Математические байки

Но на самом деле мы на этом пути получили больше: то, что мы только что проделали, называется предельной теоремой Муавра-Лапласа, простейшим частным случаем предельной теоремы.

Всё, победа, точное значение A=\sqrt{2\pi} получено!

Переход в полярные координаты, или (на школьно/физическом уровне строгости) нарезание плоскости на кольца r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 ) легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.

После чего увидеть, что правая часть инвариантна относительно поворотов — и вот она, _окружность_ направлений!

Поэтому корень из пи — штука странная. Гораздо лучше возвести этот интеграл в квадрат:

Есть такой неформальный принцип — пи может появиться только как длина окружности, всё, где оно возникает, должно быть как-то с окружностью связано. Пусть опосредованно, пусть не сразу видно — но где-то окружность должна быть закопана.

Остаётся посчитать интеграл в правой части. Как мы уже знаем из продекларированного ответа, он должен равняться корню из π.

А поскольку предел должен равняться единице — мы (почти) нашли A:

И стремится с ростом n она к соответствующему интегралу:

С другой, сумма правых частей, если обозначить x_k = k/\sqrt{n}, оказывается интегральной суммой Римана для интеграла от e^{-x^2}:

С одной стороны, сумма вероятностей равна единице (ну или сумма биномиальных коэффициентов — соответствующей степени двойки).

А чему равна сумма всех таких вероятностей?

Соответственно, вероятность получить в 2n подбрасываниях (n+k) орлов примерно равна

Давайте её применим, чтобы оценить C_{2n}^n. Неизвестный нам коэффициент A вылезет один раз в числителе — и два раза в знаменателе, так что не сократится: