Математические байки

А вот разборка куба на эти три пирамиды.

Всё ещё в качестве паузы (и я потом продолжу про лекцию Житомирской): пара фото- и видео из Лаборатории популяризации и пропаганды математики МИАН — я тут недавно оказался в гостях у Николая Андреева. Первое фото — три одинаковые пирамиды, на которые разрезается трёхмерный куб (или "интеграл от x^2 от 0 до 1 равен 1/3"):

А вот мои очки между фонариком и бутылкой — и их стёкла не пропускают ультрафиолет. Проходит видимый фиолетовый свет — и видно, что вообще-то бутылка полностью прозрачная, так что это и впрямь флуоресценция, а не рассеяние:

А вот фонарик поднесён вплотную — и флуоресценция идёт в конусе света:

В качестве небольшой паузы — один опыт, который я выучил только недавно, из вот этого ролика PhysicsGirl. Оказывается, хинин (который есть в тонике) флуоресцирует в ультрафиолете, и это смотрится очень круто! Вот ультрафиолетовый фонарик — и флуоресцирующая бутылка:

И это, кстати, частный случай общей спектральной теоремы — что "хороший" [ограниченный самосопряжённый] оператор можно заменой координат привести к виду "умножения на функцию".

Отсюда, в частности, видно, почему у него нет настоящих собственных векторов (последовательностей, функций): потому что в новых координатах мы просто умножаем на функцию 2cos(2π\alpha), а у неё в каждой точке — своё значение. Поэтому вот если бы в L_2 была "дельта-функция" u, сосредоточенная в одной точке — то она была бы собственной. Но её там нет. Но по крайней мере — мы получили "почти-диагонализацию", превратив оператор в "умножение на функцию".

[Заканчивая отсебятину и возвращаясь к лекции Житомирской] Возвращаясь к бесконечной матрице H — вот такое сопоставление, переход от последовательности f_n к функции u(\alpha), отождествляет пространство последовательностей l_2 со сходящейся суммой квадратов модулей и пространство функций L_2(R/Z) со сходящимся интегралом модуля. И если сделать такой "Фурье"-переход от l_2(Z) к L_2(R/Z), то H в новых координатах запишется как u(\alpha) -> (e^{2πi \alpha}+e^{-2πi \alpha}) u(\alpha) = 2cos (2π\alpha) u(\alpha), потому что H это сумма двух частей: сдвига влево, который умножает на одну экспоненту, и сдвига вправо, который умножает на другую.

и вот при N->\infty правая часть и превращается в интеграл по \alpha: ведь (1/N)=(\alpha_{j+1}-\alpha_j).

Если действовать чуть более честно, то можно рассмотреть все двусторонне-бесконечные последовательности, а только периодические с периодом N. С естественным скалярным произведением = \sum_{n=1}^N f_n \bar{g}_n, и соответствующей нормой |f|^2= \sum_{n=1}^N |f_n|^2. Тогда нам подходят не все геометрические прогрессии, а только те, у которых знаменатель в степени N даёт единицу: r_j = e^{2πi j/N} (что то же самое, \alpha_j=j/N), что даёт нам собственные вектора F_j = F_{\alpha_j}: (F_j)_n = e^{2πi j*n/N}. Поскольку каждый их коэффициент равен по модулю 1 — у них у всех квадрат длины равен N (ибо сумма N единиц). Проекция на вектор v задаётся как f -> / * v (контрольная проверка: то, что перпендикулярно v, переходит в ноль, а сам вектор v в себя — на то и знаменатель), поэтому разложение по ортогональному базису F_j исходного вектора f записывается как f = \sum_j / *F_j =(1/N) \sum_j * F_{\alpha_j},

