Математические байки

Ещё несколько красивых иллюстраций (и опять спасибо М. Панову!): Одна и та же гипоциклоида, только уже "звёздчатая":

Вот мы и доказали, что вершины каждой гипоциклоиды скользят по следующей. В частности, прямой отрезок-диаметр (внутри окружности радиуса 2r) скользит по дельтоиде (внутри окружности радиуса 3r) — что мы, собственно, видели и на исходной картинке. Вот если бы мне это просто сформулировали, как изолированный факт ("длина отрезка касательной к дельтоиде, содержащейся внутри неё, постоянна") — ой не сразу бы я в это поверил (и уж точно загрустил бы от одной мысли о доказательстве грубым счётом).

Поэтому вершина на синей кривой (радиуса r2=nr) движется так же, как если бы она была отмечена на окружности радиуса r1=R-r2=(n+1)r-nr=r, катящейся в обратную сторону. А она и рисует нашу фиолетовую гипоциклоиду! И кстати, действительно видно, что синие вершины скользят по фиолетовой кривой в обратную сторону.

Рисующая точка (красная) общая для двух окружностей: при таком отношении угловых скоростей радиус-вектор в точку одной окружности из её центра поворачивается так же, как и радиус-вектор в центр другой окружности из центра неподвижной. Вот у нас и получается параллелограмм.

Но если внутри окружности радиуса R рисовать гипоциклоиду окружностью радиуса r1 — то получится то же самое, что если её рисовать окружностью r2=(R-r1), движущейся в другую сторону. Более того, если взять отношение угловых скоростей обратно пропорциональным отношению радиусов — то просто отмеченные точки на рисующих окружностях будут совпадать в каждый момент времени. И вот иллюстрация к этому (опять спасибо М. Панову!) —

Вершина на синей кривой появляется в тот момент, когда рисующая точка оказывается точкой касания (то есть когда она максимально-внешняя). И дальше эта синяя вершина едет вместе с синей окружностью — двигается по гипоциклоиде.

Половина загадки разгадана; давайте теперь перейдём к вершинам. Достаточно разобраться, почему вершины предпоследней (синей) кривой едут по последней, неподвижной (фиолетовой). Потому что для движения, скажем, жёлтой дельтоиды по зелёной астроиде можно просто перейти в (движущуюся) систему отсчёта — сесть на зелёный круг. Там зелёный круг неподвижен, всё, что снаружи, можно выкинуть, а внутри мы видим такую же конфигурацию (окружности катятся с общей точкой касания).

И поэтому и у рисуемых кривых касательные идут в том же (одном и том же для всех) направлении — то есть они касаются.

Так вот — наши круги все (в каждый момент времени) касаются друг друга. Поэтому мгновенные скорости у них у всех в любой точке — в частности, в рисующей — сонаправлены (ибо все перпендикулярны радиус-вектору из точки касания).

Тут нарисован ответ на вопрос, как направлена мгновенная скорость попавшего в колесо камушка. Ну и если на этой картинке провести отрезок к точке касания (которая внизу), то как раз и получится опирающийся на (вертикальный) диаметр прямой угол — как и положено углу между вектором скорости и радиус-вектором из центра вращения.

Собственно, это часто рассказывают на физике — ну и мне вспоминается вот этот кадр из мультфильма "Циклоида" Математических Этюдов (https://www.etudes.ru/ru/etudes/cycloid/ ) —

И тут можно сказать, что при качении без проскальзывания мгновенный центр вращения — точка касания. То есть все скорости в каждом из кругов в данный момент времени направлены так, как если бы он поворачивался вокруг точки касания. Что, собственно, и логично. Ибо если поверить, что мгновенный центр вращения должен быть (а куда ему деться — если мы знаем теорему Шаля о классификации движений плоскости, так посмотрим, какой поворот переводит колесо в данный момент t в его положение в момент t+\delta, и возьмём предел центров этих поворотов), то этим мгновенным центром должна быть сейчас-неподвижная-точка, а это как раз точка касания.

Если бы мы взяли два листа бумаги и начали двигать с постоянной скоростью в двух разных направлениях, а рисующую точку сделали бы вообще неподвижной — то она на этих листах нарисовала бы прямые, пересекающиеся под углом (потому что каждая прямая будет того направления, куда мы тащим соответствующий лист). Поэтому просто словами "да все эти кривые одной и той же точкой нарисованы" нам не отбиться, нужно посмотреть чуть более аккуратно.

Теперь ответ "почему они все касаются" простой — но всё-таки не мгновенный. Хотелось бы сказать, что эти кривые касаются друг друга — потому что их рисует одна и та же точка (и ровно в той точке, где она сейчас находится, они и касаются). Но — она их рисует на движущихся кругах.

Для начала — "что": друг по другу без проскальзывания катаются окружности радиусов r, 2r, 3r,..., оставаясь все одновременно касающимися (можно считать, что внутренняя "прижимает" все промежуточные к внешней). На внутренней окружности отмечена точка — и она рисует кривые (гипоциклоиды) на кругах, связанных с этими окружностями. Можно спросить, конечно, как можно так рисовать одновременно на всех уровнях — ну либо нужно сказать, что точка это лазер, а на каждой окружности частично-прозрачная фоточувствительная бумага, либо сказать, что мы эту картинку рисуем последовательно — рисующая точка это фломастер, а после каждого оборота мы заклеиваем прозрачным диском очередную окружность.

И при взгляде на неё видно, что происходит что-то нетривиальное: все нарисованные "гипоциклоиды" катятся друг по другу, и касаясь друг друга, и скользя каждая своими вершинами по следующей. Так что давайте посмотрим аккуратно, что и почему происходит.

Вот ещё одна красивая картинка на эту же тему — спасибо М. Панову: