MathPortal
前往频道在 Telegram
کانال « پورتال ریاضیات » ⬅️ کتاب ⬅️ جزوه ⬅️ نمونه سوال ⬅️ نرم افزار ⬅️ مقاله و ژورنال از متوسطه اول تا مقطع دکتری دانشگاه آیدی کانال : 🆔 @mathportal کانال ما در ایتا: https://eitaa.com/mathportal مدیر : 📝 @mathportal_manager
显示更多674
订阅者
无数据24 小时
+37 天
+1630 天
数据加载中...
吸引订阅者
七月 '26
七月 '26
+11
在0个频道中
六月 '26
+31
在0个频道中
Get PRO
五月 '26
+6
在0个频道中
Get PRO
四月 '26
+7
在0个频道中
Get PRO
三月 '26
+3
在0个频道中
Get PRO
二月 '26
+30
在1个频道中
Get PRO
一月 '26
+12
在0个频道中
Get PRO
十二月 '25
+23
在0个频道中
Get PRO
十一月 '25
+42
在3个频道中
Get PRO
十月 '25
+14
在0个频道中
Get PRO
九月 '25
+11
在0个频道中
Get PRO
八月 '25
+5
在0个频道中
Get PRO
七月 '25
+7
在0个频道中
Get PRO
六月 '25
+10
在1个频道中
Get PRO
五月 '25
+11
在0个频道中
Get PRO
四月 '25
+24
在0个频道中
Get PRO
三月 '25
+8
在0个频道中
Get PRO
二月 '25
+35
在2个频道中
Get PRO
一月 '25
+29
在0个频道中
Get PRO
十二月 '24
+23
在0个频道中
Get PRO
十一月 '24
+41
在1个频道中
Get PRO
十月 '24
+13
在0个频道中
Get PRO
九月 '24
+13
在0个频道中
Get PRO
八月 '24
+28
在1个频道中
Get PRO
七月 '24
+45
在2个频道中
Get PRO
六月 '24
+32
在1个频道中
Get PRO
五月 '24
+42
在1个频道中
Get PRO
四月 '24
+42
在0个频道中
Get PRO
三月 '24
+38
在1个频道中
Get PRO
二月 '24
+48
在0个频道中
Get PRO
一月 '24
+72
在0个频道中
Get PRO
十二月 '23
+11
在2个频道中
Get PRO
十一月 '23
+231
在0个频道中
| 日期 | 订阅者增长 | 提及 | 频道 | |
| 14 七月 | +1 | |||
| 13 七月 | +1 | |||
| 12 七月 | +1 | |||
| 11 七月 | +4 | |||
| 10 七月 | +1 | |||
| 09 七月 | 0 | |||
| 08 七月 | 0 | |||
| 07 七月 | 0 | |||
| 06 七月 | 0 | |||
| 05 七月 | +1 | |||
| 04 七月 | 0 | |||
| 03 七月 | +1 | |||
| 02 七月 | 0 | |||
| 01 七月 | +1 |
频道帖子
📢 انجمن علمی ریاضی دانشگاه محقق اردبیلی با همکاری انجمن های ریاضی کشور برگزار میکند:
🎓 کارگاه ارزیابی کارایی با مدلسازی ریاضی
از تئوری تا کاربرد
اگر میخواهید با یکی از کاربردیترین ابزارهای تصمیمگیری، تحلیل عملکرد و بهینهسازی در حوزههای مختلف آشنا شوید این کارگاه رو شرکت کنید.
