Высшая математика | LAPLAS

前往频道在 Telegram

📚Высшая математика с теорией, практикой и приложениями: https://laplascourses.ru/ Laplas — это качественное образование. По всем вопросам: @laplasadministrator

显示更多

俄罗斯149 111 教育40 895

3 285

订阅者

+724 小时

+137 天

+4230 天

1 084

帖子浏览量

~ 42124 小时

~ 51248 小时

33.01%

参与率

~ 1

每日帖子数

Ads index

beta

数据加载中...

吸引订阅者

九月 '26

+19

在0个频道中

八月 '26

+80

在0个频道中

Get PRO

七月 '26

+111

在0个频道中

Get PRO

六月 '26

+101

在0个频道中

Get PRO

五月 '26

+64

在0个频道中

Get PRO

四月 '26

+89

在0个频道中

Get PRO

三月 '26

+98

在0个频道中

Get PRO

二月 '26

+65

在0个频道中

Get PRO

一月 '26

+152

在0个频道中

Get PRO

十二月 '25

+111

在0个频道中

Get PRO

十一月 '25

+102

在0个频道中

Get PRO

十月 '25

+115

在0个频道中

Get PRO

九月 '25

+230

在0个频道中

Get PRO

八月 '25

+132

在0个频道中

Get PRO

七月 '25

+109

在0个频道中

Get PRO

六月 '25

+247

在3个频道中

Get PRO

五月 '25

+212

在1个频道中

Get PRO

四月 '25

+118

在1个频道中

Get PRO

三月 '25

+109

在1个频道中

Get PRO

二月 '25

+302

在1个频道中

Get PRO

一月 '25

+147

在1个频道中

Get PRO

十二月 '24

+205

在1个频道中

Get PRO

十一月 '24

+130

在1个频道中

Get PRO

十月 '24

+141

在1个频道中

Get PRO

九月 '24

+182

在0个频道中

Get PRO

八月 '24

+133

在0个频道中

Get PRO

七月 '24

+69

在0个频道中

Get PRO

六月 '24

+29

在0个频道中

Get PRO

五月 '24

+25

在0个频道中

Get PRO

四月 '24

+18

在0个频道中

Get PRO

三月 '24

+20

在0个频道中

Get PRO

二月 '24

+75

在0个频道中

Get PRO

一月 '24

+96

在0个频道中

Get PRO

十二月 '23

+103

在0个频道中

Get PRO

十一月 '23

+105

在0个频道中

Get PRO

十月 '23

+54

在0个频道中

Get PRO

九月 '23

+28

在0个频道中

Get PRO

八月 '23

+20

在0个频道中

Get PRO

七月 '23

在0个频道中

Get PRO

六月 '23

+21

在0个频道中

Get PRO

五月 '23

+31

在0个频道中

Get PRO

四月 '23

+91

在0个频道中

Get PRO

三月 '23

+41

在0个频道中

Get PRO

二月 '23

+522

在0个频道中

日期	订阅者增长	提及	频道
06 九月	+1
05 九月	+7
04 九月	+5
03 九月	+2
02 九月	+3
01 九月	+1

频道帖子

В тридцатые годы появились также важные пространства Соболева Wₚᵐ, состоящие из функций, производные которых до порядка m включительно принадлежат Lₚ. Их значение для нелинейных уравнений связано с тем, что Wₚᵐ является кольцом непрерывных функций, когда m > n/p, где n – число переменных. Этот результат принадлежит Соболеву, однако ещё до него и Шаудер, и Петровский использовали кольцо Wₚᵐ в своих работах соответственно по нелинейному волновому уравнению и нелинейным общим гиперболическим системам.

