Математические байки

К одной оффлайновой дискуссии вчера: про предел (1+a/n)^n -> e^a при n->\infty. Двадцать лет назад я считал, что «правильный» способ об этом думать, это раскрыть скобки по биному, перейти к пределу почленно — из C_n^k /n^k * a^k = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!*n^k) * a^k предельным переходом получается a^k/k! (потому что в числителе тоже почти что n^k). Дальше получается ряд \sum_k a^k/k!, а это и есть экспонента e^a; остаётся объяснить корректность (равномерную по n сходимость этих сумм по k, ибо они мажорируются как раз рядом для экспоненты). А подход через логарифм считал странным трюком. А сейчас — наоборот: мне кажется, что «правильный» (ну или, как минимум, один из правильных) способов к этому подходить — это рефлекторное применение правила «Видишь [длинное] произведение — прологарифмируй!». А n-я степень это то же произведение. Убираем под логарифм, получаем n * \ln (1+ a/n) = n* (a/n + o(1/n)) -> a, n ->\infty, значит, сама степень стремится к e^a. Понятно, что можно и так, и так. Но рефлекс, что произведение всегда гораздо лучше выглядит после логарифмирования (сложение это гораздо более простая операция, а вычисление логарифмов сомножителей работает с ними по отдельности, что обычно просто) — по-моему, это рефлекс правильный…

Вот тут у коллег выложены очень красивые картинки аргумента многочлена большой степени (200) со случайными (равномерно выбираемыми на [-10,10]) коэффициентами. Картинка под спойлером не случайно — она неожиданная. Кстати, корни многочлена со случайными коэффициентами, равными +1/-1 (подкидывая монетку) — тоже расположены довольно красиво; см. тут. А возвращаясь к исходной картинке у коллег — мне ещё хочется вспомнить доказательство Гаусса основной теоремы арифметики, которое я узнал из книги «Математические прогулки» Этьена Жиса. В упрощённом пересказе (чтобы не оговаривать кратные корни) — если все корни простые, то кривые Re P(z) =0 и Im P(z) = 0 это гладкие кривые. При этом рядом с бесконечностью их участки чередуются — а они должны разбиваться на пары, соединяясь в гладкие кривые. Так что кому-то уж точно придётся с кем-то пересечься, а точка пересечения это и есть корень (см. рисунки по ссылке).

Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола. Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко». Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере. Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.

arxiv.org/abs/2606.10102 Giovanni Forni выложил препринт, в котором, как утверждается, доказано существование периодических бильярдных траекторий во всех многоугольниках

zykin.mccme.ru в четверг (11.06) в МИАН будет десятая конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017) 11:00 Сергей Давыдов. Стабильность для представлений спин-симметрической группы 12:15 Алексей Устинов. Последовательности Сомоса 15:00 Виктор Петров. Мотивы Чжоу некоторых многообразий Мукаи 16:15 Михаил Цфасман. Сильно вырожденные пересечения квадрик

несколько пренебрегая принципом «show, don't tell», хотел кратко написать про связи (местами пунктирные) между некоторыми из сюжетов здесь начнем с конца. для рациональной точки P на эллиптической кривой знаменатель nP растет примерно как c^{n²} раньше обсуждались замощения доминошками области на плоскости… и там часто количество замощений растет с той же асимптотикой, c^{площадь} например, для обсуждавшегося ацтекского брильянта ответ — 2^{n(n+1)/2}. этот ответ можно «сконденсировать», доказав рекурренту M(n+1)M(n-1)=2M(n)² бывают разные квадратичные рекурренты в таком духе, в т.ч. упоминавшиеся здесь мельком знаменитые последовательности Сомоса… и, скажем, Сомос-4, действительно, кодирует сложение на эллиптической кривой у этого всего есть игрушечные версии: можно мостить не по настоящему двумерную фигуру, а более-менее одномерную — прямоугольник 2×N (или 3×N и т.п. — такого рода вещи где-то в начале обсуждались), тогда ответы получаются типа Фибоначчи, которые удовлетворяют [не только квадратичным, но и] линейным рекуррентам, имеют более простую асимптотику c^n расставляя на доминошках веса, можно добиться, чтобы «одномерные» замощения считали вещи типа sin(nx) — т.е. nP не на эллиптической кривой, а просто на окружности (кажется не писал про тригонометрию доминошек здесь, только рассказывал на семинаре учителей) хотелось бы конечно это поднять на эллиптический уровень, чтобы nP считали двумерные замощения доминошками… кажется по кр мере про Сомоса что-то такое известно… в этом тоже не разобрался разные более конкретные вещи тоже можно пытаться переносить: скажем, F_n | F_{nm} — и вот для последовательности знаменателей nP (скажем, сгенерированных кодом из предыдущего поста конкретно) верно буквально то же… и т.п. незаконченное обсуждение арифметико-геометрического среднего конечно тоже связано со сложением на кубике, AGM реализует «эллиптический логарифм» (это наоборот, как имея точку xP найти x… вещественное или даже комплексное) но пока step into the elliptic realm не выходит, только трогаю пальцами холодную воду