👨🏫 مدرس:
دکتر محمود مهدیلو
دکتری ریاضی کاربردی (گرایش تحقیق در عملیات)
عضو هیئت علمی دانشگاه محقق اردبیلی
👥 مناسب برای دانشجویان تمامی رشتهها
بهویژه رشتههای:
📌 ریاضی
📌 مدیریت بازرگانی
📌 کشاورزی
📌اقتصاد
📌مهندسی
🗓 زمان برگزاری:
پنجشنبه ۱۴۰۵/۰۴/۲۵ ساعت ۱۷
جمعه ۱۴۰۵/۰۴/۲۶ ساعت ۱۷
📍 بستر برگزاری: پیامرسان بله
🎓 همراه با ارائه گواهی معتبر از دانشگاه محقق اردبیلی
💰 هزینه ثبتنام: ۸۰ هزار تومان
ظرفیت محدود
📩 جهت ثبتنام و اطلاعات بیشتر به آیدی تلگرامی زیر پیام دهید:
@shiva_hsyni
انجمن علمی ریاضی دانشگاه محقق اردبیلی
🔍 Telegram | instagram
معاونت فرهنگی و اجتماعی : مدیریت حمایت ، پشتیبانی فرهنگی و اجتماعی دانشگاه محقق اردبیل
| 2 | مقاله تحقیقی در زمینه آنالیز ریاضی:
چرا باید آنالیز ریاضی بخوانیم؟
اول از همه باید بدانیم آنالیز ریاضی اصولا چیست؟
آنالیز ریاضی نام عمومی آن بخشهایی از ریاضیات است که با مفاهیم حد و همگرایی مربوط اند و در آنها موضوعاتی مثل پیوستگی و انتگرال گیری و مشتق پذیری و توابع غیر جبری بررسی میشود. این موضوعات را معمولاً در عرصه اعداد حقیقی یا اعداد مختلط و توابع مربوط به آنها بحث میکنند ولی میتوان آنها را در هر فضائی از موجودات ریاضی که در آن مفهوم "نزدیکی" (فضای توپولوژیک) یا "فاصله" (فضای متریک) وجود دارد بهکار برد. آنالیز ریاضی از کوششهای مربوط به دقیق کردن مبانی و تعریفهای حسابان سر برآورده است.
ارتباط تنگاتنگ آنالیز با حساب دیفرانسیل و انتگرال یا همان ریاضیات عمومی یا حسابان：
حساب دیفرانسیل و انتگرال
یا calculus که غالبا در نام ریاضیات عمومی تدریس میشود،
به طور ساده یعنی حاصلی ساده تر از انالیز.
اگر بخواهم به زبان ریاضی بگویم
یعنی حسابان زیرمجموعه ای از انالیز است و انالیز مفاهیم پیشرفته تری دارد.
در حسابان بیشتر تمرکز بر کاربرد ریاضی به خصوص در مهندسی است برای همین است که انالیز درسی در رشته ریاضی و ریاضی محض و علوم کامپیوتر است که بیشتر با جنبه نظری ریاضی ارتباط دارند.
حالا چرا مطالعه ی آنالیز مهم است؟ تعدادی از دانشمندان و ریاضی دانان تحقیق های خود را انجام داده اند و نتایج و اثبات قضایا را بدست آورده اند. چه لزومی دارد که ما بخواهیم فراتر از حسابان را مطالعه کنیم و اثبات جز به جز قضایا را بررسی کنیم؟
این پدیده مانند مهندسی معکوس است که با بررسی ساختار یک وسیله سعی در فهمیدن شیوه ساخت آن را دارند.
برای پیشبرد علم ریاضی و بدست آوردن قضایای جدید،نیاز مند هستیم که اثبات قضایای گذشته و نحوه کار با آن ها را یاد بگیریم و بهتر است از حفظ فقط صورت قضیه زیرا بدین ترتیب میتوانیم از پایه ریاضیات را درک کنیم.
به قول آقای آدامز در کتاب حسابان خود، "ریاضیات یک نظام خطی است، ایده به ایده ساخته می شود."
برای همین لازم است درک درستی از بنا و اصول ریاضیات داشته باشیم تا وارد مطالب جدید تر این دنیا شویم و به ساخت و پیشبرد ریاضی ادامه دهیم.همانطور که یک برنامه نویس برای شروع کار خود از نوشتن برنامه های ابتدایی مثل
Hello World
شروع میکند.
ریاضیدانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آنها استفاده کرده و حدسهای جدید را بهصورت فرمول درآورد؛ آنها درستی یا نادرستی حدسها را با اثبات ریاضیاتی نشان میدهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدلهای خوبی از پدیدههای جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی میتواند پیشبینیهایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازهگیری و مطالعهٔ نظاممند اشکال و حرکات اشیای فیزیکی بهوجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، بهعنوان فعالیتی بشری وجود داشتهاست. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی ممکن است سالها یا حتی قرنها طول بکشد.
