Математическая эссенция

Пицца и скрытая модель случайности Попалась красивая задача про пиццу. Шеф-повар хочет приготовить пиццу с 3 разными начинками. Каждая начинка случайным образом посыпается ровно на половину пиццы. Какова вероятность того, что на пицце найдётся область, на которой присутствуют сразу все 3 начинки? В классической интерпретации ответ равен ¾. Считается, что каждая начинка покрывает случайный полукруг: то есть половину пиццы, отрезанную случайным диаметром. Такой полукруг можно задать точкой на окружности — серединой дуги этого полукруга. Тогда у трёх начинок есть три случайные точки A, B, C на окружности. Общая область для всех трёх начинок существует тогда и только тогда, когда эти три точки лежат в одной полуокружности. А вероятность того, что три случайные точки на окружности лежат в некоторой полуокружности, равна ¾. Действительно, зафиксируем одну из точек. Вероятность того, что две остальные попадут в полуокружность длиной 180°, начинающуюся в этой точке, равна ½ · ½ = ¼. Такой «начальной» точкой может быть любая из трёх, поэтому получаем 3 · ¼ = ¾.   Это красивое решение. Но важно понимать: это ответ не просто на слова «случайно на половину пиццы», а на конкретную модель случайности. В условии явно не сказано, что начинка покрывает именно случайный полукруг. А значит, можно предложить и другие интерпретации, которые тоже не противоречат фразе «ровно на половину пиццы».   Модель 1. Пицца заранее разрезана одним диаметром на левую и правую половины. Каждая начинка случайно попадает либо на левую, либо на правую половину. Тогда все три начинки встретятся на одной области только в двух случаях: все три слева; все три справа. Всего вариантов 2³ = 8, удачных 2. Ответ: ¼.   Модель 2. Пицца заранее разрезана на 8 равных кусков. Каждая начинка случайно выбирает ровно 4 из 8 кусков. Это тоже честная половина пиццы. Найдём вероятность, что есть хотя бы один кусок со всеми тремя начинками. Зафиксируем выбор первой начинки: она покрыла 4 куска. Пусть вторая начинка совпала с первой ровно на s кусках. Тогда s может быть равно 0, 1, 2, 3 или 4. Число способов выбрать вторую начинку с таким s равно C(4,s)·C(4,4-s). Чтобы общего куска у всех трёх начинок не было, третья начинка должна избегать этих s общих кусков. Значит, её можно выбрать C(8-s,4) способами. Всего вариантов для второй и третьей начинок: C(8,4)² = 4900. Неудачных вариантов: C(4,0)²·C(8,4) + C(4,1)²·C(7,4) + C(4,2)²·C(6,4) + C(4,3)²·C(5,4) + C(4,4)²·C(4,4) = 1251. Значит, удачных вариантов: 4900 - 1251 = 3649. Ответ: 3649/4900 ≈ 0,745.   Модель 3. Пицца разрезана на 8 равных кусков. Каждая начинка покрывает не любые 4 куска, а 4 соседних — каждая начинка выбирает один из 8 блоков по 4 соседних куска. Зафиксируем первый блок. Для второй и третьей начинок всего 8·8=64 варианта. Теперь считаем неудачные случаи, когда общего куска у всех трёх начинок нет. В зависимости от положения второго блока число положений третьего блока, при которых общий кусок не появится, равно 1, 2, 3, 4, 8, 4, 3, 2. Сумма: 1+2+3+4+8+4+3+2 = 27. Значит, удачных вариантов: 64-27 = 37. Ответ: 37/64.   Модель 4. Пицца разрезана на n равных кусков, где n чётно. Каждая начинка выбирает ровно n/2 кусков. Если она выбирает любые n/2 кусков, то при большом n вероятность становится близкой к 1. Интуиция простая: каждый маленький кусочек имеет шанс примерно ½ ·½ ·½ =⅛ оказаться покрытым всеми тремя начинками. А если кусочков много, то почти наверняка хотя бы один окажется «тройным».   Модель 5. Та же пицца из n равных кусков, но каждая начинка выбирает n/2 соседних кусков. Тогда при большом n мы, наоборот, приближаемся к модели случайного полукруга. Поэтому вероятность стремится к ¾.   Все эти модели формально совместимы со словами: «каждая начинка случайно покрывает ровно половину пиццы». Во всех этих подсчётах ещё молча предполагается, что начинки выбирают свои половины независимо друг от друга. Это тоже лучше проговаривать прямо: не просто «каждая начинка случайно покрывает половину пиццы», а «каждая начинка независимо выбирает половину по такому-то правилу». Так что вероятность живёт не в слове «случайно», а в точно выбранной модели случайности.

