Математические байки

Вот тут очень подробный (153 страницы) обзор Зорича — но 2006 года (так что там ещё нет, например, теоремы о волшебной палочке): https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf

Так вот — комплексно-аналитическая картина для очень плоской поверхности это то, что на римановой поверхности задана голоморфная 1-форма w (которая в локальных координатах запишется как w=f(z) dz с комплексно-дифференцируемой функцией f); можно смотреть, как устроен её "неопределённый интеграл" — и наши координаты на многоугольниках это и есть её первообразная!

Таблица из записок Антона Зорича — см. http://bogomolov-lab.ru/SHKOLA2013/docs/zorich.pdf

А именно — очень плоская (пожалуй, термин "трансляционная" и впрямь излишне тяжеловесен) поверхность это всё равно, что пара из компактной римановой поверхности S и голоморфной 1-формы w на ней. Если более подробно — очень плоская поверхность это почти готовое комплексное одномерное многообразие ( риманова поверхность ) : на склеиваемых многоугольниках с координатами проблем нет (они лежат на плоскости, которую можно воспринимать как R^2, а можно, как C). На рёбрах склейки тоже никаких проблем. Единственное, с чем нужно быть чуть более аккуратным, это вершины: в них зачастую собирается полный угол, больший 2π. Но за счёт того, что у нас все склейки выполняются чистыми параллельными переносами — полный угол будет всегда вида 2πk. А тогда можно перенести вершину в точку 0 в качестве локальной координаты взять корень k-й степени, который как раз уменьшит полный угол до 2π. Вот и получается комплексная структура на всей поверхности.

Давайте я добавлю ещё пару слов про трансляционные поверхности — про то, с чем они связаны, и пару ссылок. А именно — на них можно смотреть не только геометрически (многоугольники, стороны, параллельные переносы, склейка), но и с точки зрения комплексного анализа.

(отсюда — http://www.mathsoc.spb.ru/pantheon/tamarkin/ermolaev.html )

История и впрямь соседняя —

(отсюда — http://mathcenter.spb.ru/nikaan/book/tamarkin_bio.pdf )

А соседняя история про переход границы —

(оттуда же)

А в 1924 году, не получив разрешения на выезд, перешёл границу нелегально:

Отсюда — http://mathcenter.spb.ru/nikaan/book/besicovitch_bio.pdf

В завершение — пара кусочков из биографии Безиковича: в 1919 году (гражданская война!) он успел побывать в Пермском университете и ректором, и деканом физико-математического факультета.

Картинка из вот этой статьи в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1973/03/sobaka_bezhit_napererez.htm — и собственно, там же можно прочесть и решение Безиковича.

Кстати — возвращаясь к варианту, где человек движется только по граничной окружности: если человек движется всё время в одном и том же направлении, то "радиально" преследующий его лев будет двигаться по окружности вдвое меньшего радиуса.

Правда, красивая конструкция?

Так вот — несложно увидеть, что такая последовательность L_n найдётся. Потому что достаточно взять гармонический ряд 1/n и умножить его на достаточно маленькую константу, чтобы было выполнена оценка для суммы квадратов. Вот и всё!

Тогда: 1) очевидно, что пока человек может делать эти шаги, лев его не поймает. Потому что в проекции на направление, куда бежит человек, лев от него отстаёт (ну или хотя бы не нагоняет): проекция льва движется со скоростью, не большей 1, поскольку это проекция единичного вектора скорости. 2) Чтобы человек мог делать такие шаги неограниченно долго, нужно, чтобы сумма ряда \sum L_n расходилась. (Иначе это к Зенону 🙂 ) 3) За один шаг квадрат расстояния до центра возрастает на L_n^2. (ибо теорема Пифагора: начинает бежать человек перпендикулярно радиусу) Значит, нужно, чтобы сумма \sum L_n^2 сходилась — и её сумма, плюс квадрат начального радиуса, был бы меньше 1 (ну или квадрата радиуса арены).

(Мы тут предполагаем, что человек начинает не на границе — иначе пусть он сделает хотя бы один шаг внутрь, а потом уже запускает алгоритм.)