𝑴𝒂𝒕𝒉𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒔 𝒄𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆𝒏𝒈𝒔!

یک بد فهمی بزرگ محتمل در احتمال! این چیزی که میخوام توضیح بدم، بهش "مغلطه قمار باز" گفته میشه. بر خلاف اسمش مبتلابه خیلی از ماهاست!

فرض کنید از شما بپرسن که چقدر احتمال داره الان 6 تاس رو بندازیم و اعداد رو شده همگی 6 باشن؟

خوب خیلی راحت میگیم چون برآمد ها دارای استقلال از هم هستن: P(مطلوب) = 1/6⁶ که مقدار تقریبی اون هست: 0.000002 یعنی عملا صفر! حالا این یکی سوال رو جواب بدید!

الان 5 تا تاس انداختید و همش 6 اومده، اگر ششمی رو پرتاب کنیم چقدر احتمال داره دوباره 6 بیاد؟

آیا جواب کماکان همونه؟ قطعا نه! اینجا دیگه کاری به باقی نداریم چون همون طور که گفتم پیشامد ها مستقل از همن. اینجا مقدار احتمال همون 1/6 میشه! خیلی 1/6 با عدد قبلی فاصله داره ها! 6⁵ برابر اونه! این اشتباه رو خیلیا انجام دان! یکی از نمونه های واقعیش مربوط به یک کازینو در شهر مونت کارلو فرانسه در سال ۱۹۱۳ میشه. در یک بازی، توپی ۲۶ بار به صورت متوالی در جایگاه سیاه قرار گرفت که احتمال اون تقریباً برابر با یک در ۶۶ میلیون بوده. با مشاهده چندین بار قرار گرفتن توپ در جایگاه سیاه و با استنباط اینکه در مرحله بعدی در جایگاه قرمز قرار می‌گیره، بسیاری از شرکت کننده‌ها روی قرمز شرط‌بندی کردن و نهایتاً باختن! نمونه دیگش در ارتباط با خانواده هایی است که دارای فرزند هایی از یک جنس هستند و احتمال اینکه فرزند بعدیشون دارای جنسیتی متفاوت باشه رو بیشتر میدونن! 📱https://t.me/mathchalenging

بعضی چیز ها، در عین سادگی زیبا هستن. خیلی وقت ها بار ها و بار ها شده چیزی رو دیدیم ولی وقتی زاویه دیدمون رو عوض کردیم در موردش، تونستیم یه نکته جالب ازش استخراج کنیم. رابطه قوت نقطه در هندسه به نظرم یکی از اون چیز هاست! در عین اینکه خیلی سادست ولی نشون میده مهم نیست دایره ها چقدر کوچیک یا چقدر بزرگ باشن، مادامی که به نقطه T مماس باشن میشه براشون اون رابطه رو نوشت! 📱https://t.me/mathchalenging

آیا این تعریف نقطه هست؟

محل تلاقی دو خط در فضا را نقطه گوییم.

یک فرصتی امروز پیدا کردم، تا ویدئویی از "مسئله سوزن بوفون" براتون آماده کنم. خیلی مسئله کاربردی و جالبیه امیدوارم براتون مفید باشه.

مسئله سوزن بوفون به این نتیجه ختم میشه که به وسیله احتمال میشه عدد π رو تقریب زد.

📱https://t.me/mathchalenging

یک قضیه خیلی جالب تو آمار و احتمال داریم که میگه:

اگر تعداد دفعات یک آزمایش تصادفی به بینهایت میل کنه، میانگین نتایج به دست اومده به امید ریاضی میل خواهد کرد.

ابتدا براتون بگم که امید ریاضی چیه. امید ریاضی برای متغیر تصادفی Xi برابر هست با مجموع حاصل ضرب احتمال هر متغیر (یعنی عضو فضای نمونه) در مقدار اون متغیر که به صورت E(Xi) نشون می دیمش. مثلا برای یک تاس میشه: 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + ... + 1/6 × 6 = 3.5 چرا بهش میگن حالا امید ریاضی؟ در واقع امید ریاضی میانگین توقعات ما از نتایج یک آزمایش تصادفی رو میگه، ما توقع داریم هر چه یک عضو فضای نمونه احتمال بیشتری داشته باشه، در نتایج به دست آمده بیشتر دیده بشه و این بیشتری و کمتری خودش رو تو میانگین به خوبی نشون میده. برگردیم به مسئله خودمون! یکی از راه های تحقیق این قضیه، استفاده از یک منبع تولید کننده اعداد تصادفیه. در عکسی که در بالا می بینید از نرم افزار Excel استفاده شده تا اعداد تصادفی برامون از مجموعه {1,2,3,4,5,6} انتخاب کنه (به عنوان یک تاس). البته تعداد اعداد خیلی بیشتره که توی عکس نیفتاده. بعد همون جور که می‌بینید، عدد میانگین این اعداد به 3.5 بسیار نزدیک شده. لازم به ذکره که Excel این کار رو کاملا به صورت تصادفی انجام نمی ده و یک الگوریتم خاصی برای انتخاب اعداد داره اما از این موضوع میشه چشم پوشید؛ چون صرفا داریم اثر این قضیه رو میبینم و از این کار برای نتیجه گیری آماری خاصی استفاده نکردیم! 📱https://t.me/mathchalenging