استدلالهای استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند؛ بهخصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، دیوید هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعهای در پایان قرن نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آنها حقایق را با استدلال استوار از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست میآورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوریهای ریاضیاتی با کشفیات علمی برهمکنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد.
ریاضیات در بسیاری از زمینهها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری است. شاخههای کاملاً جدیدی در ریاضیات بهوجود آمدهاند؛ مثل نظریهٔ بازیها. ریاضیدانان در ریاضیات محض (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچگونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات میپردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافتههای آنها معمولاً بعدها کشف میشود.
@harmoniclib | 97 |
| 3 | 🧠 آیا میتوان تمام ریاضیات را با چند قانون ساده ساخت؟
اوایل قرن بیستم، ریاضیدانان فکر میکردند اگر فقط چند اصل (Axiom) درست انتخاب کنند، میشود تمام ریاضیات را از روی آنها اثبات کرد.
اما بعد اتفاقی افتاد که همه را شوکه کرد...
در سال 1931، Kurt Gödel ثابت کرد:
> در هر سیستم ریاضی که به اندازه کافی قدرتمند باشد، همیشه گزارههایی وجود دارند که درستاند، اما هرگز نمیتوان آنها را در همان سیستم اثبات کرد.
یعنی حتی ریاضیات هم مرزهایی دارد که از آنها نمیتواند عبور کند.
این کشف یکی از عمیقترین نتایج تاریخ علم بود و نگاه ما را به "حقیقت" و "اثبات" برای همیشه تغییر داد.
💬 سؤال: اگر چیزی واقعاً درست باشد، اما هیچوقت نتوان آن را اثبات کرد، از نظر شما باید آن را حقیقت دانست؟
اگر موافقید 👍🏼 و اگر مخالفید 👎🏼 بگذارید؛ ببینیم نظر جمعی چیست.
https://t.me/alzahra_math | 140 |
| 4 |  🔰تیم المپیاد ریاضی ایران قهرمان چهارمین دوره مسابقات بینالمللی ریاضی در شانگهای چین شد
🔹تیم ملی المپیاد ریاضی ایران متشکل از آریان زندی، ارشا عزیزالدین، سید امیرحسین طیب، علیرضا شریفی، رادین نیک اقبالی و علی جونبخش نجفآبادی با کسب ۴ نشان طلا و ۲ نشان نقره در میان ۴۹ تیم از کشورهای مختلف عنوان قهرمانی و مقام نخست تیمی را بالاتر از تیمهای لهستان و برزیل به دست آورد..
💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal | 135 |
| 5 | 🔰تیم المپیاد ریاضی ایران قهرمان چهارمین دوره مسابقات بینالمللی ریاضی در شانگهای چین شد
🔹تیم ملی المپیاد ریاضی ایران متشکل از آریان زندی، ارشا عزیزالدین، سید امیرحسین طیب، علیرضا شریفی، رادین نیک اقبالی و علی جونبخش نجفآبادی با کسب ۴ نشان طلا و ۲ نشان نقره در میان ۴۹ تیم از کشورهای مختلف عنوان قهرمانی و مقام نخست تیمی را بالاتر از تیمهای لهستان و برزیل به دست آورد. | 4 |
| 6 | @DataScience_ir - Theoretical Statistics.pdf | 154 |
| 7 |  آقای Hamkins در mathoverflow یه تنه همه رکوردها رو زده. حدود ۱۷ سال فعالیت، جواب دادن نزدیک به دو هزار سوال و...
