𝑴𝒂𝒕𝒉𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒔 𝒄𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆𝒏𝒈𝒔!

یک مسئله براتون آوردم از سال 1400! مسئله هندسه دایره. 📱https://t.me/mathchalenging

ریشه های یک چند جمله ای بسیاری از افراد به اشتباه فکر میکنن وقتی یک چند جمله ای مثل P(x) دارای ریشه مضاعف مثل α باشه؛ بدین معناست که باید اون ریشه رو یکی حساب کرد. مثلا در برخورد با معادله x² -2x +1 = 0 برخی به اشتباه میگن که معادله بالا، یک ریشه داره؛ در صورتی که باید بگن " یک ریشه مضاعف" داره‌. کلمه مضاعف برای یک ریشه، ویژگی خاصی به حساب میاد و اگر حذفش کنیم، اشتباه بزرگی رو مرتکب شدیم. در واقع وقتی یک چندجمله از یک ریشه بیش از یک عامل داشته باشه، در اون نقطه دارای یک نقطه بحرانیه؛ حالا میتونه اون نقطه اکسترمم نسبی باشه، میتونه نقطه عطف باشه. گاوس ( که لقب شاهزاده ریاضیدانان رو داره.) در رساله دکتراش ثابت کرد که یک چند جمله ای از درجه n؛ دارای دقیقا n ریشه (مختلط، چون اعداد حقیقی هم نوعی عدد مختلط هستن.) هست. این n ریشه حقیقی با احتساب همون نکته اوله که گفتم. یعنی مثلا باید یک ریشه مضاعف رو بیش از یک بار شمرد (چون بیش از یک بار چند جمله ای شما در تجزیش از اون عامل داره و مهم برای ما تعداد عوامله نه خود عوامل.) با استفاده از قضیه گاوس یک نتیجه گیری صورت میگیره که از لحاظ زوجیت، درجه یک چند جمله ای و تعداد ریشه های حقیقی اون، یکسان هستن. علت این امر خیلی ساده هست، شما به راحتی میتونید ثابت کنید که اگر چندجمله ای شما دارای ریشه مختلط a + bi باشه، حتما دارای ریشه a - bi هم هست؛ به عبارتی یک زوجیت بین ریشه های غیر حقیقی مشاهده میشه که باعث میشه تعداد این ریشه های غیر حقیقی زوج باشه، بنابراین میشه نتجه گرفت که ریشه ختی حقیقی و درجه یک چندجمله ای از لحاظ زوجیت یکسان هستن. 📱https://t.me/mathchalenging

واقعا جالب بود برام. ما انسان ها با این همه ادعامون در خصوص پیشرفت در ریاضیات و سایر علوم هنوز به طور کامل نتونستیم خیلی از ویژگی های طبیعت رو براش علتی پیدا کنیم. یکی از اون ها چرایی ساخته شدن کندو زنبور به شکل ۶ ضلعی بوده که پس از سالها به تازگی اثبات شده که این شکل کارآمد ترین شکل برای ساخت یک کندو هست. 📱https://t.me/mathchalenging

عرض تسلیت به ملت ایران🏴 متأسفانه با خبر شدیم امروز در بندرعباس انفجار مهیبی رخ داده و برخی از هموطنان عزیزمون رو در این حادثه ار دست دادیم. کارزاری برای انتقال خون به مجروحان تشکلیل شده.

سوال تالیفی جدید! آیا جایگشتی وجود داره که بتونیم به کمک اون جایگشت 2<n تا از توان های غیر تکراری از 2 رو دور یک دایره چید به طوری که مجموع هر دو عدد مجاور مربع کامل بشه؟ (الزاما نباید توان های متوالی دو باشن مثلا یکی میاد 16,64,256 رو می چینه.) آره یا نه بدون اثبات یا دادن یک مثال قبول نیست! 📱https://t.me/mathchalenging