Решение на границе В прошлых заметках несколько раз появлялся один и тот же мотив: задача выглядит сложной, пока не заметишь, что какая-то ломаная должна стать прямой, а треугольник — выродиться. Есть похожая ловушка в задачах на максимум и минимум. Мы часто ищем «самое лучшее» положение где-то внутри: посередине, в вершине параболы, в точке равновесия. Но иногда правильный ответ сидит на краю. И его легко пропустить просто потому, что край кажется менее естественным.   Вот задача, в которой почти все сначала ошибаются. В селе A живёт 300 школьников, в селе B — 200. Расстояние между сёлами 5 км. Где построить школу, чтобы суммарный путь всех детей был минимальным? Первый ответ, который хочется дать: где-то между сёлами. Например, так, чтобы «уравновесить» расстояния: 2 км от A и 3 км от B. Но это не минимум. Это просто точка, в которой дети из двух сёл в сумме прошли бы одинаковые расстояния. Если x — расстояние от села A до школы, то общий путь равен 300x + 200(5 − x). То есть 100x + 1000. Чем меньше x, тем лучше. Значит, школу нужно строить прямо в селе A. Ответ выглядит немного несправедливо, но с точки зрения условия всё честно: в A детей больше, поэтому каждый шаг от A к B увеличивает общий путь.   Другой пример. Из прямоугольной трапеции с основаниями 3 и 5 и высотой 4 вырезают прямоугольник наибольшей площади. Если обозначить одну его сторону через x, получается S(x) = 2x(5 − x). Вершина параболы при x = 2,5, площадь 12,5. Очень хочется на этом остановиться. Но нельзя. Горизонтальная сторона такого прямоугольника не может быть меньше короткого основания трапеции: значит, x ≥ 3. С другой стороны, она меньше длинного основания: x < 5. Поэтому x меняется не на всём удобном промежутке, а только при 3 ≤ x < 5. Вершина параболы оказалась вне допустимой области. Поэтому максимум достигается на границе: при x = 3. Площадь равна 12. Формально ошибка маленькая: забыли указать границы изменения x. По сути — нашли максимум не той задачи.   Ещё неприятнее это выглядит в задаче с параметром. Пусть действительные x, y и a таковы, что x + y = a + 1, xy = a² − 7a + 16. При каком a сумма x² + y² принимает наибольшее значение? Сначала всё идёт гладко: x² + y² = (x + y)² − 2xy, поэтому x² + y² = −(a − 8)² + 33. Вершина параболы при a = 8. Казалось бы, ответ найден. Но здесь есть спрятанное условие: x и y должны быть вещественными. Значит, они должны быть корнями квадратного уравнения с неотрицательным дискриминантом. Это условие даёт 3 ≤ a ≤ 7. А на этом промежутке выражение −(a − 8)² + 33 возрастает. Поэтому наибольшее значение получается не при a = 8, а на границе допустимых значений: при a = 7.   Эти задачи похожи не вычислениями, а типом ошибки. В истории про вырожденные треугольники нужно было следить, не сломалась ли фигура в пределе. Здесь — не вышли ли мы за пределы задачи, пока красиво считали.

