𝑴𝒂𝒕𝒉𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒔 𝒄𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆𝒏𝒈𝒔!

منظور از gcd, ب.م.م هست.

یک مسئله تالیفی المپیادی جدید 📌پیشنهاد میکنم که دستتون رو به spoiler بزنید حتما چون به قضیه ای نیاز دارید که کمتر شاید بدونیدش. چون هدف یادگیری است نه ایجاد یک چالش ذهنی! راهنمایی: از قضیه ای که در https://t.me/mathchalenging/158?single اومده استفاده کنید. 📱https://t.me/mathchalenging

ساختار ریاضیاتی خلقت 📱https://t.me/mathchalenging

معرفی یک ابزار قدرتمند یکی از چالش های اصلی برای نوشتن متن های علمی به کمک latex، دسترسی به لبتاپ و کامپیوتره. یک روبات در تلگرام هست که وقتی بهش کد latex رو بدید، براتون همون موقع خروجی به همین شکل بالا میده: @InXeLaTeXbot فقط کافیه مثل لاتک فرمول هاتون رو داخل $$ بذارید و براش ارسال کنید. همون موقع بهتون خروجی latex میده. 📱https://t.me/mathchalenging

چیزی که بهش میخواستم اشاره کنم همین بود. طرح یک مسئله دو وجهه داره. یکی نکته و ایدۀ اصلیه که شاید خیلی ساده باشه و صرفا بازی با روابط و ساختار های ریاضیاتی باشه؛ دومی پنهان کردن اون ایده به یک شکله. که هر دو هنر طراح مسئلس. برخی سؤالات رو شما می بینی که خیلی سادن ولی حلشون که میکنی لذت می بری از دید طراحش در مقابل یه سری سؤالات رو می بینی که صرفا فقط طراح پیچوندتشون و اصلا چیز زیادی حل اون سوال برای شما نداره. 📱https://t.me/mathchalenging

📱 https://t.me/mathchalenging

اما سوال زمانی قشنگ تر بود که به جای fn معادلش گذاشه بشه: f(n) = (1+radical(5)^n/2^n + (1-radical(5)^n/2^n

سرگرمی: فرض کنید fn نشان دهنده nامین عدد فیبوناچی باشه؛ دترمینان ماتریس چی میشه؟ 📱https://t.me/mathchalenging

پاسخ: کافی است تا p(1),p(-1) رو داشته باشیم. در این صورت در هر دو، ضرایب توان های زوج علامتشون مثبته ولی ضرایب توانهای فرد قرینه میشن. اگر مثلا مجموع توان های فرد رو با a و مجموع توان های زوج رو با b نشون بدیم، داریم: f(1) = a+b f(-1) = -a+b و به سادگی با دو معادله و دو مجهول میتونید به دست بیارید باقیش رو … 📱 https://t.me/mathchalenging

مثال هایی از هر کدوم از گزاره ها رو شما بفرستید👆

چند نکته مهم در خصوص ترکیب مفهوم ریشه ها و مفهوم اکسترمم در توابع:

فرض کنید f تابعی پیوسته در همسایگی نقطه x=a باشه به طوری که 0=(a)f؛ در این صورت: ۱. اگر در x=a تابع تغییر علامت نده، در x=a تابع شما دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبیه. توجه کنید که لازم نیست در این شرط الزاما تابع شما در اون نقطه مشتق پذیر باشه و یا مشتقش صفر بشه. ۲. اگر در x=a تابع شما تغییر علامت بده دو تا حالت پیش میاد: ۱. اگر مشتقش صفر بشه، x=a نقطه عطفه حتما”. طبیعتا اگر مشتق بینهایت هم بشه نقطه عطفه اونجا ۲. اگر مشتق صفر یا بینهایت نباشه نظر خاصی نمیشه داد و بستگی به نوع تابع خواهد داشت.

