Математические байки

Так вот — в прямоугольном треугольнике это всё ещё упражнение. А вот в тупоугольных — большой открытый вопрос. (Нет, в любом конкретном, конечно, можно найти; и даже знают, что если все углы соизмеримы с π, то есть; но общий случай открыт.)

А это фото с сегодняшней лекции А. Глуцюка (вводный рассказ о бильярдах) — и на правой половине левой доски видно как раз доказательство (школьное :) )

(Фото с лестницы МЦНМО — спасибо Г. Мерзону!)

Для остроугольного треугольника траекторию можно предъявить явно — простой и красивый геометрический факт состоит в том, что можно взять траекторию через три основания высот.

(Чуть более формально — материальная точка движется внутри треугольника, отражаясь по закону "угол падения равен углу отражения"; траектории, в какой-то момент попадающие в вершины, мы не рассматриваем.)

=== И — пара слов совсем о другом. Вот в теории бильярдов есть довольно много проблем, которые легко сформулировать, но которые при этом оказываются безумно сложными. Один такой вопрос — это существование периодической траектории в бильярде в любом треугольнике.

В качестве постскриптума — совсем другой рассказ о том же: А.Н.Рудаков, Числа Фибоначчи и простота числа 2^{127}-1 — см. https://www.mccme.ru/free-books/matpros5.html

И вот так этот "чёрный ящик" теста и работает!

Вот. Давайте я подытожу — мы пока сделали проход в одну сторону, что если M=2^p-1 простое, то s_{p-1}=0. Но мы возводили в столь большую степень двойки — что в объяснение "ну, если M разложится на множители, то мы по модулю хотя бы одного из сомножителей в (-1) не попадём" кажется как минимум правдоподобным.

Если говорить совсем аккуратно — то если w=(t+r \sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3}) и w нормы 1, то t^2-3r^2=1, а при раскрытии скобок по «вещественной» части получается t^2+3r^2 = 2t^2- (t^2-3r^2)=2t^2-1, и уравнение 2 t^2-1=2 это то же самое уравнение s^2-2=4, переписанное в терминах t=s/2.

А этому более-менее соответствует то, что "шаг назад" от s_1 мы сделать не сможем: не будет такого s_0, для которого s_0^2 - 2 = 4 = s_1 (mod M). И не будет его потому, что это означало бы извлечение корня из 6 по модулю M. Но из 3 корня по модулю M нет (с этой декларации мы и начали рассказ, и это следует из квадратичного закон взаимности), а из 2, напротив, всегда есть: ведь 2^{p+1}=2 mod M, а значит, корнем будет 2^{(p+1)/2}. Из 2 корень есть, из 3 нет — значит, нет и из их произведения 6=2*3.

Поэтому всё, что нам нужно проверить, чтобы знать, что мы действительно получаем z^{2^{p-1}}=-1 (и поэтому s_{p}=-2, s_{p-1}=0) — это что z=2+\sqrt{3} не является квадратом элемента нормы 1!

Так вот — у нас есть подгруппа элементов нормы 1, состоящая из N=M+1 элемента. Повторяя рассуждения выше, несложно увидеть, что её элемент w является квадратом внутри этой подгруппы тогда и только тогда, когда половинная степень w^{N/2} равна 1 — а иначе получаем (-1).

(Его доказательство — отдельное красивое упражнение, но речь сейчас не об этом :) ).

Эта группа состоит, как несложно видеть, из M+1 элемента, и это циклическая группа. Например, как подгруппа циклической, хотя приятнее тут сослаться на вообще общее утверждение: конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Так вот: давайте посмотрим не на всю группу ненулевых элементов поля, а на её подгруппу, состоящую из элементов нормы 1 — из корней уравнения w^{M+1}=1.

И паззл начинает склеиваться — M+1=2^p. А у нас было возведение в половинную степень: нам нужно проверить, что z^{2^{p-1}}=-1.

Но в нашем случае мы уже знаем единственный нетривиальный автоморфизм поля из M^2 элементов: это изменение знака у корня из 3. Значит, conj(w)=w^M, откуда ||w||=w*conj(w)=w^{M+1}.