Непрямые прямые В прошлой заметке уравнение с радикалами распрямилось: под ним пряталось равенство AB + BC = AC. Три точки должны были лечь на одну прямую. Есть похожий приём, только в задачах на кратчайший путь. Самая известная версия такая. Даны точки A и B по одну сторону от прямой l. Нужно выбрать на l точку X так, чтобы сумма AX + XB была минимальной. Фокус старый: отражаем B относительно прямой l и получаем точку B'. Тогда XB = XB', поэтому AX + XB = AX + XB'. А кратчайшая ломаная A – X – B' получается тогда, когда она становится прямой. Значит, X — точка пересечения прямой AB' с прямой l. Это обычно рассказывают как закон отражения света. Но можно смотреть иначе: мы не ищем ломаную. Мы делаем замену, после которой ломаная обязана выродиться в отрезок. С этой задачей, наверное, все знакомы. Интереснее, когда тот же приём спрятан глубже.   Например: на прямой y = x − 4 нужно найти точку, сумма расстояний от которой до параболы y = 0,5x² + 3x + 6,5 и до окружности (x − 3)² + (y − 5)² = 4 минимальна. На вид задача уже совсем другая. Тут не две точки и зеркало, а прямая, парабола и окружность. Но окружность можно заменить её центром C(3; 5). Точнее, расстояние до окружности отличается от расстояния до центра на величину радиуса 2. Для поиска минимума эта постоянная ничего не меняет. Теперь отражаем центр C относительно прямой y = x − 4. Получается точка C'(9; −1). Задача снова распрямилась: нужно найти на параболе точку A, ближайшую к C'. Если точка A на параболе уже выбрана, то лучший путь A – X – C после отражения становится отрезком AC'. Значит, остаётся найти на параболе точку A, ближайшую к C'. Это уже обычная задача на минимум: можно минимизировать квадрат расстояния от точки (t; 0,5t² + 3t + 6,5) до C'. Получается t = −1, то есть A(−1; 4). Прямая через A и C' пересекает y = x − 4 в точке (5; 1). Ответ: (5; 1).   Что здесь приятно: исходная задача вообще не похожа на задачу про отражение. В ней нет луча света, нет зеркала в привычном виде, нет двух данных точек. Но внутри тот же механизм. После отражения кратчайшая ломаная снова распрямляется.

Треугольник, который должен выродиться   В прошлой заметке вырожденный треугольник был плохим концом истории. Мы искали треугольник наименьшего периметра, а в пределе получили отрезок. Поэтому минимума не было. Но бывает и наоборот: вырожденный треугольник не мешает, а решает задачу. Например, уравнение на картинке выглядит как обычная неприятная алгебра с радикалами. Но радикалы можно прочитать как расстояния. Возьмём точки A(1; 3), B(x; 3/x), C(3; 1). Тогда первое слагаемое — это расстояние AB, второе — расстояние BC, а правая часть равна AC. То есть уравнение говорит просто: AB + BC = AC. А это уже не алгебра. Это равенство в неравенстве треугольника. Для любых трёх точек AB + BC ≥ AC. Равенство возможно только в одном случае: точки A, B, C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Иными словами, треугольник ABC должен выродиться в отрезок. Осталось посмотреть, где точка B(x; 3/x), лежащая на гиперболе y = 3/x, может попасть на отрезок AC. В данном случае это происходит только в концах отрезка: B = A или B = C. Отсюда x = 1 или x = 3. В прошлой задаче вырожденный треугольник означал, что настоящий минимум не достигнут. А здесь всё наоборот: уравнение специально заставляет треугольник выродиться. И как только это замечено, страшные радикалы превращаются в одну прямую.