//putting my physicist hat on// Но (я не буду придавать этому кусочку аккуратный смысл, байка есть байка) — есть обобщённые: геометрические прогрессии (F_{\alpha})_n=e^{2πi \alpha n}, где \alpha из окружности R/Z, с единичным по модулю знаменателем r=e^{2πi \alpha} (собственно, принадлежащим окружности |r|=1 на комплексной плоскости). Они, конечно, не принадлежат пространству l_2 — ряд из квадратов модулей это ряд из одних единиц — но давайте мы это сейчас проигнорируем. Тогда можно разложить функцию f по такому "базису" — сопоставив каждой точке \alpha окружности R/Z соответствующий коэффициент-"скалярное произведение" u(\alpha) = \sum_n f_n e^{-2πi \alpha n}. На самом деле — мы только что придумали заново ряд Фурье! (Правда, у нас в итоге минус перед \alpha оказался не там, но это не так важно.) Потому что в обратную сторону мы возвращаемся интегралом f_n = \int_0^1 u(\alpha) (F_{\alpha})_n d\alpha = \int_0^1 u(\alpha) e^{2πi \alpha n} d\alpha. Так что последовательность f — это (с точностью до замены n на -n или \alpha на -\alpha) последовательность комплексных коэффициентов Фурье функции u на единичной окружности. (Правда, я тут пару раз сжульничал, один раз, когда забыл нормировать коэффициент на [бесконечную] норму базисного вектора, а второй, когда сумму по базисным векторам заменил на интеграл. Так вот — эти два жульничества отменяют друг друга, и всё в итоге получается правильно.)

А что у H с собственными векторами? [Тут чуть-чуть отклонюсь от хода лекции и добавлю отсебятины] Если бы нас интересовали просто последовательности, без всяких условий — то подошли бы любые геометрические прогрессии r^n. Это и логично: наш оператор коммутирует с оператором "сдвига всей последовательности влево", поэтому логично искать у них общие собственные вектора — а у сдвига влево собственный вектор с собственным значением r это как раз геометрическая прогрессия со знаменателем r. Но они нам не подходят. Скажем, если |r|>1, то такая последовательность экспоненциально возрастает при сдвиге вправо, а если |r|<1 — при сдвиге влево. И это уж совсем ни в какие ворота. Увы, последовательности с |r|=1 тоже буквально в нашем пространстве не лежат — хоть они по модулю не растут, но и не убывают. Поэтому настоящих собственных векторов у H нет.

Собственно, этот оператор — чуть-чуть подправленная дискретная версия одномерного оператора Лапласа: вместо второй производной взято второе приращение (f_{n+1}-f_n) - (f_n-f_{n-1}) = (f_{n+1}+f_{n-1}) - 2f_n, из которого часть "-2*f_n", умножение функции на (-2), убрали (что на собственные вектора не влияет, а все собственные значения должно было увеличить на 2). Если брать буквально всё пространство последовательностей — то оно "слишком большое" и не нормированное. Поэтому правильно рассматривать пространство l_2 последовательностей со сходящейся суммой квадратов модулей. В котором есть естественное скалярное произведение, <f,g>= \sum_n f_n \bar{g}_n, и порождённое им расстояние: длина вектора это корень из его скалярного квадрата |f|^2 = \sum_n |f_n|^2. Кстати, если у нас есть единичный по длине вектор \psi, а оператор мы рассматриваем как пришедший из квантовой механики — то |\psi_n|^2 можно интерпретировать как вероятность того, что при измерении частица окажется в точке n. Как раз получаются неотрицательные числа с суммой 1.

В бесконечномерных пространствах, правда, всё становится заметно сложнее. И вторая часть лекции началась с рассмотрения пространства бесконечных в обе стороны последовательностей, и оператора H, заданного вот такой (бесконечной в обе стороны) матрицей (она видна посередине этой доски) —

+ картинка из Википедии: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hydrogen_spectrum.svg

Ну и слово "спектр" тут вполне себе физически мотивировано. Мы тут недавно как раз вспоминали спектр атома — как раз допустимые для электрона уровни энергии являются собственными значениями соответствующего оператора (Шрёдингера или Дирака) из квантовой механики. А при перепрыгивании электрона с более высокого энергетического уровня на более частота излучаемого фотона соответствует (E=hν) разности энергий — так что вот мы и видим "серию полосок" в спектре (точнее, сразу много серий — потому что всевозможные попарные разности — но заметём это под ковёр!).

Давайте теперь я чуть-чуть поговорю про вторую половину. Если линейное преобразование переводит вектор в пропорциональный себе, то такой вектор называется собственным вектором, а коэффициент пропорциональности — собственным значением. Есть очень хорошее видео 3blue1brown про эти понятия — https://www.youtube.com/watch?v=PFDu9oVAE-g Собственно, то, что числа Фибоначчи растут как c*φˆn, связано с тем, что φ — наибольшее собственное значение матрицы (1 1) (1 0), применение которой соответствует сдвигу "окна наблюдения" в последовательности Фибоначчи: она переводит вектор (F_n, F_{n-1}) в (F_{n+1},F_n). А набор собственных значений конечной матрицы называется её спектром.