Математические байки

А именно — давайте возьмём любые n точек на кривой Веронезе в R^4, отвечающие параметрам t_1,t_2,...,t_n.

Так вот — уже в размерности 4 можно предъявить выпуклый многогранник с любым числом вершин, такой, что любые две соединены ребром.

В лекции Гаянэ Паниной упоминалась кривая Веронезе — кривая в R^n, задаваемая параметрически как (t,t^2,t^3,...,t^n). Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример. Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник. В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!) А что будет в старших размерностях?

видеозапись: https://youtu.be/xRRNCuxLEyQ

И на этом, наверное, этот рассказ можно завершить.

Я процитирую слайд из другого доклада Шишикуры (https://www.impan.pl/konferencje/bcc/2018/18-juliasets/shishikura-bedlewo-juliasets.pdf ) —

Зато в объединении — "гиперболические" и "хаотические" параметры уже покрывают почти весь отрезок (с точностью до меры 0).

Так вот — несмотря на то, что множество гиперболических (всё стремится к устойчивой периодической орбите) параметров открытое и плотное, после того, как все эти интервалы выкинуты, ещё что-то остаётся!

И это довольно интересно: ведь параметры, при которых происходит "сваливание в периодическую орбиту", образуют открытое плотное множество. То есть где угодно на отрезке параметров есть маленький интервал, отвечающий тому, что всё стремится к какой-то притягивающей периодической орбите. (Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)

Так вот — хаотическое поведение это вовсе не изолированный случай \lambda=4. Напротив того, параметры \lambda, при которых образуется такое "хаотическое" поведение, образуют множество положительной меры.

Может быть, это связано как раз с этим; кстати — после этого рассказа видео должно быть совсем легко смотреть.

В видео Veritasium, которое я уже цитировал, автор упоминает про генератор псевдослучайных чисел — https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=322

Так или иначе — итерации при \lambda=4 получаются из "удвоения угла" на окружности a->2a. Его динамика хаотична — а типичная орбита оказывается распределена в соответствии с мерой, которая в b-координате является мерой Лебега, а в x-координате — её образом при проекции b->sin^2 b =x (соответственно, будет абсолютно непрерывной )

Так, если взять максимально возможное значение \lambda=4, то получается многочлен, отличающийся от многочлена Чебышева заменой координат. Если T_2(y)=2y^2 -1 переводит cos(a) в cos(2a), то замена x=(1-y)/2 превращает его итерации в итерации f(x)=4x(1-x). Ну или можно было сразу сказать, что 4x(1-x) переводит sin^2(b) в sin^2(2b).

Чтобы закончить с логистическим отображением — мы пока обсуждали устойчивые периодические орбиты. Но предельным режимом бывают не только они.

Выглядит, как типичная картинка из компьютерной игры, когда надо показать, что "тьма спустилась на мир".

Мы видели на картинках выше, что множество Мандельброта под увеличением действительно становится всё более "волосатым". А вот тут эти картинки свели в одну анимированную гифку: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zoom_About_Feigenbaum_Point_In_The_Mandelbrot_Set_Showing_Hairiness.gif