Треугольник, которого нет В задаче из опроса правильный ответ немного неприятный: наименьшего значения периметра нет. Точки выбрать можно, треугольники получаются. Можно делать их всё более «короткими» — а лучший так и не появится. Это старый сюжет. В остроугольном треугольнике задача Фаньяно решается красиво: вписанный треугольник наименьшего периметра образуют основания трёх высот. Это ортотреугольник. Но наш треугольник тупоугольный, и здесь такая картинка уже не работает. «Лучший» треугольник уезжает в вырожденное положение: две вершины сливаются, вместо треугольника остаётся высота. Получить нужное число мало: нужно ещё проверить, что оно где-то достигается. Совсем простой пример. Пусть AB = 1, а точка C выбирается так, что AC + BC = 2. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ABC? Первый ответ — 0. Но нет. Точку C можно брать всё ближе к прямой AB, площадь будет стремиться к нулю. А если C окажется на прямой AB в предельном положении, треугольник исчезнет. Среди настоящих треугольников минимума нет. Есть только нижняя граница — 0. Похоже на придирку, но это не придирка. Есть, например, задача Какеи об игле. Дан отрезок длины 1. Какую площадь должна иметь область, чтобы внутри неё можно было развернуть этот отрезок? Если вращать отрезок вокруг середины, он заметает полукруг. Кажется, совсем без площади не обойтись. Но Бесикович показал: единичную иглу можно развернуть в области сколь угодно малой площади. А если требовать не непрерывного движения, а только наличия единичного отрезка в каждом направлении, получается ещё страннее: существуют множества площади ноль, содержащие отрезок длины 1 в каждом направлении. Горизонтальный отрезок есть. Вертикальный есть. Под любым углом есть. А площади нет. Отрезок имеет длину, но не имеет площади. И бесконечно много отрезков можно расположить так хитро, что направления будут все, а плоской площади всё равно не будет. Вспомним ещё задачу Тёплица о вписанном квадрате. Дана простая замкнутая кривая на плоскости. Обязательно ли на ней можно выбрать четыре точки — вершины квадрата? Для гладких кривых ответ положительный. Одна из идей такая: смотреть не на одну кривую, а на весь фильм. Начинаем с почти круглой кривой, где квадрат есть и ситуация не вырождена, а потом плавно превращаем её в нужную кривую. Вписанные квадраты в этом фильме тоже движутся. В обычной ситуации они не появляются и не исчезают по одному: два квадрата могут родиться вместе или два могут вместе исчезнуть. Поэтому число квадратов меняется на 2, но не на 1. Если в начале был некоторый нечётный запас, полностью обнулиться он не может. Это похоже на рассуждение про вершины нечётной степени в графе. Одно ребро меняет степени сразу у двух вершин, поэтому нечётные вершины не возникают по одной. Так и здесь: если квадраты уничтожаются парами, нельзя избавиться от последнего. Но для произвольной кривой ломается наивный довод: «приблизим её гладкими». На каждой гладкой версии квадрат есть, но это могут быть всё более мелкие квадраты, каждый раз найденные на новой мелкой детали кривой. Теорема не обещает, что их размер не стремится к нулю. Поэтому в пределе четыре вершины могут сбежать в одну точку. На каждом шаге был квадрат, а в конце осталась точка. Поэтому задача Тёплица тоньше, чем кажется. Она не только про то, как найти четыре вершины квадрата. Она ещё и про то, как не дать этим четырём точкам схлопнуться в одну. В 2024 г. Асано и Ике объявили более общий результат: для большого класса кривых, включающего все спрямляемые кривые, существуют вписанные прямоугольники заданной формы. Квадрат входит сюда как частный случай. Такие кривые могут быть очень неровными, но у них всё ещё есть общий контроль длины. А для произвольной жордановой кривой задача о квадрате остаётся открытой. В маленькой задаче про треугольник и в большой задаче про квадрат проблема похожая. Хорошее число или хорошая фигура могут появиться только в пределе. А в пределе условия иногда уже сломались: треугольник стал отрезком, квадрат — точкой.