با توجه به نزدیکی کنکور اردیبهشت ماه، مطالب آموزشی که سابقا در اینجا بارگزاری شده رو براتون فهرست کردیم برای مرور سریع مطالب. 1. سوالی تحلیلی در خصوص اکسترمم های توابع براکتی https://t.me/mathchalenging/39 2. تمام روابط لگاریتم https://t.me/mathchalenging/88 3. حل کلی نامعادلات نمایی و لگاریتمی https://t.me/mathchalenging/156 4. تمام اتحاد های مورد نیاز https://t.me/mathchalenging/214?single 5. یک فرمول کاربردی در خصوص محاسبه واریانس و انحراف از معیار https://t.me/mathchalenging/230 6. قضایا و فرمول های مشتق به همراه اثبات برخی https://t.me/mathchalenging/239?single https://t.me/mathchalenging/246?single 7. تمام روابط دنباله های حسابی و هندسی https://t.me/mathchalenging/232 8. حل یک سوال خوب از همنهشتی و ایده شکستن پیمانه https://t.me/mathchalenging/286 9. روش حل معادلات براکتی به شکل [f(x)] = g(x) https://t.me/mathchalenging/344 10. حل یک تیپ مسئله جدید نظریه اعداد https://t.me/mathchalenging/385 11. یک اشتباه رایج در استفاده از هم ارزی های حد https://t.me/mathchalenging/432 12. روش ساده برای پیدا کردن برد و دامنه توابع در حالتی که شیفت یا انبساط و انقباض دارن https://t.me/mathchalenging/499 13. یک ایده کلیدی برای حل معادلات درجه 4 در یک حالت خاص https://t.me/mathchalenging/612 14. روش مشتق گیری لگاریتمی، جزو سرفصل های درسی نیست ولی اگر بلد باشید خیلی کمک کنندس https://t.me/mathchalenging/630?single 15. حل و توضیح یک سوال مهم https://t.me/mathchalenging/936 16. چند نکته مهم از اکسترمم ها و ریشه های توابع https://t.me/mathchalenging/1101 17. این پست رو ببینید حتما. https://t.me/mathchalenging/1123 18. مفاهیم تابع. https://t.me/mathchalenging/1143 19. جزوات دست ساز! https://t.me/mathchalenging/693 https://t.me/mathchalenging/741 https://t.me/mathchalenging/742 https://t.me/mathchalenging/744 https://t.me/mathchalenging/850 📱https://t.me/mathchalenging

پست ویژه 👇

حل: این مسئله راه های مختلفی داره ولی برای بیان یک نکته خاص از این روش برای حل استفاده کردم. نکته: همه اعداد اول بزرگتر از 3 رو میشه در کلاس های همنهشتی به پیمانه 6، 6k+1 و 6k+5 قرار داد. از همین نکته برای حل سوال استفاده می‌کنیم: اگر p,q اعداد اولی با فاصله 2 واحد باشن (براساس خاصیت اعداد اول دوقلو) ؛ بدون از دست رفتن کلیات مسئله میشه فرض کرد q - p = 2 و مقدار pq -2 برابر هست با: p(p+2) -2 حالا اگر کلاس همنهشتی 1 به پیمانه 6 گذاشته بشه، p+2 بر 3 بخش پذیر میشه و دیگه p+2 عددی اول نیست. و اگر کلاس همنهشتی 6k+5 گذاشته بشه؛ خود مقدار p(p+2) - 2 بر 3 بخش پذیر خواهد شد که نشون از اون داره که این عدد دیگه اول نیست. اما این نکات به ما میگه که نه p و نه q و نه pq-2 اعداد اول بزرگتر از 3 نیستن؛ باید 3 و 2 رو جدا گانه بررسی کرد (که حتی مورد 2 رو در کسری از ثانیه به دلیل زوج شدن عبارت اصلی میشه رد کرد.) که به ازای p = 3 ----> q = 5 حاصل عبارت برابر با 13 خواهد شد که 13 هم عددی اوله. 📱https://t.me/mathchalenging

اینم از عکس رسمی کمیته برای تیم ملی المپیاد ریاضی امسال که دقایقی پیش منتشر شده. با آرزوی موفقیت برای تیم ایران 📱https://t.me/mathchalenging

ارسالی از @AAA_OMIDAN 📱https://t.me/mathchalenging

مفاهیم اصلی تابع پیشنهاد میکنم این post رو یکجا save کنید چون که سعی کردم تمام مفاهیم و نکات اصلی تابع رو براتون بیارم؛ دیدم خیلی ها توش مشکل دارن.

مفهوم تابع: یک تناظر بین دو مجموعس با شرط اینکه تمام اعضای مجموعه اولی به یک و فقط یک عضو از مجموعه دومی متناظر شده باشن.

تذکر ۱: دقت کنید که الزاما" نباید همه اعضای مجموعه دومی بهشون چیزی متناظر شده باشه ولی باید همه اعضای مجموعه اول به یکی از اعضای مجموعه دوم متناظر شده باشن. تذکر۲: این تناظر الزاما" دارای یک ضابطه یا رابطه مشخص نیست. مثال: از مجموعه A = {a,b,c} به مجموعه B = {1,2,3,4} تابع زیر رو تعریف میکنیم: f={(a,1),(b,2),(c,1)} - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

مفهوم دامنه: به مجموعه اولی که اعضاش قراره طرف اول این تناظر باشن میگیم دامنه‌. مفهوم همدامنه: به مجموعه خروجی های احتمالی (تذکر ۱ رو ببینید) یک تابع، هم دامنه گفته میشه. مفهوم برد یا تصویر تابع: به زیر مجموعه ای از همدامنه گفته میشه که عضوی از دامنه بهشون متناظر شده‌.

