Математические байки

А в несимметричном-целочисленном —

Итого — та же самая производящая функция равна в симметричном-полуцелом случае

И давайте я тут выложу кадр из видеозаписи курса "Полубесконечная внешняя степень" М. Берштейна в ЛШСМ-2014:

А когда Q уже известен — то любое состояние из состояния с данным зарядом и наименьшей энергией (данного заряда) получается чередой сдвигов частиц на одно состояние вперёд — и способов добавить ещё n единиц энергии как раз p(n), число разбиений n, ибо они индексируются диаграммами Юнга (вне зависимости от значения Q!)

Но можно считать и по-другому — сначала спросить, "а какой у нас полный заряд Q?". И тогда — состояние с наименьшей энергией при данном заряде Q это, опять же, "все слева от Q занято, всё справа от Q свободно". И его энергия равна — в "симметричном полуцелом" варианте 1/2 + 3/2 + ... + (2Q-1)/2 = Q^2/2, а в несимметричном целочисленном — 1 + 2 + ... + Q = Q(Q+1)/2 (если Q отрицательно, то нужно частицы убирать — но правые части всё ещё дают правильный ответ).

Первая скобка приходит из добавления частиц на каждый свободный уровень j, а вторая — из их убирания с занятых уровней -(j-1).

А если бы мы тут с самого начала пожертвовали симметрией частиц и античастиц и сказали бы, что энергетические состояния это целые числа (а не полуцелые), и заняты в режиме вакуума отрицательные и ноль, а положительные свободны — то получилось бы совсем то, что мы хотели:

С одной стороны, можно вычислять эту производящую функцию, работая с каждым энергетическим уровнем по отдельности. Положительный уровень (2j-1)/2 можно не тронуть — а можно в него добавить частицу; +1 к заряду Q (потому что мы его в частицах считаем; иначе, если бы я сказал "электрон", нужно было бы вычитать 1), и +(2j-1)/2 к энергии. Отрицательный уровень -(2j-1)/2 можно не тронуть — а можно из него убрать частицу; -1 к заряду Q (потому что мы его в частицах считаем; иначе, если бы я сказал "электрон", нужно было бы добавлять 1), и +(2j-1)/2 к энергии (опять с плюсом — потому что мы убираем частицу с отрицательной энергией). Итого — производящая функция это вот такое произведение:

А теперь посмотрим на состояния, отличающиеся от вакуумного лишь в конечном числе мест. У них есть две характеристики — энергия E и полный заряд Q (который мы будем считать в "штуках частиц", то есть добавление частицы его увеличивает, а не уменьшает). (Состояния, отличающиеся в бесконечном числе мест, будут с бесконечной энергией — так что не рассматривать их вполне логично.) Так давайте составим производящую функцию у этой пары характеристик — просуммируем x^Q*q^E по всем допустимым состояниям. Что получится?

Хорошо, а при чём всё-таки тут тройное произведение? Рассмотрим модельную ситуацию — пусть у нас разрешённые энергии это все полуцелые числа. И рассмотрим "вакуумное состояние", когда все состояния с отрицательной энергией заняты, а с положительной — свободны:

И — совершенно блестяще предсказывает позитрон, таким, как мы его знаем. Вот соответствующий участок статьи — обратите внимание, как точно написано, и как замечательно читается! (From: Paul Adrien Maurice Dirac, Quantised singularities in the electromagnetic field, Proc. R. Soc. Lond. A, 133, pp. 60–72, 01 September 1931)

Правда, в статье 1929/30 года Дирак ошибочно отождествляет такую дырку с протоном: "We are therefore led to the assumption that the holes in the distribution of negativeenergy electrons are the protons." Но уже в статье 1931 года он исправляется: "Subsequent investigations, however, have shown that this particle necessarily has the same mass as an electron and also that, if it collides with an electron, the two will have a chance of annihilating one another much too great to be consistent with the known stability of matter." (+сноски — H. Weyl, Тамм, Оппенгеймер, Дирак).

Так вот, что будет, если убрать один из этого моря электронов с отрицательной энергией (выглядящего для нас, как нейтральный вакуум)? От него останется "дырка" — которая будет для нас выглядеть, как положительно заряженная частица. А вот если электрон к такой дырке подлетит — то вот тут он с большой радостью её займёт, перепрыгнув из своего состояния с большой положительной энергией в свободное состояние с большой отрицательной, и отдав разность энергий в качестве излучения (кто сказал "аннигиляция"?). И опять же — см. середину уже процитированного абзаца статьи Дирака: "... transitions can take place in which the energy of the electron changes from a positive to a negative value ..., the surplus energy, at least 2mc^2 in amount, being spontaneously emitted in form of radiation."

Dirac Paul Adrien Maurice, Theory of electrons and protons, Proc. R. Soc. Lond. A, 126, 01 January 1930, pp. 360--365.