Математические байки

Так вот — давайте разобьём отрезок на две части, I_0=[0,1/2) и I_1=[1/2,1). И сопоставим точке x последовательность нулей и единиц: на n-м месте поставим то, в какой интервал попадает F^n(x).

Оно хаотично: если взять две точки очень близко друг к другу, и начать применять F — то на каждой итерации расстояния между точками будут удваиваться. (Тут удобнее вместо отрезка рассмотреть окружность, склеив 0 и 1 — тогда отображение становится непрерывным, и удваивающим угол; кстати, если нарисовать эту окружность на комплексной плоскости — взять z=exp(2 \pi i x), — то получающееся отображение это просто z->z^2. Но туда мы не пойдём...)

Один из самых основных примеров — это отображение F:x->{2x} отрезка [0,1] в себя.

Так вот — почему же Бунимович эту игру вспомнил? Дело в том, что для динамических систем один из стандартных инструментов это кодирование точки — сопоставление ей последовательности символов.

Но оказывается, что если построить по полукругу на противоположных сторонах прямоугольника, то в получившемся "стадионе" бильярдные траектории летают как раз таки хаотично — а не регулярно, как можно было бы подумать, исходя из его выпуклости.

Бильярдные траектории в (строго) выпуклых областях ведут себя более-менее регулярно, а в (кусочно) вогнутых — хаотично.

Да — возвращаясь к началу, Бунимович занимается динамическими системами и бильярдами. Скажем, одна из известных систем — "стадион Бунимовича": https://blogs.ams.org/visualinsight/2016/11/15/bunimovich-stadium/

Ну и прекрасная цитата из той же статьи Гарднера —

Картинка из той же статьи — как играть для слов длины 3 (красным выделены оптимальные ответы):

(а H и T тут — от английских Head и Tail)

Иллюстрация из статьи Мартина Гарднера "On the paradoxical situations that arise from nontransitive relations" в колонке "Mathematical Games", Scientific American, октябрь 1974

Получаем (7-0):(4-3) = 7:1, как мы уже видели в самом начале.

(B,B)={100}_2 = 4.

(B,A)={011}_2= 3,

(A,B)={000}_2= 0,

Например, для A=ООО, B=РОО, легко посчитать, что (A,A)={111}_2 = 7,

шансы на победу у слов B и A относятся, как (A,A)-(A,B) к (B,B)-(B,A).