2	Функциональный анализ окончательно сформировался примерно к 1930 году. К этому времени он уже был систематизирован в спектральной теореме фон Неймана, книге Стоуна «Линейные преобразования в гильбертовом пространстве» и труде Банаха «Теория линейных операций», и был готов проникнуть в более классические разделы анализа. К концу пятидесятых годов функциональный анализ уже дал теории дифференциальных уравнений в частных производных единую теоретическую основу и ряд мощных результатов. Я постараюсь проследить основные этапы этого развития. Функциональный анализ представляет собой удачное соединение линейности и непрерывности. По крайней мере, именно так он выглядел после аксиоматизации в двадцатые годы линейных пространств, норм, двойственных пространств и исследования свойств непрерывности линейных операторов. Более ранние результаты были гораздо более конкретными: это теория интегральных уравнений и теория Гильберта полностью непрерывных квадратичных форм, эквивалентная спектральной теории линейных компактных самосопряжённых операторов. Эти идеи стали известны более широкому кругу математиков благодаря первому тому классического и чрезвычайно влиятельного труда Куранта и Гильберта «Методы математической физики», опубликованному в 1924 году. Его появление непосредственно перед возникновением квантовой механики оказалось более чем своевременным, хотя представленные в нём инструменты были несколько слишком примитивными для точных приложений в этой области. Ни здесь, ни в задачах о колебаниях классической физики, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка эллиптического типа, было нелегко применять абстрактную спектральную теорию. Во втором томе труда Куранта и Гильберта, опубликованном в 1937 году, но задуманном ещё в двадцатые годы, Курант и его коллеги, главным образом Реллих и Фридрихс, рассматривали эти задачи с помощью так называемых прямых методов вариационного исчисления, восходящих к решению Гильбертом задачи Дирихле. Главным инструментом была теорема выбора Реллиха, в современной терминологии это означает, что вложение пространства функций, квадратично интегрируемых в некоторой области, в пространство функций, градиенты которых также квадратично интегрируемы, является компактным при условии некоторой регулярности границы. Это действительно является ключом и к более простому прямому подходу в гильбертовом пространстве, использующему продолжение Фридрихса и спектральную теорему для компактных операторов. К концу двадцатых годов стали доступны более совершенные инструменты функционального анализа: гильбертово пространство, общая спектральная теорема, банаховы пространства и их двойственные пространства, включая важные примеры, теорема Хана-Банаха и теорема о замкнутом графике. Однако непосредственные приложения этих результатов не производили особого впечатления. В своей книге Банах приводит применение теоремы о замкнутом графике к непрерывной зависимости некоторого типа обобщённой гармонической функции от её граничных значений. Это не решает краевую задачу, а лишь анализирует сложившуюся ситуацию. Стоун, который уделял большое внимание приложениям, подробно исследовал операторы Штурма-Лиувилля и их спектры. Двадцатью годами ранее этим, хотя и менее систематически, занимался Герман Вейль, а главным достижением Стоуна – помимо согласования с теорией гильбертовых пространств – было, пожалуй, существенное ослабление требований к коэффициентам. Первым крупным событием во взаимодействии функционального анализа с дифференциальными уравнениями в частных производных стали нелинейные уравнения. Речь идёт о знаменитой теореме Шаудера о неподвижной точке, согласно которой непрерывное отображение выпуклого компактного подмножества банахова пространства в себя имеет неподвижную точку. Позднее Шаудер и Лере обобщили этот результат, распространив теорию степени отображения на банаховы пространства. Этот инструмент использовался для доказательства теорем существования решений эллиптических уравнений и в задачах гидродинамики.	420
3	没有文字...	715
4	Познакомились как-то на встрече учеников Laplas Матвей и Виктор. Матвей готовился в ШАД, в Виктор – закончил его. Вы знаете, что бывает, когда встречаются два любителя порешать задачи? Мы вот узнали. Матвей и Виктор еще месяц вспоминали задачи друг от друга. Одной из них Матвей любезно делится с вами и вот его слова: «И доказательство там, даже при правильной интуиции, не очень простое».	917