از دل اون بحثها چند تا مقاله هم در اومده. در حوزه تخصصی خودش سوالها و جوابهاش واقعا آموزنده است. | 179 |
| 8 |  📣انجمن علمی ریاضی دانشگاه محقق اردبیلی با همکاری جمعی از انجمنهای علمی کشور برگزار میکند:
🔶سلسله وبینار آشنایی با گرایشهای ریاضی
🔸جلسه دوم : آشنایی با گرایش «آنالیز ریاضی»
🎙ارائه دهنده و سخنران : دکتر نسرین اقبالی
📌دکتری ریاضی محض،گرایش آنالیز ریاضی
📌عضو هیئت علمی دانشگاه محقق اردبیلی
✅اگر به مباحثی همچون آنالیز حقیقی و تابعی، معادلات دیفرانسیل، نظریه تقریب، آنالیز عددی و پژوهش در مبانی ریاضی علاقهمند هستید، این وبینار فرصت مناسبی برای آشنایی با یکی از مهمترین و بنیادیترین گرایشهای رشته ریاضی خواهد بود.
🗓 زمان: پنجشنبه ۱۸ تیر
🕔 ساعت: ۱۷
💻 بستر برگزاری : پیامرسان بله
‼️شرکت برای عموم دانشجویان عزیز و مشتاقان این حوزه آزاد و رایگان میباشد.
📢 جهت کسب اطلاعات بیشتر و شرکت در وبینار به آیدی تلگرامی @shiva_hsyni پیام ارسال فرمایید.
انجمن علمی ریاضی دانشگاه محقق اردبیلی
🔍 Instagram | Telegram
🔸معاونت فرهنگی و اجتماعی : مدیریت حمایت ، پشتیبانی فرهنگی و اجتماعی دانشگاه محقق اردبیلی | 174 |
| 9 | 📚 مقالهای که یکی از گرههای مهم نظریه اعداد را گشود
The Iwasawa Main Conjecture for Elliptic Curves at Odd Supersingular Primes
✍️🏼 Florian Sprung
در این پژوهش، فلوریان اشپرونگ یکی از مهمترین حدسهای نظریه اعداد مدرن، یعنی حدس اصلی ایواساوا (Iwasawa Main Conjecture) را برای منحنیهای بیضوی در حالت اعداد اولِ فوقتکینِ فرد (odd supersingular primes) اثبات میکند.
این مسئله سالها یکی از دشوارترین بخشهای نظریه ایواساوا بود؛ زیرا روشهایی که برای حالتهای معمول (ordinary primes) کار میکردند، در حالت فوقتکین با موانع جدی روبهرو میشدند. این مقاله با توسعه ابزارهای جدید، این مانع را برطرف میکند.
چرا این نتیجه مهم است؟
🔹 حدس اصلی ایواساوا پلی میان دو دنیای متفاوت است:
دادههای حسابی یک منحنی بیضوی (مانند گروه سلْمر)
و توابع p-آدیک که اطلاعات تحلیلی را در خود جای میدهند.
اثبات این ارتباط نشان میدهد که این دو دیدگاه در واقع بازتاب یک حقیقت عمیق واحد هستند.
ارتباط با حدس بیرچ و سوینرتون-دایر
یکی از مهمترین دستاوردهای مقاله این است که نتایجی درباره بخش p-اولیِ جملهٔ اصلی در حدس مشهور Birch and Swinnerton-Dyer (BSD) به دست میآورد؛ آن هم در حالتی که رتبه تحلیلی منحنی ۰ یا ۱ باشد.
این یعنی مقاله گامی مهم در جهت فهم یکی از مشهورترین مسائل حلنشده ریاضیات، یعنی حدس BSD، برمیدارد.
"اهمیت در ریاضیات امروز"
این پژوهش در مرز مشترک حوزههای زیر قرار دارد:
▫️ نظریه اعداد (Number Theory)
▫️ هندسه حسابی (Arithmetic Geometry)
▫️ هندسه جبری (Algebraic Geometry)
▫️ نظریه ایواساوا (Iwasawa Theory)
و نمونهای از آن است که چگونه ابزارهای جبر، هندسه و آنالیز p-آدیک برای حل مسائل بنیادین ریاضیات با یکدیگر ترکیب میشوند.
