P(E) = 0.001 × 0.99 + 0.999 × 0.01
P(E) = 0.00099 + 0.00999
P(E) = 0.01098
4️⃣ Подставляем всё в формулу Байеса.
P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)
P(H|E) = 0.99 × 0.001 / 0.01098
P(H|E) = 0.00099 / 0.01098
P(H|E) ≈ 0.0902
Результат: примерно 9%.
#углублённо | 605 |
| 20 |  没有文字... | 513 |