📱https://t.me/nesbattalaiimathchalenging

لینک مشاهده جلسه دوم بخش اول (۱۳ دقیقه) در این بخش حل رابطه بازگشتی آموزش داده شده است. https://drive.google.com/file/d/1QA-0Sh0APKY6-u7f17lEJhax0OOJUgPH/view?usp=drivesdk بخش دوم (۹ دقیقه) در این بخش عدد طلایی تعریف شده است. https://drive.google.com/file/d/1QAQ54i_PZXZdJDoVu2c_UZHg_yyyTwpP/view?usp=drivesdk ادامه دارد ... 📱https://t.me/nesbattalaiimathchalenging

سوال: فرض کنید یک چند جمله ای مثل p(x) دارید که هیچ اطلاعاتی ازش ندارید. برنامه ای نوشته شده که به ازای هر x ای که بهش می دید به شما p(x) رو تحویل می ده. شما حداکثر دوبار می تونید از برنامه استفاده کنید. روشی ارائه بدید که به کمک اون بشه مجموع ضرایب توان های فرد p(x) رو حساب کرد! 📱https://t.me/mathchalenging

شاید براتون جالب باشه که بدونید فرمول هایی برای اعداد اول کشف شده. این روابط یکی دو تا دیگه هم هستن ولی خوب قاعدتا با هیچ کدوم اونقدر راحت نمیشه محاسبات انجام داد‌. خوبه به این موضوع اشاره کنم که اعداد اول کاربرد های زیادی به جز تجزیه اعداد طبیعی دارن. اعداد اول در بسیاری از سیستم های رمزنگاری نقش مهمی ایفا میکنن. به طور مثال سیستم رمزنگاری RSA که امروزه برای نقل و انتقالات بانکی مورد استفاده قرار میگیره به وسیله اعداد اول طراحی شده. 📱https://t.me/mathchalenging

این هم نمودار برای درک بهتر 📱https://t.me/mathchalenging

اما این سوال نکته این سوال فرد بودن تابع لگاریتمی بود!

تعریف تابع فرد و تابع زوج: اگر برای تمامی مقادیر حقیقی x که در دامنه f هستند، داشته باشیم: f(x) = - f(-x) آنگاه f تابعی فرد است. و اگر برای تمامی اعضای دامنه f داشته باشیم: f(x) = f(-x) آنگاه f تابعی فرد است.

در نگاه اول شاید متوجه نشید که بخش لگاریتمی تابعی فرده اما اگر طبق قوانین لگارتیم اون رو به صورت log(x⁴ + x³ +1) - log(x⁴ - x³ + 1) بنویسیم؛ به راحتی متوجه می شید که تابع فرده. حالا باید معادله زیر رو حل کنیم: log(x⁴ + x³ +1) - log(x⁴ - x³ + 1) = -x تابع لگاریتمی به ازای مقادیر مثبت، مثبت هست؛ چرا؟ چون داخل آرگومان لگاریتم کسری داریم که صورتش از مخرجش بزرگتره و همواره مثبته و چون لگاریتم اعداد بیشتر از ۱ همواره مثبته؛ بخش لگاریتمی در اعداد مثبت، مثبت هست. با توجه به فرد بودن تابع میشه گفت تابع لگاریتمی در اعداد منفی، مقادیر منفی داره در صورتی که تابع y = -x رفتاری کاملا متضاد داره! در مثبت ها منفیه و در منفی ها مثبت! پس ما توی اعداد مثبت و توی اعداد منفی ریشه نداریم! ولی عدد صفر چون نه مثبته و نه منفی باید جداگانه بررسی بشه که از قضا ریشت. پس تابع f تنها یک ریشه داره. 📱https://t.me/mathchalenging

شروع تا لحظاتی دیگر ...

از نمودار نمی تونید استفاده کنید؛ با این حال شاید نمودار بتونه به رسیدن اون نکته شما رو راهنمایی کنه

❓سوال: تابع بالا چند ریشه داره؟ میخواستم نکته ای رو بگم ولی گفتم شاید ابتدائا (کلمه ای که خیلی ازش استفاده میکنم:) ) با این سوال ذهنتون درگیر بشه بهتره و اصن شاید خودتون بهش برسید. بعدا خودم اون نکته رو توضیح خواهم داد. 📱https://t.me/mathchalenging