مسئله نظریه اعدادی ارسالی از یک دوست عزیز 📱https://t.me/mathchalenging

روش حل این مسئله پیشنهاد میکنم 4 دقیقه ابتدایی این فیلم رو ببینید چون نحوه استدلال کردن برای اینکه ریشه ها رو امتحان نکنیم توش گفتم. 📱https://t.me/mathchalenging

‘چطور به ذهنت رسید؟’ این سوالی ایه که اکثرا ما در مواجه با کسی که یک مسئله سخت رو حل می کنه ازش می پرسیم! مخصوصا دانش آموزا از معلم هاشون! و جواب کلیشه ای و همیشگی: با تمرین زیاد😂😬 ولی آیا واقعا شما بشینی صبح تا شب سوال المپیادی و چالشی حل کنی، می تونی تضمین بدی که همه مسائل رو می تونی حل کنی؟ قطعا نه! یادمه کلاس پنجم بودم تو کتاب فارسی ما یه ضرب المثل بود که می گفت: همه چیز را همگان دانند. خیلی این ضرب المثل زیباست! واقعا کسی معنای اینو بفهمه دیگه سوال ابتدای این متن رو نمی پرسه. حل یک مسئله به یک روش زیبا و بهینه به طور قطع با زیاد مسئله حل کردن و مسئله دیدن به دست میاد ولی به جز اینا به یک چیز دیگه هم نیازه و اون زاویه دیده! چیزی که اونو هرکسی منحصرا داره و برا همین شما ممکنه ببینی یه دانش آموزی سوالی رو قشنگ تر از یک استاد حل می کنه چون زاویه دید متفاوتی داشته! این اصلا یه point منفی برای یک استاد نیست! اشتباه نکنید! گاهی زاویه دید تجربس! گاهی زاویه دید خط اضافس! گاهی زاویه دید ساده تر نگاه کردن به مسئلس! و گاهی هم یک مسئله رو هیچ کس جز طراحش نمی تونه حل کنه! چرا؟ چون اون به زاویه دیدی رسیده که هیچ کس تا اون موقع نداشته اونو! پس اگر یه مسئله ای رو نتونستید حل کنید؛ غصه براش نخورید! زاویه دیدتون رو جدید کنید! https://t.me/mathchalenging

این مطلب رو سابقا نوشته بودم، منتها گفتم شاید دوباره ارسال کردنش خوب باشه.

آیا این معادله رو میتونید بدون استفاده از فرمول های معادلات درجه 4 حل کنید؟ 📱https://t.me/mathchalenging

امروز، تولد مریم میرزاخانی از مهم ترین و تأثیر گذار ترین ریاضیدان های ایرانیه. همه اسم اون رو حداقل یکبار شنیدیم که در سال 2014 هم مفتخر شد تا جایزه فیلدز (که از مهم ترین جایزه های علمی در ریاضی هست و برای کسب اطلاعات بیشتر ارجاعتون میدم به https://t.me/mathchalenging/141) رو کسب کنه. متأسفانه اما خیلی زود ما این دانشمند بزرگ رو از دست دادیم. یکی از ویژگی هایی که باعث میشه یک دانشمند به نظرم نام و یادش برای سالیان در ذهن همه باقی بمونه، فروتنیشه. ببیند که چطور پدرش از مریم میگه 📱https://t.me/mathchalenging

سطح سواد عمومی ریاضی مردم، واقعا در خطره. اشتباهات عجیبی و غریبی که از مردم میبینم این روزا: مثلا 2x + y < 3 , y<2 طرف از هم اینا رو کم میکنه میگه 2x < 1! یا جایی دیگه میبینم طرف برای بار ۱۰۰۰م اومده با مغلطه اثبات کرده 1=2: 1×0 = 2×0 ---> 1=2 و همه نوشتن:

بابا عالی، دمت گرم!

یه جا دیگه در اینستاگرام طرف مسئله معروف شیپور جبرئیل رو حل کرده بود که از طریق انتگرال اثبات میشه مساحت یک منحنی میتونه میل کنه به بینهایت ولی حجمش میل کنه به یه عدد حقیقی و زیرش یکسری فرد مثلا فکر کرده بودن خیلی زرنگن نوشته بودن:

داداش، جوابی که برای حجم در آوردی توش عدد π داره و π هم بینهایت اعشار داره!