5	Чем «олимпиадные»/«нестандартные» задачи отличаются от «типовых» из условного Демидовича? Пожалуй, самое главное отличие – в необходимости замечать. И те, и эти – на одни и те же теоремы, казалось бы. Но если «обычная» задача прям кричит и сама говорит какую теорему или формулу надо к ней применить, то в «нестандартных» надо искать за что зацепиться – возможно, похожий набор ограничений для f(x) уже встречался в какой-то теореме и это намек на неё. Полезно также замечать аналогии между задачами, это позволяет точечно применять известный Вам подход, а не блуждать на ощупь в темноте. Именно поэтому курс «Математика для ШАД» (laplascourses.ru) практически полностью состоит из разборов задач (не спешите перелистывать, этот пост будет полезен и тем, кому ШАД вообще не нужен), ведь умение замечать приходит с опытом, а с ним даже некоторые «олимпиадные» задачи будут становиться «типовыми олимпиадными». Хотя предыдущие пара постов и были про важность практики, теорией мы не пренебрегаем. Ни в коем случае. Есть отдельный сорт задач на «редкие» теоремы. Часто Вы решали задачи, в которых ключиком к решению была теорема о том, как посчитать коэффициенты характеристического многочлена с помощью миноров? В универе ведь как? Зачастую просят построить ЖНФ, а то и вообще ограничиваются нахождением собственных векторов. В «олимпиадных» же задачах не только «редкие» теоремы нужны, порой нужно вспомнить про полярное или LU разложение, а потом ещё и матричную экспоненту накинуть. Поэтому без теорем некуда. Но мало просто знать теоремы. Также нередко бывают задачи на связи между идеями, которые «зашиты» в доказательствах теорем (а новички в математике как раз любят пропускать доказательства). Если Вы уже занимаетесь наукой или работаете, как говорится, в отрасли, и никакой ШАД Вам и подавно не нужен, то «олимпиадные» задачи все равно будут Вам полезны. Чем? В «высокой» математике, например, в функане, алгебраической геометрии или тензорном анализе, нет как таковых «типовых» задач (по функану вообще есть книги, посвященные только одному оператору сдвига или оператору Штурма-Лиувилля). Там все задачи больше похожи на «нестандартные». Вообще, таким разделением страдают мат. анализ, линейная алгебра и немного теорвер. Поэтому всем, чьи занятия математикой выходят за рамки этих трех разделов, полезно держать себя в тонусе и периодически решать «нестандратные» задачи. Доказательством тому служит следующая история. Есть у нас ученик, зовут Андрей – серьезный специалист, использует в работе УМФ, ФА, обобщенные функции, да и в Laplas прошел немало сложных курсов: Вариационное исчисление, Специальные функции, УМФ, ФА и другие. Но в один прекрасный день Андрей почувствовал что надо бы «размяться», Андрей поступил мудро, без всяких «это не мой уровень» и т.п., и записался на курс «Математика для ШАД» (laplascourses.ru), чтобы как раз и порешать «нестандартные» задачи. Кстати, Андрея Вы могли видеть на фотографиях с одной из встреч учеников Laplas.	307
6	没有文字...	977
7	+3 Редкие теоремы. Готовя пост про отличия «нестандартных» и «типовых» задач, мы обнаружили, что есть теоремы, которые можно было бы назвать редкими. Под редкими мы имели в виду теоремы, которые не повсеместно встречаются в учебниках, а также те, которые редко вспоминают при решении «стандартных» задач. Это не значит, что Вторая теорема о среднем чем-то хуже, чем Теорема Лагранжа. Нет. Она скорее для более специфических случаев, для более интересных задач. Поэтому мы решили сделать подборку самых популярных непопулярных теорем (своеобразный максимин 😀). Для тех, кто решает «нестандартные» задачи, это будет полезной шпаргалкой, а новичков стимулирует поближе познакомиться с пусть редкими, но полезными теоремами.	906
