Математические байки

А вот у квадрата, как бы он ни был расположен, инвариант Хадвигера нулевой. Так что, как минимум, препятствий к тому, чтобы его повернуть на какой-нибудь угол, нет. Так вот — это и впрямь можно сделать. А именно — давайте сначала посмотрим на переформулировку теоремы Пифагора: если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить по квадрату, то сумма площадей меньших квадратов равна площади большего. И это можно доказать, разрезая меньшие квадраты, передвигая части и собрав из них больший, и не используя повороты! После чего — можно разрезать большой квадрат на два маленьких, и собрать из них обратно большой, но уже повёрнутый: см. иллюстрацию. (image credit: Yves Coudène, Un triangle et une énigme, Images de Mathématiques.) И это — частный случай теоремы Хадвигера—Глюра, утверждающей, что площадь S(F) и набор инвариантов Хадвигера J_L(F) это и есть полный инвариант для операций разрезания и параллельного сдвига частей.

Давайте я дам ответ — и объясню, почему он именно такой. Треугольник «перевернуть» разрезаниями и перекладываниями нельзя. Как обычно, чтобы доказать, что что-то сделать нельзя, нужно придумать какой-то инвариант. Давайте посмотрим у многоугольника на длины его горизонтальных сторон. Сложим их со знаком: с плюсом, если внутренняя часть многоугольника лежит сверху от стороны, и с минусом, если снизу. Наконец, если у нас есть несколько многоугольников — сложим такие суммы длин для них для всех. Обозначим такую величину для набора F фигур через J_{гор.}(F). Утверждение: получающаяся величина сохраняется как при параллельном переносе, так и при разрезании многоугольника на части. Доказательство. Первое очевидно, а при проведении горизонтального разреза он даёт равный вклад с плюсом и с минусом — и потому сумма не изменяется. Так что сумма J_{гор.}(F) — инвариант. И этот инвариант разный для треугольников вершинами вверх и вниз — он как раз отличается знаком. Естественно, можно брать не только горизонтальные стороны, а стороны любого фиксированного направления L. Так что получается целый набор таких инвариантов Хадвигера J_L(F) — которые можно объединить в один, но векторный (со значениями в функциях из направлений в числа, не равных нулю лишь в конечном числе значений).

Это очень красиво — но для того, чтобы такое доказательство работало, нужно некоторое чудо, возможность ренормализации. Шварц дальше пишет про самоподобные структуры при для конкретного числа сторон (8,10,12) — но совершенно неясно, как что-то такое делать в общем случае (ну и, продолжая его цитировать, «I think that the cases n = 9, 11 are not understood at all.»). И в обзоре ICM-2022 Шварц формулирует гипотезу, что ни при каких n, кроме 3,4,6, внешний бильярд, заданный вовне правильного n-угольника, периодичным не будет. Так вот — завершающий аккорд лекции Владлена был рассказом о том, как доказывается совсем свежая их теорема, которая решает этот вопрос при всех n, кроме делящихся на 4. Я тут процитирую аннотацию их препринта — она, кажется, исчерпывающая:

Euclidean dual billiard outside a regular N-gon or 2N-gon, for N>3 odd, has aperiodic points.

Alexei Kanel-Belov, Philipp Rukhovich, Vladlen Timorin, Valery Zgurskii, Aperiodic points for dual billiards, arXiv:2311.09643. И да, вопрос про разрезания многоугольников, с которого я начал этот пересказ, к их теореме имеет прямое отношение. 🙂

И если такое отображение T на OKNM применить несколько раз — то в его кусочках за несколько применений появляется опять такое же отображение T, с точностью до гомотетии! (Точнее, на одном треугольнике нужно сделать 7 шагов, на другом 3, но это уже детали…) Отсюда и следует самоподобие (и вообще непустота) множества непериодических траекторий — ведь можно такое увеличение применять «до бесконечности». И к этому относится абзац из Шварца: Theorem 6.4 is proved by establishing that the first return map to a certain triangular region T in the plane is a renormalizable polygon exchange map. In this case, this means that the first return map to some smaller triangle T’⊂T is conjugate, via a similarity, to the first return map to T.