📝 این مقاله از نتایج مهم سالهای اخیر در نظریه ایواساوا به شمار میآید و نقش مهمی در پیشرفت مطالعهٔ منحنیهای بیضوی و ارتباط آنها با حدس بیرچ و سوینرتون-دایر داشته است.
https://lms.alzahra.ac.ir/ | 147 |
| 10 | دیپ لرنینگ چیست؟
🧠 دیپ لرنینگ (Deep Learning) یا یادگیری عمیق، زیرشاخهای از یادگیری ماشین و هوش مصنوعی است که از شبکههای عصبی مصنوعی با لایههای زیاد برای یادگیری و استخراج الگوهای پیچیده از دادهها استفاده میکند. هر لایه از شبکه، ویژگیهای سطح بالاتری را از دادهها یاد میگیرد:
لایههای ابتدایی: ویژگیهای ساده مثل لبهها، گوشهها یا رنگها را تشخیص میدهند.
لایههای میانی: ترکیبهای پیچیدهتری مثل شکلها یا بافتها را مییابند.
لایههای نهایی: مفاهیم انتزاعی مثل تشخیص چهره، اشیاء یا گفتار را انجام میدهند.
📲 کاربردهای رایج
بینایی کامپیوتر: تشخیص چهره، تشخیص اشیاء در تصاویر، خودروهای خودران
پردازش زبان طبیعی: ترجمه ماشینی، ChatGPT و دستیارهای هوشمند، خلاصهسازی متن
تشخیص گفتار: دستیارهای صوتی مثل Siri و Google Assistant
بازی و شبیهسازی: AlphaGo، AlphaFold (پیشبینی ساختار پروتئین)
⛔ محدودیتها
نیاز به دادههای بسیار زیاد و سختافزار قدرتمند (GPU)
مصرف بالای انرژی و زمان آموزش
به عنوان جعبه سیاه عمل میکند — تفسیر اینکه مدل چگونه به نتیجه رسیده دشوار است
در مسائل سادهتر، روشهای کلاسیک ممکن است کارایی بهتری داشته باشند. برای اطلاعات بیشتر فیلم زیر را ببینید:
https://my.files.ir/drive/s/5gOAlhQjtfzFeS2ymzKryg8aliqztg
#آموزشی
#هوش_مصنوعی
💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal | 167 |
| 11 | 🏆 جایزهٔ ولف (Wolf Prize) یکی از معتبرترین جوایز علمی جهان است که از سال 1978 به پژوهشگران برجسته اهدا میشود. در رشتهٔ ریاضیات، از آن بهعنوان یکی از بالاترین افتخارات این علم یاد میکنند و بسیاری آن را معتبرترین جایزهٔ ریاضیات پس از نبودِ جایزهٔ نوبل میدانند.
این جایزه به نام ریکاردو ولف، مخترع و نیکوکار، نامگذاری شده و هدف آن تقدیر از دستاوردهای برجستهای است که مرزهای دانش را گسترش دادهاند.
در طول دهههای گذشته، بسیاری از بزرگترین ریاضیدانان، فیزیکدانان، شیمیدانان و پزشکان جهان موفق به دریافت این جایزه شدهاند و شماری از برندگان آن بعدها جایزهٔ نوبل را نیز کسب کردهاند. به همین دلیل، جایزهٔ ولف همواره یکی از مهمترین نشانهای اعتبار در دنیای علم به شمار میرود.
منبع: کانال ریاضی دانشگاه الزهرا | 191 |
| 12 | https://mathnet.mit.edu/explorer.html | 221 |
| 13 |  📢 خانه ریاضیات اهواز با همکاری اداره کل آموزش و پرورش استان خوزستان برگزار مینماید.
عنوان وبینار:
بحران ریاضی از بحران آب بدتر است؟
🎙 سخنران:
خانم دکتر زهرا گویا
استاد دانشگاه
مؤسس رشته آموزش ریاضی در ایران
📅 تاریخ: جمعه ۱۲ تیرماه
🕗 ساعت ۲۰:۰۰
🔗 لینک ورود:
https://fanotech.ir/wy2wn
گروه خانه ریاضیات اهواز ایتا
https://eitaa.com/joinchat/1534854814Cd40b421778
💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal | 320 |
| 14 | سرفصل آزمون
@SCoIMS | 121 |
| 15 | آییننامه مسابقه
@SCoIMS | 151 |
| 16 |  ♾ اطلاعیه ♾
به اطلاع دانشجویان مقطع کارشناسی علاقمند به ریاضی در سراسر کشور میرساند که چهل و هشتمین مسابقه ریاضی دانشجویی انجمن ریاضی ایران در پاییز سال ۱۴۰۵ به میزبانی دانشگاه فردوسی مشهد برگزار میشود.