8	Читать или решать – вот в чём вопрос. Наши ученики, как и мы, очень любят читать. Чего только стоят библиотеки (бумажные, настоящие) Александра или Бориса. Да и на самих занятиях преподаватели нередко рекомендуют книги, особенно когда дело касается тонких модификаций методов или ослабления условий различных теорем. Например, недавно в курсе ФА проходили теорему Канторовича о методе Ньютона в банаховых пространствах. Иван, а занимается он мат. моделированием и метод Ньютона применяет в работе, спросил, что можно почитать на эту тему, и преподаватель порекомендовал «Приближённое решение операторных уравнений» Красносельского. Да и в целом преподаватели и ученики частенько обсуждают научную литературу. Книги – это хорошо, но есть одно «но». Они не заменяют практику. Под практикой мы имеем в виду не практические приложения, а решение задач. И вроде бы все про это знают, но почему-то нередко после прочтения одного параграфа переходят к чтению другого, а не к решению задач. Айвен Нивен говорил: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Это относится как к математике в целом, так и к решению задач в частности. Решать – это навык. Навык базируется на теории, но приобретается и развивается практикой. Например, возьмите задачи с IMO. Скорее всего, всю нужную теорию для их решения Вы знаете. Легко их решите? Вопрос риторический. Или вот ещё пример – вступительные в ШАД, Академию Авито или Т-Образование. Если Вы закончили средний ВТУЗ, то почти всю нужную теорию Вы знаете. И снова же, насколько простыми Вам кажутся эти экзамены? Имеем смелость утверждать, что даже если Вы прочтёте Зорича, Рудина, Шварца и Фихтенгольца, но не решите хотя бы 200–500 «олимпиадных» задач, то эти экзамены Вы провалите. Поэтому на всех курсах мы всегда говорим ученикам: «Настоятельно рекомендуем делать ДЗ!» Тем более, что они с обратной связью. Пожалуй, более всего важность навыка решения задач и то, что чтение теории его не заменит, более всего отразилось на курсе «Математика для ШАД» (laplascourses.ru). В нём упор сделан на практику – теория скорее обозревается, чем изучается, а практически всё время занятий занимают задачи. А так как в ШАДе вступительные задачи – как соревновательные 250 кг на помосте, то к ним надо приходить постепенно – решать сходу задачи уровня ШАД бессмысленно. Любой навык развивается постепенно, именно поэтому мы разделили все задачи на 3 уровня сложности и идём от простых к сложным. Об этом мы уже недавно писали. А о курсе «Математика для ШАД» написали тут → laplascourses.ru.	112
9	没有文字...	951
10	+3 Недавно мы публиковали разбор интересной задачи из курса ВМ. Ну что же, курс по подготовке к ШАД не за горами, его начало – 1 сентября (подробности на сайте laplascourses.ru), поэтому мы решили поделиться разбором задачи 3-го уровня сложности из курса. Что это еще за уровни сложности? Рассказываем. Курс выстроен так, чтобы развить у учеников навык решения нестандартных задач, их еще называют «олимпиадными» (да, по высшей математике тоже есть олимпиады). А так как любой навык развивается постепенно, то и задачи разделены на 3 уровня сложности. Задачи второго уровня сложности соответствуют вступительным. Третий уровень, по сложности превосходящий вступительные, нужен, чтобы задачи второго уровня не являлись «потолком»: например, после ФА мат. анализ кажется вполне себе приятным разделом математики. Иногда к этим трем уровням добавляется еще нулевой – задачки из популярных сборников, так, чисто для разминки, если это нужно. Собственно, разбором задачи третьего уровня сложности мы и решили сегодня поделиться	1 232
11	🚀 Осень 2026! 📌 Математика для ШАД 🖇 Мы не гарантируем, что вы поступите, но этот курс значительно увеличит ваши шансы. 📌 Случайные процессы 🖇 Попробуем математически строго ответить на вопрос: "Случаен ли процесс перемещения одеяла во сне и связана ли траектория перемещения с ростом акций GAZP?" 📌 Математика для ML и DS 🖇 Курс для тех, кто устал от подобного: "Если сюда нажать, то будет работать вот так". Осмысляем методы ML и DS. 📌 Тензорный анализ и его приложения. 🖇 Тензор — зверь странный, вы его не видите, а он есть. Он может напрягать и деформировать. Один из сложнейших мат. курсов посвящён систематическому переходу к тому, чтобы увидеть, где этот зверь сидит и что он там делает. 📌 Высшая математика. Курс для прикладников 🖇 Вы закроете основные математические гештальты и научитесь прикладные задачи превращать в математические. 📌 Абстрактная алгебра. Теория и приложения 🖇 Мы, конечно, научим видеть в ДНК прямую сумму Z4⊕... ⊕Z4, а в молекуле бензола Лемму Бёрнсайда, однако на самом деле это курс про красоту математики. 📌 Функциональный анализ 🖇 Вы изучите аппарат ФА и научитесь с его помощью качественно исследовать диффуры, которые аналитически невозможно решить. 📌 Теория вероятностей & Статистика 🖇 На курсе Вы получите современный взгляд на вероятность благодаря теории меры, научитесь моделировать случайные процессы и проводить статистическую проверку гипотез. 🌐 Подробнее о курсах на нашем сайте: laplascourses.ru/ 🖤 С любовью и математикой — команда LAPLAS.	1 135