И объяснение тут — это своего рода «самоподобие» получающейся динамики. А именно — для простоты отождествим точки плоскости, отличающиеся на поворот на 2π/5, сохраняющий исходный правильный пятиугольник. Посмотрим на аккуратно выбранную область, четырёхугольник OKNM; с точностью до этого отождествления она просто переходит в себя. Посмотрим, как перекладываются её кусочки — как работает соответствующее отображение T. Вертикальный треугольник OKL поворачивается (поворотом вокруг U) в горизонтальный RMO, а тупоугольный MLN возвращается (поворотом вокруг V) обратно, в NRK. (Скриншоты из той же статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)

Ещё два скриншота из статьи Табачникова. Если пересказывать — отображение внешнего бильярда для правильного пятиугольника в некоторых областях на плоскости оказывается периодичным. Но между ними возникает «паутина» непериодических траекторий.

Этот отрывок у Шварца начинается с результата Табачникова — я его процитирую чуть-чуть по-другому: Теорема (С. Табачников): Для внешнего бильярда, заданного вне правильного пятиугольника, существуют непериодические траектории. Более того, хаусдорфова размерность множества непериодических траекторий равна log(6)/ log(\sqrt{5} +2). (Скриншот из статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)

А что будет для других правильных многоугольников? Вообще-то, было бы логично, чтобы случаи n=3,4,6 оказались исключением. Потому что в этих-то случаях вектора, соединяющие различные вершины, все принадлежат некоторой решётке — и каждая вторая итерация обязана только на вектора из такой решётки смещаться, так что варианты для неё дискретны. А отсюда до периодичности уже недалеко: достаточно не убежать на бесконечность. Но для других-то правильных многоугольников всё не так, множество в принципе возможных векторов сдвига (за много итераций) тут уже всюду плотное (а вовсе не дискретное)… Скриншот выше — из записок обзорной лекции Р. Шварца (R. Schwartz, Survey Lecture on Billiards, ICM-2022).

Окончание лекции Владлена было посвящено внешним бильярдам. Определяются они так: пусть на плоскости задана выпуклая фигура P. Зададим отображение F в её дополнении так: чтобы найти F(x), проведём из точки x (правую) касательную к P, после чего отразим x симметрично относительно точки касания. Стандартный вопрос теории динамических систем — что можно сказать о таком отображении, о его итерациях? В частности, как могут быть устроены его периодические точки? Рассмотрим частный случай, когда P это выпуклый многоугольник — соответствующая динамическая система называется полигональным внешним бильярдом. Тогда плоскость делится на области, в которых внешняя касательная касается многоугольника в конкретной его вершине — и в ограничении на каждую такую область отображение F это центральная симметрия вокруг соответствующей вершины. А вторая итерация, F^2, состоит в разрезании области на части и применении на каждой из них какого-то параллельного переноса (композиция двух центральных симметрий). То есть получается отображение, чем-то похожее на перекладывание отрезков. Если взять в качестве области P правильный треугольник, квадрат или шестиугольник, то оказывается, что все точки плоскости периодичны — на третьей из картинок иллюстрация для случая единичного квадрата; траектории всех точек из той же «клеточки» (с такими же целыми частями абсциссы и ординаты) замкнутся, пройдя по такому же пути. (Впрочем, если говорить совсем аккуратно, надо ещё оговорить, что есть точки, где отображение F не определено — лежащие на продолжениях сторон; именно они и их прообразы разделяют идущие по-разному траектории.)

Вчера я писал про сложные вещи — давайте сегодня, для баланса, про чуть более простые. А именно — я хочу порекламировать отличную лекцию, которую Владлен Тиморин недавно прочёл для Кроссворда Тьюринга (вот её анонс, комментарии после лекции со ссылками на материалы, и запись на YouTube). Вопрос для затравки: вот есть теорема Бояйи—Гервина. Она утверждает, что если даны два многоугольника одинаковой площади, то один из них можно разрезать на части и передвинуть их так, что получится второй. А что, если части разрешается только параллельно переносить, но не поворачивать? Например, можно ли превратить такими операциями правильный треугольник вершиной вверх в равный ему правильный треугольник вершиной вниз? А повернуть квадрат на 30 градусов?

