Geometry Daily

https://drive.google.com/drive/folders/1HULtL7ry4kxniCBuKSrS8ao3m5PKZ6TH?usp=sharing Актуальная версия файлика

Это 28 задача. Ее решили мы с легендарным @Acopianker

Короче несколько объявлений по файлику: 1) Задачи 14, 24, 29 оказались неверными 1.1) В задаче 14 единственная точка НЕ X_45 1.2) В задаче 24 доказывайте, что коники C_abc образуют связку 1.3) В задаче 29 пока не удалось исправить условие 2) Мы посмотрели на файлик и поняли, что новая версия 14 задачи и 12 задача - неинтересные и слишком алгебраические. Поэтому в ближайшем будущем мы их планируем заменить. 3) Мы исправили несколько опечаток. Видно, что несколько мест для задач освободилось, поэтому подписчики могут предложить новые.

Доказывайте просто единственность

Задачу номер 14 из файлика только что опроверг Claude fable. Оказывается точка просто очень близка в X_45 (настолько, что мы до сегодняшнего дня не замечали это в геогебре). Однако в формулировке что такая точка единственная задача всё ещё открыта.

Задачу 1 решили наш подписчик Д. Крохалев и я За авторство спасибо @egfed Условие: Дан треугольник. Стороны треугольника Жергонна всегда пересекают антисоот- ветственные стороны антисерединного треугольника в шести точках, лежащих на одной конике. Докажите, что чевианная окружность центра этой коники касается вписанной окружности.

Задачу 6 из файлика решил @Anton_skd За авторство благодарим @kosmonauten3114 Условие: В треугольнике ABC выбирается произвольная точка P на кубике Томсона, PAPBPC — ее педальный треугольник, A′B′C' — окружностно-чевианный треугольник. A1, B1, C1 — образы симметрий точек A′, B′, C′ относительно BC, AC, AB соответственно. А2, B2, C2 — образы симметрий относительно MA, MB, MC соответственно. A3, B3, C3 — образы симметрий относительно PA, PB, PC соответственно. Докажите, что окруж- ности (A1B1C1), (A2B2C2), (A3B3C3) соосны.

(Это задача 5 из нашего файлика, ее тоже решил @Anton_skd, его решение есть в комментариях)

I - центр вписанной окружности треугольника ABC.Докажите что полярная окружность выделенного треугольника касается (ABC). Полярной окружностью треугольника называется единственная окружность, относительно которой поляра любой вершины - это противоположная ей сторона.

Задачу 26 из файлика (наконец-то кто то ее решил!) решил @Anton_skd, за авторство спасибо @Anton_skd.

Прошлая задача зашла не всем, поэтому держите (относительно) добрую задачу от @Anton_skd

Вторую задачу решил я. За авторство спасибо @don_schijuan. Условие: кардиоида вписана в треугольник. Доказать, что чевианы, соединяющие вершины с точками касания, пересекаются в одной точке, если центр кардиоиды - середина стороны треугольника Морли (образованного трисектриссами углов треугольника)

Давайте сегодня закроем две задачи из (закрепленного) файлика. Номер 21 придумал @green_birdd, решили @green_birdd и @Mamonovclhgffkuffhj. Условие: треугольник вращается между двумя кониками по Понселе. Доказать, что описанные окружности принадлежат одной связке. Доказать также, что окружности 9 точек принадлежат одной связке

Вот полный вариант геомбоя кому интересно

И наконец последняя задача с матбоя которую еще не публиковали! По моему самая красивая. Дан треугольник АВС и выбраны 3 точки P Q R так что их педальные треугольники подобны и одинаково ориентированы, докажите что у треугольника АВС и PQR совпадают обе точки Аполлония! Мне бой очень понравился, хоть и команда школьников(в которой был я) проиграла. Большое спасибо Леониду Горбунову, Роману Кравченко и Петру Мамонову за составление варианта.

Четырёхугольник F не описанный. Обозначим через f(F) четырёхугольник, образованный серперами к сторонам F. а) Доказать, что f(f(F)) и F подобны. б) Доказать, что если F описанный, то f(F) и F подобны

Задача от @Mamonovclhgffkuffhj Картинка будет от автора. Есть точка P и восьмиугольник ABCDEFGH, вращающийся по Понселе между двумя кониками. P_a - изогональное сопряжение P относительно ACG, аналогично определим P_b, P_c...P_h (типо треугольнички, с вершинками через одну вершину восьмиугольника). N - пересечение P_aP_e и Р_cP_g, M - пересечение P_bPf и P_dP_h.Докажите, что прямые вида MN проходят через фиксированную точку

@Anton_skd предложил нам такую красоту На сторонах AB, AC треугольника ABC выбираются точки E, D так, что BE = CD. Доказать, что середина отрезка из точек Нагеля BAD, CAE бегает по фиксированной прямой

На плоскости отмечены точки A, B, C. У Пети есть Крохалятор и линейка. У Васи есть комплекснопроективная линейка и отмеченные круговые точки. а) Доказать, что они могут построить одно и то же множество точек. б) Доказать, что этт множество строго содержит точки, однородные координаты которых - однородные многочлены от координат A, B, C