Математические байки

то в сечении получатся две пересекающиеся окружности:

И про расслоение Хопфа и окружности Вилларсо в конце тоже рассказывают. Я, собственно, ровно оттуда узнал, что если рассечь тор, полученный честным вращением окружности, бикасательной плоскостью —

Начинается он довольно просто — но потом доходит до правильных многогранников в размерности 4, и до того, как на них можно "посмотреть глазами": сначала "надуть", чтобы они легли на трёхмерную сферу в R^4, а потом сделать стереографическую проекцию, получив картинку в R^3.

Тут — стереографическая проекция, и это один из кадров из второй главы фильма Жиса, Йоса и Альвареса "Измерения": http://dimensions-math.org/Dim_RU.htm

Не у всех есть глубокое содержание — но смотрятся очень хорошо (и "создают атмосферу").

Математические постеры, которые висят в коридорах факультета математики (https://math.u-bourgogne.fr/ ) в Дижоне:

А узнал я это в своё время из посвящённого многочленам Лагранжа курса Аскольда Георгиевича Хованского — https://www.mccme.ru/dubna/2006/courses/khovansky.html (а вот тут лежат его записки — https://www.mccme.ru/dubna/2006/notes/newlagrang.pdf )

Для матрицы размера 3x3 — работы чуть больше (возвести A в квадрат, найти квадратный трёхчлен по трём значениям), но тоже вполне обозримо.

И вот получается алгоритм вычисления F(A): сначала построить интеполяционный многочлен R(x) по известным значениям F(λ_j) в корнях P(x) — собственных значениях λ_j. И потом подставить туда A. Для матрицы A размера 2x2, нахождение R(x) это проведение прямой по двум точкам, что совсем быстро.

Иными словами — интерполяционный многочлен Лагранжа.

Поэтому остаток от деления F на P с некратными корнями — это единственный многочлен степени <= deg P -1, у которого в корнях те же значения, что и у F.

А очень просто: если мы делим многочлен F с остатком на P, то значения остатка в корнях P совпадают со значениями F.

Для матрицы 3x3 — многочлен второй степени, так что R(A) посчитать тоже не очень сложно, знать бы только R(x) как многочлен. Но вот как его найти?

При этом остаток R(x) — штука "простая"; скажем, для матрицы размера 2x2 это просто линейный многочлен, R(x)=ax+b, и F(A)=R(A)=a*A+b*Id.

Поделим F(x) с остатком на характеристический многочлен P(x)=П_j (x-λ_j) матрицы A: F(x)=P(x)Q(x)+R(x). Но P(A)=0 (опять теорема Гамильтона-Кэли), значит, F(A)=R(A).

Но можно — проще! Пусть мы хотим найти F(A), где F — многочлен.

Можно, конечно, найдя собственные значения, найти потом собственные вектора, вычислить функцию в собственном базисе (допустим, все собственные значения некратные — так что матрица диагонализуется — и тогда просто поэлементно применить к собственным значениям на диагонали), потом вернуться в исходный (включая обращение матрицы перехода и умножение матриц)...