یعنی هنوز فرق عدد گنگ و مفهوم بینهایت رو مردم نمی دونن. واقعا علتش چیه؟ آموزش ها بسیار کم عمق و ضعیف شده؟ معلم ها خوب به بچه ها انتقال نمی دن؟ مردم مطالعشون کم شده؟ 📱https://t.me/mathchalenging

یک مسئله تاریخی که بیشتر جنبه پارادوکسی داره و هنوز هم تقریبا روش بحثه، اگرچه گالیله استدلال‌هایی براش آورده. شما نظرتون چیه؟ 📱https://t.me/mathchalenging

یک مسئله از هندسه طراحش نمی دونم کی بوده ولی دستخوش! 📱https://t.me/mathchalenging

از چرخش و ثبت مکان نقطه ای روی یک دایره که اون دایره به دور یک دایره دیگه میچرخه، چنین شکل های زیبایی ساخته میشه. این شکل ها به نام های "درون چرخ زاد" و "برون چرخ زاد" یا در یک حالت خاص "سیکلوئید" شناخته شده هستن. 📱https://t.me/mathchalenging

حل: به طرفین، A^m اضافه میکنیم: A^n + A^m = I + A^m داریم: A^m ( A^(n – m) + I) = I + A^m با دترمینان گیری از طرفین و همچنین این نکته که |AB| = |A| |B| داریم: |A^m| |A^(n –m) + I | = |I + A^m| با توجه به رابطه اولیه سوال، می‌توان گفت: |A|^n = 1 , n: فرد -----> |A| = 1 پس |A^m| = |A|^m = 1 در نتیجه: |A^(n –m) + I | = |I + A^m| 📱https://t.me/mathchalenging

چند راهکار برای اینکه هر مفهومی توی ریاضی رو بتونید خیلی خوب و سریع یادبگیرید. به کرات افرادی رو دیدم که مثلا یه بخشی از ریاضی رو الان ازشون بپرسی خوب بلدن ولی یه هفته بعد که میری سراغشون (به خصوص اگر هفته بعد از امتحان یا آزمونی باشه :)) همه چیز رو فراموش کردن. مشکل اساسی این افراد، مفهومی و عمیق مطالعه نکردن ریاضیه؛ منتهی این کار واقعا وقت می‌خواد و اگر درست حسابی وقت روش نگذارید، نتیجه نمی‌ده. یک اشتباه که خیلی از افراد در خصوص ریاضیات می‌کنن؛ اینه که از اول میرن توی کتابا روش های حل مسئله رو می بینن و توجهی به پیش گفتار، قضایای اولیه و نتایج حاصل از اون قضایا نمی کنن که به نظرم بدون در نظر گرفتن اونها، حل مسئله نه فایده داره و نه در ذهنتون استراتژی های حل خواهد موند. قبل از هر چیز باید یک منبع مناسب برای اون مفهوم یا اون درس از ریاضی پیدا کنید؛ در برخی از موارد همین تعدد منابع موجب خوب یادگرفتن ما نمیشه. بعد از انتخاب منبع، شروع کنید قدم به قدم با اون کتاب یا مقاله پیش برید. روی تعاریف سعی کنید مسلط بشید چون ریاضیات علم تعاریف و نیتجه گیری براساس اون تعاریفه. هر جا شما رو به قضیه ای وارد میکنه، حتما سعی کنید یا قضیه رو برای خودتون اثبات کنید یا اثباتش رو بخونید؛ به خاطر سپردن اثبات قضایا در یادگیری مطالب خیلی کمک کنندس. این مثالی که براتون می زنم واقعیه. جلسه اول معادلات دیفرانسیل استاد ما ایده اولیه حل معادلات خطی مرتبه اول رو گفت ولی در یک حالت خاص و گفت تا جلسه بعدی روی روش کلیش فکر کنید. من نشستم خیلی فکر کردم، آخر سر به اون ایده ضرب e^int(f(x) dx) رسیدم، برای همین تا آخر عمرم هم اگر معادله دیفرانسیل y' + f(x)y + g(x) = 0 رو ببینم، می تونم حل کنم. در کنار خوندن اثبات قضایا، ممکنه شما رو منبع ارجاع بده به قضایای دیگه. در این هنگام اگر صورت اون قضیه رو فراموش کردید، حتما برید و صورت کلیش رو ببینید چون اگر بگید که "ولش کن!" ممکنه چندین بار دیگه ازش استفاده بشه و اصن در روند اثبات گام مهمی باشه. بعد از این مرحله، شروع به مرور استراتژی های حل مسئله کنید. این مرحله خیلی مهمه چون اگر استراتژی های کلی رو بلد نباشید نمی تونید حل مسئله رو شروع کنید. پس از گذر از این مرحله شما تازه وارد مرحله حل مسئله می شید. جایی که به نظرم اتفاقا تعدد منابع برای دیدن سوالات مختلف خیلی خیلی کار خوبیه. در این مرحله دستتون خیلی بازه! حتی اگر کتاب حل مسئله خوب نداشته باشید، توی اینترنت و یوتوب میتونید سوالات فوق العاده (البته خوب بستگی به اون مفهوم هم داره😉) پیدا کنید. 📱https://t.me/mathchalenging