Но для рассуждения Витте нужны как раз вот такие «параболические» подгруппы. А что, если их в Г нет? Что, если Г — кокомпактная решётка в SL(3,R)? Этот вопрос долго висел открытым, пока его не решили — тоже очень красивым и геометрическим рассуждением! — Бертран Деруан и Себастьян Хуртадо. И это всего несколько лет назад, в 2020-м: см. Bertrand Deroin, Sebastian Hurtado, Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups. (Помню, как смотрел онлайн один из первых докладов Бертрана об этом — с ощущением «вау, они это сделали! а как???») Вот про это — на доске доклада Катрин галочка и строчки 1994 Witte Morris 2020 Deroin, Hurtado напротив dim=1. А следующие строчки, «dim>=2 open» и «Open Q[uestion]:<…>», это то, что мотивировало меня написать этот пересказ. Потому что — даже для двумерной сферы не известно конечно-порождённых групп Г без элементов конечного порядка, про которые можно было бы сказать, что «вот эта группа на сфере точно не действует». (Хотя, конечно, философия гипотезы Циммера подсказывает, что решётки в группах Ли большого ранга должны бы быть такими.) Вот.

После чего оказывается, что такое устроить на прямой можно. Но один из элементов a и b должен сдвигать точки прямой « гораздо сильнее », чем любая степень c. После чего — давайте возьмём 6 таких подгрупп в SL(3,Z), по одной для каждого порядка координат. И тот элемент, который играет роль a в одной из них, окажется играющим роль c в другой. После чего возникнет « круговая » цепочка неравенств, где каждый следующий по кругу элемент должен сдвигать точки на прямой сильнее (любой степени) предыдущего. А за 6 шагов мы вернёмся к исходной ситуации — вот и противоречие.

И рассуждения у Витте очень наглядные; давайте я их набросаю для SL(3,Z). Идея состоит в том, чтобы рассматривать «параболические» подгруппы — вроде (1 * *) (0 1 *) (0 0 1); правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы, но уж d-ю степень любого элемента мы точно там получим. А подгруппа, как выше — это группа Гейзенберга: два элемента a и b, (1 1 0 у которых коммутатор даёт третий, с ними коммутирующий. (И да, тут есть ассоциация с квантовой механикой, где коммутатор операторов координаты и импульса это умножение на константу iℏ.)

Теорема (D. Witte, 1994): Если подгруппа конечного индекса Г в SL(k,Z), где k>=3, действует на окружности или на прямой, то на самом деле действует конечная группа, в которую Г отображается/факторизуется. (D. Witte, Arithmetic Groups of Higher Q-Rank Cannot Act on 1-Manifolds, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 122, No. 2 (Oct., 1994), pp. 333-340)

Так вот, давайте ещё чуть-чуть посмотрим на прямую R. Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно. Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами (1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1), так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем. А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга? Сама по себе решётка SL(3,Z)

Например: группа Ли SL(2,R) это линейные преобразования плоскости, так что их можно заставить действовать и на проективной прямой (a.k.a. «окружности направлений», a.k.a. множестве прямых, проходящих через 0) — получаются преобразования Мёбиуса (а в координате y=tg(\varphi) они задаются дробно-линейными отображениями). Так что то и любая решётка (дискретная подгруппа с конечным объёмом фактора) в SL(2,R) тоже умеет действовать на окружности. Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности? (Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?) Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…) На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.

К первой фотографии отсюда (самое начало рассказа Катрин) — там был вопрос о том, какие группы на каких многообразиях (не) действуют. Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет. Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов). Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x. И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее. А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?

Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные! Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater . На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».

https://3blue1brown.substack.com/p/some «Several people have asked if there will be a Summer of Math Exposition this year. Although we will not do a full SoME4 with a winner selection and prizes, there will be a more casual community-driven version, which people have given the delightful name SoMEπ. People are still encouraged to try their hand at making a piece of math exposition this summer, whether a video or a written piece, and there will be a deadline to encourage completion, August 18th at 11:59 PM (UTC-12). After this, there will be a similar peer review process to past years, ensuring people receive feedback on their work. Past years have demonstrated how this process also has the wonderful side effect of kickstarting viewership on the video entries, giving the YouTube algorithm a chance to learn cowatching behavior between all of them. The primary difference from past years is no final selection process for winners and no prizes.»