لازم به ذکر است که مدالآوران این مسابقه علاوه بر دریافت امتیاز از بنیاد ملی نخبگان، به هزینه کشور میزبان امکان شرکت در دورههای مطالعاتی را در کشورهای ایتالیا، فرانسه و برزیل خواهند داشت.
#48th
@SCoIMS | 158 |
| 17 | سوال: آیا امکان دارد فضایی باشد که نسبت به هر نوع معادله ای بسته باشد؟
جواب :
ایدهای که گفتی خیلی نزدیک به یک سؤال عمیق در ریاضیات است، اما جواب کوتاهش این است:
نه، «فضایی که نسبت به هر نوع معادلهای بسته باشد» به معنای کلی و مطلق وجود ندارد.و دلیلش خیلی بنیادی است.
1) اول یک اصلاح مهم: «بسته بودن» یعنی چه؟
در اعداد مختلط Complex Analysis ما میگوییم:
برای هر چندجملهای غیرثابت، ریشه داریم
این یعنی ℂ نسبت به معادلات جبری بسته است (قضیه بنیادی جبر)
اما این فقط یک نوع خاص از معادله است، نه همهٔ معادلات ممکن.
2) چرا «بسته بودن نسبت به همه معادلات» غیرممکن است؟
چون همیشه میتوان معادلهای ساخت که از سیستم عددی تو فراتر برود یا حتی تناقض ایجاد کند.
مثال ساده:
فرض کن هر مجموعهای از اعداد را کامل فرض کنیم.
همیشه میتوان این معادله را ساخت:
x€S(ایکس عضوی از اس نیست)
که در آن S «کل فضای عددی تو» است.
این نوع ساختارها باعث میشوند هیچ مجموعهای نتواند برای همه چیز بسته باشد.
3) مشکل عمیقتر: خودارجاعی و «گسترش بینهایت»
در منطق ریاضی نشان داده میشود که:
هر سیستم عددی قوی
میتواند معادلاتی داشته باشد که آن سیستم را ناکافی کند
این به نتایجی شبیه ایدههای زیر مربوط است:
قضایای ناتمامیت Gödel's Incompleteness Theorems
نتیجهی شهودی:
هیچ سیستم ریاضی واحدی نمیتواند هم «کامل» باشد و هم «بسته برای همه چیز».
4) چرا ℂ هنوز مهم است؟
اعداد مختلط:
برای همه چندجملهایها کاملاند
ساختار بسیار پایدار دارند
پایهٔ تحلیل مختلط و فیزیک هستند
اما حتی آنها هم نمیتوانند:
معادلات نمایی، لگاریتمی، یا دیفرانسیلی را «همیشه داخل خودشان حل کنند»
5) جمعبندی خیلی ساده
یک فضای «بسته برای همه معادلات» وجود ندارد ❌
فقط میتوان فضاهایی داشت که نسبت به یک نوع خاص از معادله بستهاند ✔
هر چه فضا را بزرگتر کنی، معادلات جدیدی پیدا میشوند که از آن خارج میزنند
💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal | 274 |
| 18 | سوال : آیا میدان های بزرگتر و گسترده تری از میدان اعداد مختلط وجود دارد؟👇
عددهای مختلط Complex Analysis (ℂ) یک میدان کامل و «بستهٔ جبری» هستند؛ یعنی هر چندجملهای روی آنها ریشه دارد. به همین دلیل از نظر حل معادلات جبری، دیگر چیزی کم ندارند.