12	没有文字...	1 199
13	Являются ли условия ограниченности и равностепенной непрерывности необходимыми для компактности множества S непрерывных функций на ограниченном множестве Ω ⊂ ℝⁿ?	1 263
14	+2 Нет «чистой» математики – модели надо уметь строить и математикам, и физикам, и инженерам. Курс «УМФ» (как и курс «Мат. моделирование») построен по определённой логике: практическая задача → мат. модель → теория для решения задачи → численные методы, если аналитика не помогла. О том, какая теория будет на «УМФ», мы уже рассказывали, дополним лишь, что на курсе будут ещё элементы функционального анализа и вариационного исчисления. Подробная программа представлена на сайте: laplascourses.ru. В этом посте мы хотим подробней остановиться на переходе: задача → мат. модель. Бывает такое, что в универах просто дают уравнение, показывают, как решать, и всё. А откуда оно взялось — дело физиков. Кстати, так ещё могут рассуждать и «чистые математики», а точнее те, кто верит, что такая математика есть. Мы используем такой подход: выводить уравнения не просто нужно, это полезно! Чем? Известно, что большинство диффур, которые возникают «в жизни», не решаются аналитически и приходится их исследовать численно (ЧМ) и качественно (ФА). Оказывается, что сам вывод уравнения уже может подсказать, какой численный метод будет применим к диффуру. Продемонстрируем это на простом примере — уравнении теплопроводности. Более хитрые случаи будут рассматриваться в курсе «УМФ. Продвинутые модели», который начинается 15 августа. Запись на курс открыта до 20.08.2026.	1 640
15	+2 Нелинейные дифференциальные уравнения. Увы, но именно такие уравнения вам чаще всего будут попадаться на практике (если уже не попадаются!). Больно, неприятно, но таков наш нелинейный мир (например, сила сопротивления среды нелинейно зависит от скорости, можно забыть про F = -kV). Можно, конечно, рассматривать линеаризованные уравнения, но это – плюс к погрешности (а она будет увеличиваться как снежный ком). Да и зачем сходу применять приближения, если не все так плохо, ведь есть методы решения нелинейных уравнений. Подробно мы их будем изучать в курсе УМФ, который начинается 15 августа. Помимо нелинейных уравнений мы расскажем и покажем, как строить сложные мат. модели, как вычислять обобщенные производные и решать диффуры в L₂. Численные методы тоже будут – на Python. Полная программа курса тут: laplascourses.ru. Ну а мы, в преддверии старта курса, найдем частное решение уравнения Гинзбурга-Ландау, которое используется для нахождения плотности сверхэлектронов и магнитного поля вблизи температуры перехода.	1 383
16	Математическая модель – как правильно ее составить? Под математическим моделированием часто понимают применение математики для решения задач – описать изгиб балки или транспортный поток, а не просто решить диффур из задачника. Хотя процесс моделирования творческий, мы рекомендуем нашим ученикам придерживаться следующей схемы при построении мат. модели, чтобы она получилась корректной и адекватной: 1. Собираемся с духом. Нужно четко сформулировать цель: какую величину или параметр вы хотите описать, насколько точно модель должна соответствовать реальному процессу, чем можно пренебречь. 2. Вводим переменные, выбираем пространство, в котором будем «жить» (для дифференциальных операторов – это уже полдела!). 3. Самый сложный этап – строим мат. модель. Зачастую это диффур, но получается он из знания предметной области, например, выводится из нескольких известных законов физики. Не забываем основополагающий принцип: приращение = вход – выход. 