Математические байки

Теорема. Число правильных раскрасок — инвариант узла.

Пример: правильная раскраска трилистника (image credit: Wikipedia)

А именно, раскрасим диаграмму узла в три цвета (красный, синий, зелёный) — раскрашивая каждую связную компоненту (от одного ныряния "под" перекрёсток до другого) в один цвет. Определение: раскраска называется правильной, если для каждого перекрёстка (в котором встречаются две "ныряющие вниз" компоненты и одна, проходящая поверху) мы в нём видим либо все три цвета, либо только один.

Так вот, самый простой в определении инвариант — это число правильных трёхцветных раскрасок.

Вот взятая из Википедии таблица узлов с небольшим числом перекрёстков:

Самый естественный подход — нужен какой-нибудь инвариант. И почти всегда инвариант строится не по узлу в R^3, а по его диаграмме — "узлу, вид сверху".

Как можно доказывать, что узел (формально, вложение окружности в R^3) нельзя развязать? Или что два узла различны?

В продолжение темы про узлы — байка про трёхцветные раскраски.

Ну и на этом я рассказ "о красивых картинках", наверное, завершу.

Там сильно больше комментариев — правда, они по-французски...

Ну и последнее на сегодня — а вот эти постеры висят у нас в Ренне на лестнице: http://sorciersdesalem.math.cnrs.fr/Posters/posters.html

Солнце (которое, правда, не очень видно) раскрашено под универсальную накрывающую сферы Римана без трёх точек — которая есть диск (а треугольники "с вершинами на абсолюте" переходят в верхнюю и нижнюю полуплоскости, в зависимости от раскраски). Лента справа завивается дорожкой вихрей Кармана — https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street . А верёвка завязывается в дикий узел (https://en.wikipedia.org/wiki/Wild_knot )

А вот что воздушный шар раскрашен под расслоение Хопфа — уже нужно заметить.

Правильные многогранники и (двоичные?) деревья, конечно, бросаются в глаза.

Она большая, во всю стену (так что слева на фотографии — это дверь), и с кучей математических сюжетов.

А чтобы завершить вечер картинок — фреска в UMPA ENS Lyon:

Но это будет как-нибудь в другой раз — тут есть красивый рассказ про то, почему пространство решёток на комплексной плоскости это C^2 без кривой {z^2=w^3}, что эта кривая высекает на единичной сфере узел-трилистник, и это именно тот самый трилистник, который появляется на постере, что фундаментальная группа дополнения к нему это группа кос B_3, потому что корни кубического уравнения, и так далее — но это надо писать вдумчиво, так что как-нибудь в другой раз.