Математические байки

Понятно, насколько — на сумму площадей криволинейных треугольников:

А насколько мы промахнулись?

Закрашенная область — то, что мы хотим получить. А площадь под (красным) графиком логарифма — то, что уже посчитали.

На самом деле — удобнее откладывать прямоугольники в другую сторону, чтобы интеграл был действительно до x=n, то есть чтобы ln k был площадью прямоугольника высоты ln k на основании [k-1,k], тогда картинка получится чуть-чуть другая:

А (n*ln n -n) — это и есть логарифм от "экспоненциальной части" (n/e)^n. То есть первую часть формулы Стирлинга мы уже поймали!

(Конечно, это называется "взять интеграл по частям", но тут эта выкладка ещё и естественно мотивируется.)

А какая у логарифма первообразная? Поскольку логарифм меняется чем дальше, тем медленнее, естественно взять x*(ln x) в качестве первого приближения; но [x*(ln x)]'= ln x + x*[(ln x)'] = ln x +1, так что нужно первообразную лишней единицы вычесть — получается (x*ln x -x)

И уже сразу видно, что она напоминает интегральную сумму Римана для интеграла от логарифма:

Применив его — мы видим, что мы хотим понять, как себя ведёт ln n! = ln 1 + ln 2 + ... + ln n.

Потому что логарифм превращает произведение в сумму, а с суммой работать значительно проще.

Есть очень хороший рефлекс: "видишь длинное произведение — прологарифмируй!".

Как такую оценку можно получить?

Формула Стирлинга его оценивает — причём делает это асимптотически точно, отношение n! к \sqrt{2\pi n}*(n/e)^n стремится к 1 с ростом n.

Вот у нас есть n!. Это произведение 1*2*...*n.

=== Поскольку рассказ выше получился явно сложным — в дополнение к нему, байка о формуле Стирлинга (раз уж я её упомянул) и формуле суммирования Эйлера-Маклорена. Точнее, начало байки (ибо там рассказывать можно много).

Ну и на этом месте, кажется, эту байку правильно завершить.