Математические байки

Ответ уже красивый — но осталось понять, как это доказать.

Тогда f_1 это в точности D(f_0). А f_2 это D(f_1). И вообще f_k= D^k f_0 (!)

Так рассмотрим оператор D= -(1/x) d/dx:

Попробуем придумать, а как бы такие произведения чётных чисел в числителях могли получаться. Вообще, умножение на степень переменной отвечает дифференцированию. Но несколько применений такой операции оставили бы произведение чисел — а у нас произведение только чётных. Значит, нужно нечётные степени "пропускать", уменьшая степень переменной после дифференцирования ещё на 1.

Давайте я напишу ещё f_4 — а потом посмотрим на них повнимательнее:

Значение в нуле у f_3 равно (2*4)/5! = 1/(3*5), значит, на следующем шаге мы рассмотрим разность f_2 - 5 f_3, и опять поделим её на (-x^2), чтобы получить f_4, и так далее.

(Он не делит на степени переменной — у него это v — и чуть по-другому работает со знаками)

А вот соответствующее место у Ламберта —

И обратите внимание, числители продолжают быть вполне хорошо записывающимися!

Опять-таки, делим на (-x^2), получаем f_3:

Продолжаем алгоритм Евклида с делением — у f_2 свободный член (1/3), так что из f_1 её нужно вычесть с коэффициентом 3. Получаем:

Обратите внимание — числители вполне нестрашные.

Свободный член сократился — а у нас цепная дробь с (-x^2) в числителе, так что f_2 это (-1/x^2)*(f_1-f_0):