Математические байки

Так вот, вернёмся наконец к нашим четырёхмерным правильным многогранникам. Чтобы задать многогранник, достаточно задать его вершины — и их естественно выбирать на той самой единичной сфере в R^4 = H.

И несложно увидеть, что образ у него всё, а ядро — это только (1,1) и (-1,-1). И вот ещё одно двулистное накрытие (а заодно разложение алгебры Ли so(4) в прямую сумму двух копий so(3)).

то получается гомоморфизм S^3 x S^3 -> SO(4), потому что умножения слева и справа коммутируют.

Кстати — вот если умножать слева и справа на разные кватернионы (и справа — на обратный),

И — вот такое вполне применяется для задания/хранения ориентации что для спутников, что в видеоиграх. В отличие от углов Эйлера — "курс, тангаж, крен" — тут нет направления, где будет "деление на ноль" (у летящего вертикально вверх истребителя курса нет), легко считается композиция (перемножить кватернионы, и вся недолга). В отличие от матриц — по крайней мере, ошибки округления (если экономить память) не уведут нас с множества ортогональных матриц, и не будет вопроса, "как бы получше выбрать ближайшую ортогональную матрицу", когда ошибки накопятся.

Причём это отображение почти взаимно-однозначно — единственное, что в q можно поменять, это знак. (Что не очень сложно проверить.) Поэтому вращение трёхмерного пространства кодируется кватернионом единичной длины, заданным однозначно с точностью до знака. Иными словами, группа S^3 двулистно накрывает группу SO(3).

То есть всякому кватерниону единичной длины q сопоставляется вращение трёхмерного пространства {bi+cj+dk} чисто мнимых кватернионов.

И значит, оставляет на месте как множество и трёхмерное пространство чисто мнимых кватернионов — ортогональное дополнение к вещественной прямой.

Во-вторых, единицу — а значит, и всю вещественную прямую — оно оставляет на месте.

Во-первых, получилось движение четырёхмерного пространства (потому что и по отдельности эти умножения были движениями).

Так вот: давайте возьмём такой "единичный" кватернион q и умножим на него слева — и на обратный к нему \conj(q)=q^{-1} справа:

Да, кстати. Точно так же, как единичная окружность на комплексной плоскости является группой по умножению — точно так же (уже некоммутативной!) группой по умножению будет трёхмерная сфера S^3 кватернионов единичной длины.

И оба этих умножения будут движениями четырёхмерного пространства R^4=H, потому что |qz|=|zq|=|z|.

Но это совсем стандартные вещи — а вернёмся к кватернионам. Они некоммутативные — и если есть кватернион q с |q|=1, то можно умножать кватернионы на q как слева, так и справа:

это i^2=-1.

— только в ней раскрыты скобки. В частности, тот самый "минус" для косинуса суммы,