Математика з ЩА ⚡️ Підготовка до НМТ 2026

⚡️ Рівняння виду sin 𝑥 = 𝑎 Продовжуємо розглядати найпростіші тригонометричні рівняння. Наступним буде рівняння виду sin 𝑥 = 𝑎. 1️⃣ Розв'язання за формулою Якщо –1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, то рівняння має такі розв'язки:

𝑥 = (–1)ⁿ arcsin 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, то рівняння немає розв'язків, оскільки синус не може набувати таких значень.

🔍 Окремі випадки: 🔍 якщо sin 𝑥 = 1, то 𝑥 = 𝜋/2 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 🔍 якщо sin 𝑥 = 0, то 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 🔍 якщо sin 𝑥 = –1, то 𝑥 = –𝜋/2 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2️⃣ Розв'язання за графіком Функція 𝑦 = sin 𝑥 є періодичною з періодом 2𝜋 і приймає значення від −1 до 1. 🔘 Будуємо графік 𝑦 = sin 𝑥. 🔘 Проводимо горизонтальну пряму 𝑦 = 𝑎. 🔘 Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, вона перетинає графік синуса у точках, що відповідають розв’язкам 𝑥 = arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘 і 𝑥 = 𝜋 − arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍. 🔘 Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, рівняння не має розв’язків, бо пряма не перетинатиме графік синуса. 3️⃣ Розв’язання за одиничним колом Функція 𝑦 = sin 𝑥 визначає синус як ординату точки на одиничному колі. 🔘 Будуємо коло з радіусом 1 і проводимо пряму 𝑦 = 𝑎. 🔘 Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, ця пряма перетинає коло у двох точках; ординати цих точок визначають кут 𝑥 = arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘 і 𝑥 = 𝜋 − arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍. 🔘 Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, лінія не перетинає коло, тому розв’язків не буде. 🤫 Коренями рівняння sin 𝑥 = 𝑎 є тільки значення: 𝑥 = arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘 і 𝑥 = 𝜋 − arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍. Обидві серії коренів можна задати однією формулою: 𝑥 = (–1)ⁿ arcsin 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍. Дійсно, при 𝑛 = 2𝑘 (парне число) з останньої формули одержуємо першу серію коренів, а при 𝑛 = 2𝑘 +1 (непарне число) — другу серію. 📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах. 💬 Задавайте свої питання в коментарях! 🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

💬 Виконайте завдання та пишіть свої відповіді в коментарі.