1) میدانهای بزرگتر از ℂ
میتوان میدانهایی ساخت که ℂ را در خود دارند، مثل:
ℂ(x): اعداد مختلط بهاضافهٔ یک متغیر جدید (توابع کسری)
میدانهای توابع (Function Fields)
گسترشهای نامتناهی و بسیار بزرگتر از ℂ
اینها از نظر «اندازه» (تعداد عناصر) یا پیچیدگی، از ℂ بزرگترند.
2) ساختارهایی شبیه عدد ولی نه دقیقاً میدان
Quaternions (چهارگانها): بزرگتر از ℂ هستند (۴ بعدی)، اما ضربشان جابجاییپذیر نیست، پس میدان نیستند.
Octonions: ۸ بعدی، حتی قوانین
جبرشان ضعیفتر میشود.
3) ساختارهای خیلی بزرگتر و عجیبتر
«اعداد سورئال» Surreal Numbers:
شامل تقریباً همهٔ اعداد معمولی و بینهایتها هستند و از نظر اندازه بسیار بزرگترند. اعداد مختلط Complex Analysis از نظر «معادلات چندجملهای معمولی» کامل هستند، یعنی:
هر چندجملهای با ضرایب مختلط، حداقل یک ریشه در ℂ دارد.این همان قضیهٔ بنیادی جبر است.
اما اگر از این چارچوب خارج شویم، بله، معادلاتی داریم که جوابشان در ℂ نیست. 1) معادلاتی که در ℂ جواب ندارند (اگر تعریف را عوض کنیم)
اگر نوع معادله را گستردهتر کنیم (نه فقط چندجملهایها)، مثالهای ساده:
✔ مثال ۱:
x^2+1=0
در ℂ جواب دارد:
x=i,−i
✔ مثال ۲ (خارج از ℂ):
x^2+2=0
در ℂ هم جواب دارد (چون √−2 داریم)، پس هنوز داخل ℂ است.
✔ مثال واقعیِ «خارج از ℂ» چیست؟
اگر بخواهیم معادلهای داشته باشیم که هیچ جوابی در ℂ نداشته باشد، باید از ساختار دیگری استفاده کنیم، مثلاً:
✔ معادلاتی که ℂ را «کامل» فرض نمیکنند
مثلاً اگر بخواهیم:
معادلاتی با شرطهای اضافی (مثل پیوستگی، ترتیب، یا محدودیت هندسی)
یا معادلات در ساختارهایی که ℂ در آن بسته نیست.
2) مثال مهم: خروج از ℂ با ساختارهای بزرگتر
اگر یک معادله طوری تعریف شود که جوابش نیاز به چیزی بزرگتر از اعداد مختلط داشته باشد:
مثال مفهومی:
در ساختارهای بزرگتر مثل Surreal Numbers ممکن است معادلاتی حل شوند که در ℂ قابل بیان نیستند.
3) نکته مهم ریاضی (خیلی کلیدی)
ℂ برای همه چندجملهایها کامل است
اما برای «همه معادلات ممکن در ریاضی» کامل نیست
یعنی:
اگر معادله فقط چندجملهای باشد → همیشه در ℂ جواب دارد
اگر معادله عمومیتر باشد → ممکن است خارج از ℂ جواب بخواهد یا اصلاً جواب نداشته باشد
جمعبندی ساده:
در دنیای چندجملهایها: ❌ خارج از ℂ نداریم (همه جواب دارند)
در دنیای معادلات کلیتر: ✔ بله، ممکن است جوابها خارج از ℂ باشند یا اصلاً تعریف نشوند.
برای اینکه واقعاً «از اعداد مختلط خارج شویم» باید از معادلات چندجملهای ساده فراتر برویم و سراغ معادلاتی برویم که اصلاً در ℂ تعریفپذیر یا بسته نیستند.
یک مثال استاندارد و ساده:
مثال 1: معادله با جواب خارج از ℂ
e^x=0
چرا در اعداد مختلط جواب ندارد؟
اگر x∈C باشد، آنگاه:
تابع نمایی Exponential Function هیچوقت صفر نمیشود.
برای هر عدد مختلط داریم:
e^x#0
حتی در اعداد مختلط:
e^x
همیشه یک عدد غیرصفر است (روی دایره یا رشد/کاهش نمایی در صفحه مختلط(
نتیجه:
e^x=0
هیچ جوابی در Cندارد.