تذکر ۱: همدامنه تابع رو؛ هر مجموعه ای شامل اعضای برد میشه تعریف کرد. تذکر۲: در برخی از منابع قدیمی، چیزی تحت عنوان همدامنه نیومده و فقط برد آورده شده، ولی چون مفهومی مثل پوشایی (که در ادامه میاد) رو برای تابع داریم؛ باید این مفهوم رو تعریف کنیم. مثال: در مثال اول A، دامنه و B همدامنه هست. و مجموعه {1,2} برد. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

یک به یک بودن: تابعی یک به یک است اگر به اعضای برد از دامنه فقط یک عضو متناظر شده باشه.

مثال: در مثال اول، تابع f یک به یک نیست؛ زیرا تحت این تناظر به عضو ۱، دو عضو a,c متناظر شده. ولی تابع g = {(a,1),(b,2),(c,3)} یک به یک هست. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

وارون یک تابع: وارون تابع، رابطه ای است که این بار هر عضو از مجموعه برد رو به مجموعه دامنه متناظر میکنه. طبق تعریفی که از تابع داشتیم، شرط واورن پذیری برای یک تابع فقط و فقط یک به یکی است. وارون تابعی مثل f رو به صورت قراردادی به شکل f^(-1) نشون می دیم.

تذکر ۱: دقت کنید که وارون تابع از همدامنه به دامنه الزاما" نیست و از برد به دامنس. مثال: وارون تابع f={(1,2),(3,4)} به شکل f^(-1) = {(2,1),(4,3)} هست. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

تابع پوشا: به تابعی گفته میشه که درش برد و همدامنه با هم یکی باشن؛ به عبارت دیگه به هر عضو از همدامنه، حداقل یک عضو از برد متناظر شده باشه.

تذکر۱: ممکنه بگید از یک منظر یک تابع پوشاست و از یک منظر نیست! مثلا اگر همدامنه برابر با برد گرفته بشه تابع ما پوشاست و اگر نسبت به مجموعه ای بزرگتر (که برد زیرمجموعش هست) پوشا نباشه؛ که درست هم هست ولی ما پوشایی رو معمولا نسبت به مجموعه هایی میگریم که در مسئله برامون اهمیت دارن. مثلا مجموعه R یک مجموعه مرجع برای تمامی برد توابع حقیقی به حساب میاد و وقتی از پوشایی برای تابع هایی با ضابطه جبری حرف میزنیم؛ معمولا پوشایی رو نسبت به این مجموعه می سنجیم. مثلا تابع f(x) = x² پوشا نیست (یعنی نمیتونه هر عضوی از R رو تولید کنه.) ولی تابع f(x) = x پوشاست. تذکر۲: دقت داشته باشید، پوشا بودن و یک به یک بودن دو مفهوم از هم جدا هستن. مثال: برای دو مجموعه A = {1,2,3} , B = {3,4,5,6} تابعی مثل f = {(1,3),(2,5),(3,6)} یک به یک هست ولی پوشا نیست و عملا هیچ تابع پوشایی نمیشه تعریف کرد؛ چون اعضای همدامنه بیشتر از اعضای برد هستن. 📱https://t.me/mathchalenging

اینم مسئله امروز: تمام زوج اعداد دوقلوی p,q رو بیابید که pq - 2 هم اول باشه. 📱https://t.me/mathchalenging

🔴بعد از برگزاری آزمون های انتخاب تیم، اعضای تیم ملی المپیاد ریاضی ایران انتخاب شدند: مهدی آقاجانلو - زنجان محمدرضا عطاران زاده - مشهد سجاد معماری آبکوه - مشهد امیرحسین زارعی - تهران،همدان بردیا خوش اقبال - تهران پارسیا تجلایی - تهران 🥇با آرزوی موفقیت برای تیم ملی ایران در تمامی المپیاد های علمی و به خصوص ریاضی 📱https://t.me/mathchalenging

از دیروز داستانی شده این! کدوم درسته؟ 📱https://t.me/mathchalenging

به نظر شما چرا در ریاضیات اعداد مختلط رو معرفی کردن؟ 📱https://t.me/mathchalenging