یزدان بابازاده

نمودار U بر حسب N

تعداد بهینه برای یک گروه دوستی چند نفر است ؟ حتما شما هم با قرار گیری در گروه های دوستی مختلف با تعداد افراد متغیر متوجه تفاوت کیفیت حضور و مکالمات در این گروه ها شده اید. در این متن قصد دارم با یک مدل سازی ریاضی به این سوال پاسخ دهم که آیا تعداد بهینه ای برای یک گروه دوستی وجود دارد ؟ و اگر وجود دارد این تعداد چند نفر است ؟ برای ساده سازی موثر مساله فرض می کنم در یک گروه N نفره افراد قصد دارند مکالمه ای پایا پای را پیش ببرند. میزان رضایت هر شخص از قرار گیری در این جمع N نفره را با U نمایش میدهم. اما این U تابع چه پارامتر هایی است ؟ به صورت ساده شده دو پارامتر اصلی در تعیین مقدار U موثر هستند : یک ) لذت از قرار گیری در مکالمه دو ) فشار ادامه ی مکالمه لذت ادامه ی مکالمه به سادگی به این معناست که شخص در چه کسری از جریان مکالمه حضور دارد و آن را با S نمایش میدهم. هر چقدر حضور و تاثیر شخص در مکالمه بیشتر باشد، حضور در آن جمع برایش لذت بخش تر می شود و مقدار U بیشتر می شود. فشار ادامه ی مکالمه اما به این معناست که حضور در یک جمع نمی تواند فقط به صرف حضور محدود شود. شخص باید در یک مکالمه ی دو یا چند نفره بخشی از مکالمه را از سمت خود پیش ببرد. این چیزیست که آن را فشار ادامه ی مکالمه می نامم و با P نمایش میدهم و افزایشش باعث عدم رضایت و کاهش U می شود. حال چطور می توان این دو مفهوم را کمی کرد ؟ فشار ادامه ی مکالمه را می توان به سادگی تصور کرد که بین افراد جمع تقسیم می شود. در نتیجه باید متناسب با معکوس جمعیت باشد یا به طور دقیق تر :‌ P=1/(N-1) از طرفی برای محاسبه ی لذت قرار گیری در مکالمه باید حساب کنیم که در چه کسری از مواقع شخص درگیر مکالمه در جمع بوده است. بدین منظور میتوان احتمال درگیر بودن فرد را حساب کرد. به این معنی که میدانیم بین N نفر در مجموع N-1 فاکتوریل ارتباط وجود دارد در حالی که یک فرد دلخواه به تنهایی فقط N-1 رابطه می تواند با بقیه ایجاد کند. در نتیجه احتمال درگیر بودن فرد به صورت زیر است : S=1/(N-2)! حال می توان U را به صورت زیر تعریف کرد: U = S - P اگر این پارامتر را به ازای جمعیت های مختلف رسم کنیم نتیجه به صورت زیر خواهد بود :

نمودار بالا حاوی نکات جالب توجهی است. ابتدا لازم به ذکر است که نمودار فقط از N=2 به بعد قابل مطالعه است ( اولین فلش از سمت چپ) زیرا هیچ گروهی کمتر از ۲ نفر نمیتواند باشد. نکته ی بعدی اینست که نمودار در جایی نزدیک N=3 ماکزیمم می شود ( دومین فلش از سمت چپ ). به این معنی که هر فرد وقتی بیشترین لذت را از حضور در یک جمع میبرد که در ۳ نفر در جمع حضور داشته باشند. اما نکته ی آخر آنکه با افزایش جمعیت از یک نقطه به بعد مقدار U منفی می شود (اولین فلش از سمت راست). به این معنا که حضور در این جمع هیچ لذتی که ندارد هیچ بلکه باعث آزردگی می شود. اما ما میدانیم که در تجربیات روزمره مان در چنین جمع هایی حضور داشتیم. چطور میتوان این تناقض را رفع کرد ؟ به این صورت که در مدل تماما فرض بر اینست که افراد قصد دارند با همه ی افراد گروه برهمکنش کنند. اما وقتی با این فرض مقدار U منفی می شود، این فرض نقض شده و گروه به زیرگروه های ۲-۳ نفره ی کوچک تر شکسته می شود. به همین دلیل است که کمتر دیده می شود که ۱۰ نفر بطور همزمان همگی با یکدیگر مستقیما صحبت کنند. (مگر حالات خاصی مثل بازی و ... که بحث مجزایی هستند.) یزدان بابازاده

سناریو سوم : نسبت جمعیت بیماران به کل جمعیت بر حسب زمان - با واکسینه کردن ۱۵۰ نفر در هر روز