مثال 2: معادلهای که جوابش «باید بیرون از ℂ ساخته شود»
x^x=-1
در ℂ:
تعریف توان مختلط چندارزشی است
اما هیچ مقداری از x
x
به صورت استاندارد به −1 نمیرسد
پس اگر بخواهیم این را حل کنیم، مجبور میشویم:
شاخههای چندارزشی (multi-valued functions)
یا ساختارهای گسترشیافته مثل سطوح ریمان را وارد کنیم.
مثال 3 (خیلی مهمتر از همه)
معادلهای که اصلاً در ℂ «قفل» میشود:
∣x∣=x+1
اگر x∈C باشد:
سمت چپ عدد حقیقیِ غیرمنفی است
سمت راست میتواند مختلط باشد
این معادله اصلاً در ℂ معنی استاندارد و بسته ندارد.
نکتهی عمیق (خیلی مهم)
اعداد مختلط Complex Analysis برای این نوع معادلات ساخته نشدهاند؛ آنها برای حل معادلات جبری (polynomial) کاملاند، نه برای همه توابع.
برای معادلات کلیتر، باید وارد ساختارهای بزرگتر شویم مثل:
Surreal Numbers
یا فضاهای تابعی یا ساختارهای تحلیلی پیشرفتهتر
جمعبندی ساده: ℂ برای چندجملهایها «کامل» است اما برای توابع نمایی، قدرمطلق، لگاریتم و… ممکن است:
اصلاً جواب نداشته باشد یا نیاز به ساختار بزرگتر از ℂ داشته باشد.
💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal | 207 |
| 19 | Mohammad Arashi
Professor of Statistics at Ferdowsi University of Mashhad
فرصت پژوهش به عنوان محقق پسادکتری در رشته آمار و علم دادهها دانشگاه فردوسی مشهد
در راستای اجرای طرح جهش دانشگاه فردوسی مشهد، فرصت ارزشمندی برای جذب یک پژوهشگر پسادکتری در گروه آمار، با حمایت مالی مناسب از سوی دانشگاه فردوسی مشهد، فراهم شده است.
از دانشآموختگان دکتری آمار که طی سه سال اخیر فارغالتحصیل شده و علاقهمند به پژوهش در زمینههای مدلسازی دادههای بابعدبالا، شبکههای گرافیکی و تحلیل دادههای طولی هستند، دعوت میشود رزومه خود را برای بررسی، با درج عنوان «پسادکتری آمار دانشگاه فردوسی مشهد» در موضوع ایمیل، به نشانی زیر ارسال کنند.
m_arashi_stat@yahoo.com
باتشکر
💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal | 135 |
| 20 | توضیحات تکمیلی آقای دکتر ملک 👇
ثابت خینچین (Khinchin's constant) یک ثابت ریاضی است که در نظریهٔ Number Theory و بهویژه در مطالعهٔ continued fractions ظاهر میشود.
مقدار تقریبی آن برابر است با:
ویژگی شگفتانگیز این ثابت این است که برای تقریباً همهٔ اعداد حقیقی (به جز مجموعهای با اندازهٔ صفر از نظر نظریهٔ اندازه)، اگر عدد را به صورت کسر مسلسل بنویسیم:
میانگین هندسی جملههای � به ثابت خینچین همگرا میشود:
استثناها
این نتیجه برای برخی اعداد مشهور برقرار نیست، از جمله:
Pi (هنوز مشخص نیست که برقرار است یا نه، زیرا رفتار کسر مسلسل آن به طور کامل اثبات نشده است.)
Euler's number
اعداد گویا، چون کسر مسلسل آنها متناهی است.
فرمول دقیق
ثابت خینچین را میتوان به صورت حاصلضرب بینهایت نیز تعریف کرد:
این ثابت به افتخار ریاضیدان Aleksandr Khinchin نامگذاری شده است که در سال ۱۹۳۴ این نتیجهٔ بنیادی را اثبات کرد. | 183 |
