Математические байки

На самом деле, сумма двух выводов выше доказывает по индукции и то, и другое, но в этом проще убедиться самостоятельно. С другой стороны — то, что в числителе разности всегда 1, можно увидеть из формулы Пика.

Поскольку мы делили отрезок длины 1/bd — то f не меньше, чем b+d.

Собственно, вывод в другую сторону (что до медианты, с меньшим, чем b+d, знаменаетелем, ничего не появится) тоже мгновенный. Потому что если между a/b и c/d появляется e/f, то разности: e/f-a/b не меньше 1/bf c/d-e/f не меньше 1/df, а в сумме не меньше 1/bf + 1/df = (b+d)/bdf.

И, конечно, это означает, что площадь соответствующих параллелограмов равна 1. И если поверить в предыдущий факт — что новоприходящая дробь это всегда медианта соседей — то это мгновенно доказывается по индукции. Ведь каждый из двух новопоявляющихся параллелограммов имеет такую же площадь:

А разность двух соседних дробей a/b и c/b в любой последовательности Фарея — это 1/(bd). Что, опять-таки, можно угадать, посмотрев на несколько примеров; скажем, 3/5-4/7=(21-20)/35, 2/3-3/5=(10-9)/15; после пары-тройки таких вычитаний становится понятно, что в числителе должны всегда быть единицы...

Такую "сумму" называют медиантой; то, что она заключена между этими дробями, можно увидеть по-всякому, но лучше всего опять переходом от "проективной" картины к линейной. А именно — сопоставим каждой дроби p/q точку (p,q) плоскости; тогда взятие медианты это просто сложение векторов:

То есть — новая дробь это всегда "сумма двоечника своих соседей", числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

И уже несложно угадать, что 5/7 это (2+3)/(3+4), а 4/7 это (1+3)/(2+5).

Скажем, в примере выше: 5/7 приходит между 2/3 и 3/4, 4/7 — между 1/2 и 3/5.

Второй вопрос — а как устроены расстояния между соседними дробями в последовательности Фарея?

Вопрос: а как понять (не выполняя кучи сравнений), что куда ставить?

А вот расставить все дроби со знаменателем 7 может оказаться не очень тривиально:

К N=5 — уже чуть менее, но всё ещё легко:

При переходе от N=3 к N=4 всё просто —

А как понять, куда какие дроби будут попадать при увеличении N?