Математические байки

А уже в 2017-м Мирзахани не стало. Рак. :(

Да, на всякий случай: вот слайд из рассказа Elise Goujard —

=== Как-то давно я не писал, это надо исправлять. Тем более, что и повод есть — у нас сегодня в Ренне было открытие амфитеатра имени Мариам Мирзахани: https://irmar.univ-rennes1.fr/actualites/journee-dinauguration-de-lamphitheatre-maryam-mirzakhani И пару сюжетов мне хочется пересказать.

И это (а, точнее, аналогичные рассуждения с функциями двух переменных) были мотивировкой 13-й проблемы Гильберта — с совершенно удивительным ответом. Но про это я напишу чуть позже, а пока я собираюсь вернуться к простой геометрии. А именно ("в следующей серии") — к вопросу о том, сколько прямых пересекают заданную четвёрку скрещивающихся прямых в трёхмерном пространстве. Оказывается, на этот вопрос можно, естественно, смотреть геометрически — а можно с точки зрения линейной алгебры, где, удивительным образом, возникают собственные вектора. Но это тоже будет в следующей серии — а на сегодня, кажется, настало время прекратить дозволенные речи.

Ну и — можно говорить, что функция y(a) одной переменной "корень уравнения y^5+ay+1=0 с параметром a" ничем не хуже кучи остальных функций одной переменной (будь то хоть корень, хоть синус, хоть тангенс), кроме того, что она нам в школе не встречалась.

Да, ссылка — В. В. Прасолов, "Многочлены" (файл книги есть тут — https://www.mccme.ru/prasolov/ — в списке под номером 11), с. 187.

Так что любое уравнение 5 степени можно свести к уравнению вида y^5+a y + 1=0 (потому что свободный член можно всегда загнать в 1 изменением масштаба).

И вместо того, чтобы с корнями выражать коэффициенты — просто ограничимся на неё, заплатив потерей степени свободы за отсутствие корней из неизвестных. Тогда на этой прямой останется только кубическое уравнение на обнуление суммы кубов y_i — которое мы уже умеем решать.

Условие обнуления суммы квадратов y_i — это квадратичное условие, и мы получаем квадратичную поверхность в пространстве (из трёх ещё неизвестных коэффициентов). Как раз такую, какую мы обсуждали в контексте Шуховской башни. Так давайте на этой поверхности найдём (комплексную, если надо) прямую, хотя бы одну!

Остаётся обнулить сумму квадратов и сумму кубов. Если идти "в лоб", то получится уравнение 6-й степени, с которым не очень-то поработаешь. Но!

Но можно привести уравнение к виду y^5+ay+1=0. Действительно: когда мы задаём y=Q(x)=b_4 x^4 + ... + b_1 x + b_0, то у нас пять неизвестных коэффициентов; их можно все одновременно умножать на константу, так что пока зафиксируем, например, b_1=1. Условие обнуления суммы y_i — линейное условие на коэффициенты. Поэтому остаётся 3 неизвестных коэффициента.

=== Для уравнения 5-й степени ничего такого, естественно, не проходит: обнуление коэффициентов при y^4, y^3,..., y^1 это уже уравнения 1, 2, 3, 4 степени соответственно — и в итоге получается уравнение 24-й степени, которое никак не решить.

А его уже можно решить — ну и дальше вернуться обратно.

После такого преобразования, раз мы прибили коэффициенты при y и при y^3 — остаётся биквадратное уравнение!

Но можно сделать так — прибить только коэффициенты при y и при y^3. И нахождение такого Q будет только кубическим уравнением, которое мы уже научились решать. Собственно, раз у нас только два уравнения — хватит даже квадратного многочлена Q, y=Q(x)= x+ b_0+ b_2 x^2. Тогда линейное условие позволяет выразить b_0 через b_2, а условие на сумму произведений y_i по три (увы, тут упрощения уже нет, и придётся повозиться) — становится кубическим уравнением на оставшуюся переменную.

=== Если попытаться решить уравнение 4-й степени тем же преобразованием "в лоб", то получится система из линейного уравнения (сумма y_i нулевая), квадратного (сумма квадратов y_i), и кубического (сумма кубов). И если всё выражать "в лоб", то будет уравнение 1*2*3=6-й степени на коэффициенты преобразования. Свести уравнение 4-й степени к уравнению 6-й не выглядит победой...

Решив его — мы сводим исходное уравнение к уравнению вида y^3+c=0, решаем его, и затем "возвращаемся обратно", решая квадратные уравнения Q(x_i)=y_i.

Уравнение на сумму — линейное уравнение на коэффициенты, на сумму квадратов — квадратное. И ещё остаётся одна "неважная" степень свободы: можно все y_i одновременно умножить на константу. Чтобы её убрать, проще всего зафиксировать у многочлена Q какой-нибудь один коэффициент — проще всего сказать, что мы будем искать многочлен y=Q(x) в виде Q(x)=x+b_0+b_2 x^2. И тогда условие на сумму позволяет линейно выразить b_0 через b_2, а условие на сумму квадратов становится квадратным уравнением на оставшийся неизвестный коэффициент.

А это то же самое, что попросить, чтобы сумма y_i и сумма квадратов y_i равнялась бы нулю. Уравнение на сумму — линейное уравнение на коэффициенты, на сумму квадратов — квадратное.