Математические байки

Похоже, конечно, что корней три — а может, всё-таки пять, если где-то между 0 и 1.5 корней будет четыре, а не два? Если сильно увеличить — то становится видно, что корней на том интервале всё-таки два (а всего тем самым три):

Давайте я начну обещанный рассказ про степени отображений и про теорему Штурма. Вот допустим, нам задан какой-нибудь многочлен. С явными — целыми или рациональными — коэффициентами, но не второй-третьей-ну допустим, четвёртой степени, а выше, так что никакой формулы для корней нет. Как можно узнать, сколько у него вещественных корней? Или — сколько у него корней на конкретном отрезке [a,b]? Собственно, вот конкретный пример: рассмотрим многочлен P(x) = 2 x^5 - 5 x^4 - 4 x^3 + 22 x^2 - 21 x + 6. Сколько у него вещественных корней? Так сразу не скажешь. Даже если построить график — точнее, попросить компьютер это сделать — тоже ответ не то, чтобы сразу очевиден:

Пара кадров из первой лекции. Вообще, очень интересно смотреть и слушать (в том числе — пойманный "дух эпохи").

http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600804p.pdf «The sequel to these lectures, written several mathematical lives — and a Wolf and an Abel Prize later — is “Differential Topology Forty-six Years Later”»

https://youtu.be/1LwkljjLBns https://youtu.be/cp6eudDomRY https://youtu.be/r_KqR5tBekQ ««« Soon after winning the Fields Medal in 1962, a young John Milnor gave these now-famous lectures and wrote his timeless Topology from the Differentiable Viewpoint, which has influenced generations of mathematicians. The lectures, filmed by the Mathematical Association of America (MAA), were unavailable for years but recently resurfaced. With Simons Foundation funding, the Mathematical Sciences Research Institute has produced these digital reproductions as a resource for the mathematics and science communities. (…) Lectures by John Milnor, Princeton University, Fall term 1958 Notes by James Munkres — https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/difftop.pdf »»»

Ну и я напомню, что эллипс/гипербола/парабола как огибающие (серединных) перпендикуляров возникают и в небесной механике!

Второе — в этом канале уже появлялись несколько картинок М. Панова; вот тут коллеги выложили его анимации про параболу/эллипс/гиперболы как огибающие. Так вот, вот здесь с его картинками более развёрнутая презентация с текстом — мне кажется, совершенно потрясающая; я очень советую её пролистать (благо, что это быстро, а рассказ там очень простой и понятный — но не перестающий от этого быть очень красивым!).

Мне кажется, картинка прекрасна — никакого другого текста, кроме уже имеющегося, не надо!

Image credit: https://math.stackexchange.com/a/1607308 + https://trigonography.com/2016/01/10/trig-sums-with-angles-in-arithmetic-progression/

и вот в знаменателе 2i sin (d/2) и появляется. Но Полина Вытнова показала мне совершенно классную картинку (отсюда):

Во-первых — есть формула для суммы синусов или косинусов от арифметической прогрессии, sin(a)+sin(a+d)+...+sin(a+n*d) или cos(a)+cos(a+d)+...+cos(a+n*d). Школьными методами проще всего умножить на sin(d/2), после чего каждое произведение разваливается в разность косинусов/синусов, и получается телескопическая сумма, в которой почти всё сокращается. Можно сказать, что обе эти суммы это мнимая и вещественная части суммы геометрической прогрессии e^{ia} + e^{i(a+d)} + ... + e^{i(a+n*d)} со знаменателем e^{id}, и применить формулу для такой суммы. Получится (если дополнительно поделить числитель и знаменатель на e^{i d/2)} ) выражение

Да, ещё последняя ссылка про гипотезу Пенлеве: есть хороший популярный текст 1995 года (то есть ещё до конструкции примера с четырьмя точками) — "Off to Infinity in Finite Time" в AMS Notices: https://www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf А мой следующий большой рассказ будет про степени отображений и теорему Штурма. Но сначала — несколько картинок.

И на этом я завершаю рассказ про гипотезу Пенлеве.

В упрощённой модели Юпитеры были "прибиты гвоздями" и не могли двигаться — но почти сразу Xue сделал и совсем честный случай из 4 тел: вот его препринт (первая версия 2014 года), а вот статья в Acta Mathematica, вышедшая в 2020-м. Совсем наши дни!

Кстати (на скриншоте теорема из их же работы) — на каждом шаге можно выбрать, какой из двух астероидов вылетает к Ю1. Поэтому "взрывающихся" решений получается (как минимум) целое канторово множество: столько есть последовательностей из А1 и А2, говорящих, на каком шаге какой астероид летит к Ю1.