در باب تاثیر سرعت واکسیناسیون در گسترش بیماری در جامعه دیگر بر کسی پوشیده نیست که می توان با واکسیناسیون گسترده افراد یک جامعه از گسترش بیماری در آن جامعه پیشگیری کرد. قبلا در متن دیگری در باره ی نسبت جمعیتی افراد جامعه که باید برای جلوگیری از گسترش بیماری واکسینه شوند صحبت کرده ام : https://t.me/yazdan_babazadeh/493 اما نکته ای که کمتر به آن پرداخته می شود تاثیر "سرعت واکسیناسیون" در گسترش بیماری است. در این متن قصد دارم با مدل سازی و شبیه سازی گسترش بیماری در یک جامعه خیالی درباره ی تاثیر سرعت واکسیناسیون بحث کنم. جامعه ده هزار نفره را تصور کنید. فرض کنید در روز اول ۱ نفر در این جامعه به بیماری مبتلا است. هر فرد مبتلا بعد از گرفتن بیماری پس از ۱۰ روز بهبود میابد و پس از بهبودی مجددا میتواند به بیماری مبتلا شود. حال در این جامعه از واکسنی استفاده می کنیم که با ضریب اطمینان ۹۰٪ مانع ابتلای فرد واکسینه شده به بیماری می شود. شرایط توصیف شده تقریبا با وضعیت کرونا در یک جامعه کوچک برابری می کند. حال ۳ سناریو را بررسی می کنیم : یک : در جامعه هیچ واکسیناسیونی صورت نمیگیردد و افراد جامعه با برهمکنش با یکدیگر، بیماری را میان خودشان گسترده می کنند. دو : در هر روز ۱۰۰ نفر واکسینه می شوند و همزمان افراد جامعه با برهمکنش با یکدیگر بیماری را میان خودشان گسترده می کنند سه : در هر روز ۱۵۰ نفر واکسینه می شوند و همزمان افراد جامعه با برهمکنش با یکدیگر بیماری را میان خودشان گسترده می کنند حال تعداد بیماران بر حسب زمان را برای این سه سناریو شبیه سازی و رسم می کنم :

سناریو دوم : نسبت جمعیت بیماران به کل جمعیت بر حسب زمان - با واکسینه کردن ۱۰۰ نفر در هر روز

همان طور که می توان مشاهده کرد در سناریو اول بیشتر از ۸۰٪‌جمعیت به بیماری مبتلا می شوند. اما با شروع واکسیناسیون در دو سناریو دیگر همانطورکه انتظار می رود شدت بیماری کاهش می یابد. حتی اگر جمعیت هدف مان برای واکسیناسیون در تمام سناریو ها برابر و مشخص باشد(مثلا ۶۰٪ جامعه)، نکته اما آن است که سرعتی که این افراد را واکسینه می کنیم نقش قابل توجهی در بازده واکسیناسیون بازی می کنند. از نظر منطقی چطور این گزاره توجیه می شود ؟ موفقیت واکسیناسیون را با محاسبه ی احتمال ابتلا به بیماری فردی که واکسینه شده است محاسبه می کنند. اما باید دقت کرد که این احتمال در دل خود دو بخش جداگانه محاسباتی دارد : ۱- احتمال آنکه فرد واکسینه شده با فرد بیماری برهمکنش کند ۲- احتمال آنکه در این برهمکنش فرد واکسینه بیمار شود. احتمال ابتلا به بیماری فرد واکسینه با ضرب این دو احتمال در یکدیگر بدست میاید. بخش دوم این محاسبه مبتنی بر عملکرد و بازده خود واکسن ساخته شده است. اما بخش اول این محاسبه به تعداد افراد بیمار در جامعه مرتبط است. بنابراین اگر سرعت واکسیناسیون پایین باشد، تعداد افراد بیمار افزایش می یابند و با این افزایش تعداد افراد بیماری که واکسینه شده اند افزایش میابد و عملکرد واکسیناسیون نیز کاهش می یابد و این طور به نظر میرسد که واکسیناسیون غیرمفید و کم بازده است. یزدان بابازاده

سناریو اول : نسبت جمعیت بیماران به کل جمعیت بر حسب زمان - بدون واکسیناسیون

در تکمیل پست بالا : سازمان بهشت زهرا تعداد جانباختگان کرونایی دیروز در تهران را ۲۱۶ نفر اعلام کرد. با استناد به این عدد و با تکرار منطق بالا، احتمال متوسط مبتلا بودن یک فرد به کرونا در تهران تقریبا ۱ به ۶۶ است. این عدد بدین معناست که : با ۴۵ برهمکنش احتمال ابتلا به کرونا ۵۰٪ با ۱۰۰ برهمکنش احتمال ابتلا به کرونا ۸۰٪ با ۱۵۰ برهمکنش احتمال ابتلا به کرونا ۹۰٪ با ۲۰۰ برهمکنش احتمال ابتلا به کرونا ۹۵٪ خواهد بود. این اعداد برای شهر تهران محاسبه شده اند و همانطور که توقع میرفت شرایط بدتری را نسبت به متوسط کشور به تصویر میکشد. یزدان بابازاده

نمودار احتمال ابتلا به بیماری در موج پنجم بر حسب تعداد برهمکنش در جامعه