в качестве картинок по выходным — https://matema-fest.ru/gallery/ ( контекст: https://t.me/turings_crossword/1541 )

mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf biblio.mccme.ru/node/74704 напомним книгу В.А.Васильева «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» (по его рассказам на ЛШСМ) «Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае. В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»

https://www.ras.ru/news/shownews.aspx?id=a805da29-0049-4bf1-a388-5da6de8fb2df поздравляем Виктора Анатольевича Васильева с юбилеем!

Леня @qtasep Петров со товарищи (D.Anderson, G.Panova) «present computational results related to principal specializations of the Schubert polynomials (…). We find the first counterexample, at n=17, to the conjecture of Merzon-Smirnov that the maximal value of S_w(1^n) is obtained at a layered permutation.» https://lpetrov.cc/2026/03/schubert-computation-sampling/ вполне себе компьютерная математика — при этом не то что бы просто достаточно перебрать в лоб: This conjecture was exhaustively verified by one of us (DA) for n≤13 in February 2025. (…) In May 2025, Adam Wagner (along with DA and Alejandro Morales) deployed Google DeepMind’s FunSearch to seek counterexamples to Conjecture. For n≤16 the heuristics found by the model did not uncover any counterexamples, providing weak evidence in favor of the conjecture in this range. (For larger n, time constraints limited the power of this method.)

Вот раньше в канале было видео, показывающее, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер — квадрат. А сейчас коллега мне показал, какая картинка получается, если вдоль этой линии смотреть на тетраэдр, освещённый солнцем сбоку (конечно, тогда проекция получается центральной вместо параллельной, но если глаз/камера телефона достаточно далеко, то щели получаются не очень большими). По-моему, очень симпатично:

Петя и Вася хотят показать следующий фокус. У зрителей есть пять карточек с числами 1, 2, 3, 4, 5. Две из них они отдают Пете, две — Васе, а одну оставляют себе. Сначала Петя называет число на одной из своих карточек, затем Вася называет число на одной из своих, после чего Петя должен назвать число на карточке у зрителей. Как договориться Пете и Васе, чтобы фокус всегда удавался? (Александр Грибалко)

Вот такую задачу с сегодняшнего Матпраздника (непростую!) можно попробовать решить. На оф. сайте можно посмотреть и остальные задачи (и, естественно, указаны авторы задач): mccme.ru/matprazdnik/ Там же публикуются решения, видеоразборы.

dev.mccme.ru/~merzon/pscache/markelov-problems.html еще одна подборка задач Сергея Маркелова

olimpiada.ru/article/1161 к 50-летию со дня рождения Сергея Маркелова (1976–2024) напомним такую небольшую подборку его задач (с комментариями) с Математического праздника, Московской математической олимпиады, Турнира городов…

как оценить p(n), количество разбиений числа n в сумму слагаемых (без учета порядка)? буквально для p(n) явную формулу придумать не получается, но всё сильно упрощается, если наложить дополнительное ограничение «максимальное слагаемое не больше k» легко сообразить, например, что p₁(n)=1, p₂(n)≈n/2, а чуть напрягшись можно получить и p₃(n)≈n²/12+… вообще pₖ(n) — это количество целых точек в (k-1)-мерном симплексе x₁+2x₂+…+kxₖ=n — а значит, при больших n это примерно объем этого симплекса, т.е. типа n^{k-1}/{(k-1)!k!} (можно думать, что один факториал берется из формулы объема многомерного симплекса и еще один из произведения сторон, т.е. коэффициентов в уравнении) левая картинка иллюстрирует, что если n растет, а k фиксировано, то довольно быстро pₖ(n) перестает быть адекватным приближением для p(n) — которое растет, как мы уже видели, быстрее любого полинома (см. тж. https://t.me/compmathweekly/40 и комментарии там) всё же можно прикинуть, что раз сторона квадрата площади n равна √n, запрещать слагаемым быть сильно больше √n не должно особо сильно влиять на ответ — и с этим неплохо согласуется правый график если воспользоваться оценкой типа Стирлинга √n! ~~ (√n/e)^√n, то в прикидках выше вещи типа n^n сокращаются и остается эвристика p(n)~~exp(2с√n) и это совсем недалеко от правильной асимптотики p(n)~exp(2с√n)/{4√3n}, где c²=1+1/2²+1/3²+…=π²/6

