Математические байки

И потому эти две вершины это действительно вершины выпуклой оболочки, причём соединённые ребром. А начиная с размерности 6, точно так же можно построить выпуклый многогранник, у которого любые три вершины соединены двумерной гранью-треугольником. И так далее.

Их выпуклая оболочка и будет искомым многогранником. Действительно: посмотрим на многочлен P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2. Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4: P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4. Превратим её в линейную функцию: L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4. Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.

А именно — давайте возьмём любые n точек на кривой Веронезе в R^4, отвечающие параметрам t_1,t_2,...,t_n.

Так вот — уже в размерности 4 можно предъявить выпуклый многогранник с любым числом вершин, такой, что любые две соединены ребром.

В лекции Гаянэ Паниной упоминалась кривая Веронезе — кривая в R^n, задаваемая параметрически как (t,t^2,t^3,...,t^n). Я в первый раз о ней узнал на одном из курсов в Независимом — где с её помощью строился совершенно прекрасный пример. Вот на плоскости, если у выпуклого многоугольника любые две вершины соединены ребром, то это треугольник. В пространстве, если у выпуклого (неплоского) многогранника любые две вершины соединены ребром — то это тетраэдр. (И это, кстати, уже не совсем тривиально!) А что будет в старших размерностях?

видеозапись: https://youtu.be/xRRNCuxLEyQ

И на этом, наверное, этот рассказ можно завершить.

Я процитирую слайд из другого доклада Шишикуры (https://www.impan.pl/konferencje/bcc/2018/18-juliasets/shishikura-bedlewo-juliasets.pdf ) —

Зато в объединении — "гиперболические" и "хаотические" параметры уже покрывают почти весь отрезок (с точностью до меры 0).

Так вот — несмотря на то, что множество гиперболических (всё стремится к устойчивой периодической орбите) параметров открытое и плотное, после того, как все эти интервалы выкинуты, ещё что-то остаётся!

И это довольно интересно: ведь параметры, при которых происходит "сваливание в периодическую орбиту", образуют открытое плотное множество. То есть где угодно на отрезке параметров есть маленький интервал, отвечающий тому, что всё стремится к какой-то притягивающей периодической орбите. (Кстати — помните ведь, что для квадратичных отображений такая орбита может быть только одна, потому что к ней обязательно стремятся образы единственной критической точки?)

Так вот — хаотическое поведение это вовсе не изолированный случай \lambda=4. Напротив того, параметры \lambda, при которых образуется такое "хаотическое" поведение, образуют множество положительной меры.

Может быть, это связано как раз с этим; кстати — после этого рассказа видео должно быть совсем легко смотреть.

В видео Veritasium, которое я уже цитировал, автор упоминает про генератор псевдослучайных чисел — https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=322

Так или иначе — итерации при \lambda=4 получаются из "удвоения угла" на окружности a->2a. Его динамика хаотична — а типичная орбита оказывается распределена в соответствии с мерой, которая в b-координате является мерой Лебега, а в x-координате — её образом при проекции b->sin^2 b =x (соответственно, будет абсолютно непрерывной )

Так, если взять максимально возможное значение \lambda=4, то получается многочлен, отличающийся от многочлена Чебышева заменой координат. Если T_2(y)=2y^2 -1 переводит cos(a) в cos(2a), то замена x=(1-y)/2 превращает его итерации в итерации f(x)=4x(1-x). Ну или можно было сразу сказать, что 4x(1-x) переводит sin^2(b) в sin^2(2b).

Чтобы закончить с логистическим отображением — мы пока обсуждали устойчивые периодические орбиты. Но предельным режимом бывают не только они.

Выглядит, как типичная картинка из компьютерной игры, когда надо показать, что "тьма спустилась на мир".