4. Решаем математическую задачу. Снова, если это диффур, то есть смысл попробовать решить его аналитически или заменами привести к известному уравнению (привет модели Блэка-Шоулза и уравнению теплопроводности). Не получилось? Применяем численные методы. Только помните – ЧМ не панацея, они все проистекают из «теории» и имеют условия применимости (а то был бы один численный метод, который решает все диффуры – вот здорово!). ЧМ дают количественное исследование, что годится далеко не для всех задач, поэтому не забывайте исследовать диффур качественно – вам помогут УМФ и ФА – это самые мощные инструменты прикладника. Мат. пакеты – тоже хорошо, но тот же Matlab считает несобственные интегралы с ошибкой. 5. Интерпретация результатов (именно так Эйнштейн стал знаменит). Нужно оценить, ведет ли себя модель адекватно при изменении некоторых параметров или условий, например, остается ли она устойчивой (и снова, тут ЧМ не помогут и нужно обратиться к УМФ и ФА). На этом же шаге оцениваем точность модели и область ее применимости. 6. Валидация, оценка и итерация, если потребуется. Мат. моделирование – процесс итерационный и это нормально, что по этой схеме придется пройтись несколько раз. Алгоритм рабочий – это подтверждают наши ученики, которые непосредственно применяют это в своей работе: проектируют здания, системы радиосвязи, обучают алгоритмы рекомендаций различных сервисов и моделируют различные газодинамические процессы. Все приходит с опытом, поэтому на курсе УМФ мы с учениками строим мат. модели в контексте разных областей физики и инженерии, живем не только в C², но и в соболевских пространствах, и, конечно, применяем различные численные методы, реализованные на Python. Весь этот инструментарий уменьшает количество итераций приведенного алгоритма и позволяет сразу построить корректную и адекватную модель – если струна есть сплав двух кусков из различных металлов, то модель сразу строим в L₂, а не в C². А что еще будет в курсе УМФ мы рассказали тут: laplascourses.ru.	1 010
17	📌 Уравнения математической физики 🖇 Вы научитесь не только моделировать сложные физические процессы, сводящиеся к дифференциальным уравнениям в частных производных (ДУЧП), но и строить числовые модели на Python. 📒 Вы познакомитесь с многочисленными дифференциальными уравнениями, описывающими окружающий вас мир. Научитесь решать и анализировать дифференциальные уравнения в частных производных. В список моделей и уравнений входят волновые уравнения, уравнение диффузии, некоторые уравнения гидрогазодинамики, уравнения Максвелла, уравнение Гельмгольца, уравнение Шрёдингера и многие другие. Все указанные уравнения можно классифицировать на: гиперболические, параболические, эллиптические и смешанные. Каждая глава курса посвящена рассмотрению некоторой физической задачи, сводящейся к решению ДУЧП определенного типа. ❗️ Так как занятия проходят в мини-группах в формате диалога, то количество мест ограничено. 🏁 Запись на курс открыта до 20.08.2026 🌏 Подробная программа курса и формат тут 👉 https://laplascourses.ru/	817
18	没有文字...	949
19	+2 Уравнение Лапласа и уравнение диффузии. Эти два уравнения будут подробно изучаться в предстоящем курсе «УМФ. Продвинутые мат. модели». Казалось бы – классика, изученная вдоль и поперек, зачем ей уделять внимание? Рассказываем. Помимо того, что на курсе будут изучаться обобщенные производные, соболевские пространства, спектральные методы и даже численные методы решения УрЧП (реализованные на Python), особое внимание будет уделено тому, как получить ту самую пресловутую мат. модель. Возможно, именно построение корректной модели есть главный навык прикладника. Действительно, не все, но многие реальные процессы неплохо описываются стандартными уравнениями УМФ, особенно если «жить» в L2. Поэтому перед тем, как козырять численными методами (и чтобы было где), прикладнику надо уметь составить корректную мат. модель и по возможности привести ее к одному из «классических» уравнений. Вот и выходит, что остывание супа и цена на опционы описываются одним и тем же уравнением – уравнением теплопроводности. Поэтому смело можно утверждать, что в первую очередь «мат. модельеру» нужно уметь составлять модели и знать «классику». В качестве дополнительной иллюстрации приведем ниже физические процессы, которые описываются уравнением Лапласа и уравнением диффузии. Ну а подробнее о программе УМФ вы можете узнать тут: laplascourses.ru.	1 061
20	Если произвольной категории стрелка является мономорфизмом и эпиморфизмом, то является ли она изоморфизмом?	1 093

查看所有帖子