mccme.ru/dubna/2026/prepods0.htm начинается прием заявок на проведение занятий на XXV Летней школе «Современная математика» имени Виталия Арнольда в этом году, в связи с ремонтом в Ратмино, ЛШСМ проходит под Петербургом сроки школы обычные: 19–30 июля прием заявок от желающих участвовать в работе школы студентов и школьников начнется в марте, а пока можно посмотреть материалы прошедших школ — mccme.ru/dubna/courses/

https://youtu.be/FsJvpDnx4Vs свежее интервью с Денисом Гайцгори

на мат. кружках для начинающих нередко режут какие-нибудь фигуры на уголки из трех клеток и ясно, что площадь прямоугольника, который можно разрезать, должна делиться на 3… но 3×(2n+1) разрезать нельзя, 3×(2n) разрезать легко — возникает гипотеза, что даже на 6 должно количество клеток делиться и все же прямоугольник 5×9 на уголки разрезать можно давно хотел научиться пользоваться SAT-солверами для задач на разрезание и тому подобных дискретных задач, а это пусть будет модельный пример для базового введения посмотрите лучше вот например https://youtu.be/4K1MyG4ljI8 (спасибо — и не только за это видео! — Саше Куликову), но всё же кратко поясню SAT-солвер умеет только одно: подбирать значения булевых перменных, чтобы выполнялся набор условий, где каждое условие — выбор из вариантов «такая-то переменная равна такой-то константе»¹ в pycosat условия записываются в духе [1 -3 -4] («x1 or (not x3) or (not x4)») в нашей задаче мы заведем по одной переменной для каждого потенциального положения уголка внутри прямоугольника:

placements = []
covers = {}
for shape in TILES:
    for i, j in allcells():
        cells = [(i+dx, j+dy) for dx, dy in shape]
        if all(inside(*cell) for cell in cells):
            pid = len(placements) + 1
            placements.append(cells)
            for cell in cells:
                covers.setdefault(cell, []).append(pid)

все такие положения теперь лежат в массиве placements, а в словаре covers для каждой клетки указано, какие есть потенциальные способы ее покрыть теперь пишем условия: 1) что каждая клетка покрыта; 2) что она не покрыта дважды (т.е. что из каждой пары способов покрытия хоть один не выбран):

clauses = []
for cell in allcells():
    ps = covers.get(cell, [])
    clauses.append(ps)
    for a, b in combinations(ps, 2):
        clauses.append([-a, -b])

и… всё! — можно говорить solve(clauses) и наслаждаться ответом тут задача игрушечная, но все ж поражает, что не нужно думать ни про какую геометрию, а такой… общелогический подход про сведение чего угодно к булевой формуле отлично работает на практике… и даже код совсем недлинный получается (целиком наверное положу в комментарии) ¹ прошу прощения у логиков и сочувствующих за терминологию, но от формулировки «нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов» я теряю нить

5 января (по старому стилю) 1901 года родился выдающийся человек – Иван Георгиевич Петровский. Математик, уникальный ректор Московского Университета, по некоторым воспоминаниям «совершивший не менее десяти тысяч добрых дел». Пользуясь случаем, напомним некоторые материалы о нём. Начать, наверное, стоит со статьи Владимира Михайловича Тихомирова (с добавлениями А.А. Кириллова и Э.Э. Шноля) в сборнике «Математическое просвещение» https://www.mccme.ru/free-books/matpros7.html А вот две видеозаписи воспоминаний Владимира Андреевича Успенского https://youtu.be/csR_APaxZuU https://youtu.be/i3aA7uSo3Xw (В печатном виде некоторые воспоминания В.А. Успенского вошли в статью «Ректоры МГУ» в пятую книгу «Трудов по нематематике» https://mccme.ru/free-books/uspenskii/vau_book5.pdf ) Воспоминания (аудиозапись и текст) ученицы И.Г. Петровского, впоследствии заведовавшей его кафедрой, Ольги Арсеньевны Олейник http://oralhistory.ru/talks/orh-580 (Обратите внимание и на сам сайт «Устная история»!) Видеозапись воспоминаний В.А. Успенского и Ю.С. Ильяшенко https://youtu.be/Zda7IbfHVU0 Документальный фильм 1983 года «Академик И.Г. Петровский» https://youtu.be/opF5HcgC9GI Запись выступления Ивана Георгиевича на закрытии Международного математического конгресса 1966 года в Москве https://youtu.be/PEBFT1bJeew Некоторые статьи об Иване Георгиевиче можно найти на сайте mathedu.ru https://www.mathedu.ru/indexes/authors/petrovskiy_i_g/. В 2001 году МГУ выпустило книгу https://msupress.com/catalogue/books/book/akademik-i-g-petrovskiy-rektor-mgu/