Почему близнецы не симметричны   В фильме «Время» Алексей Семихатов рассказывает знаменитый парадокс близнецов. Один брат остаётся на Земле, другой улетает на ракете почти со скоростью света, затем возвращается — и оказывается моложе. Для путешественника прошло, скажем, 10 лет, а на Земле — 50. На первый взгляд это странно. В специальной теории относительности все инерциальные наблюдатели равноправны: каждый может сказать, что часы другого идут медленнее. Тогда почему после встречи один брат действительно моложе? Почему их нельзя просто поменять местами? В фильме этот момент остаётся за кадром: говорится о результате, но геометрическая причина асимметрии не раскрыта. В пространстве-времени Минковского собственное время, прожитое объектом, — это длина его мировой линии. Только длина считается не по евклидовой формуле, а с другой метрикой: ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz². Из-за минусов привычная геометрическая интуиция переворачивается. В евклидовой геометрии прямая между двумя точками — кратчайший путь. А в пространстве-времени Минковского прямая инерциальная мировая линия между двумя событиями даёт наибольшее собственное время. Есть два события: старт и встреча после возвращения. В идеальной версии задачи земной брат движется инерциально, и его мировая линия между стартом и финишем — прямая. Путешественник сначала улетает от Земли, потом тормозит, разворачивается и летит обратно. Его мировая линия не прямая: это два почти прямых участка, соединённых разворотом. Поэтому её собственная длина, то есть прожитое путешественником время, оказывается меньше. В простейшей модели, где ракета летит с постоянной скоростью v сначала туда, потом обратно, собственное время путешественника считается так: τ = ∫ √(1 − v²/c²) dt. Множитель √(1 − v²/c²) меньше 1, поэтому вдоль движущегося участка проходит меньше собственного времени, чем по земным часам. А если сравнивать две мировые линии с одними и теми же началом и концом, то инерциальная линия даёт максимум собственного времени. Но разве на каждом участке путешественник не может сказать, что это земные часы идут медленнее? Может. На участке равномерного удаления — может. На участке равномерного возвращения — тоже может. Но между этими участками он меняет инерциальную систему отсчёта. А вместе с ней меняется и то, какие события на Земле он считает одновременными с собой. В идеализированной модели мгновенного разворота это выглядит как скачок одновременности: земная дата, которую он относит к «сейчас», резко перескакивает вперёд. Если разворот плавный, буквального скачка нет; есть непрерывное изменение срезов одновременности. В пределе мгновенного разворота это изменение превращается в скачок. То же самое видно при движении по окружности: никакого резкого разворота нет, но путешественник всё время меняет мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта, и его мировая линия всё равно не является прямой. Поэтому асимметрия сохраняется и без скачка. Так что парадокс близнецов — не противоречие внутри специальной теории относительности. Это столкновение обычной интуиции с геометрией пространства-времени. Ускорение не «магически замедляет время»: основная разница набегает при долгом движении с большой скоростью, где множитель √(1 − v²/c²) мал. Ускорение лишь позволяет набрать скорость, сменить направление и снова встретиться с братом. Главное различие в другом: братья прошли между одними и теми же событиями по разным мировым линиям и накопили разное собственное время. Собственное время — это не общее для всех «течение времени», а длина конкретного пути в пространстве-времени. Близнецы родились одновременно, но после полёта прожили разное число собственных секунд. Поэтому их возраст — в физическом смысле — уже различен. В геометрии Минковского инерциальная мировая линия — путь максимального собственного времени: между заданными стартом и финишем больше всех стареет тот, кто идёт по прямой. Разворот, плавное ускорение или движение по окружности делают путь непрямым и уменьшают собственное время. Так мнимый парадокс исчезает: сравниваются не два времени «вообще», а две разные мировые линии.

Почему из скорости «туда-обратно» не получается скорость «в одну сторону» В фильме «Время» Алексей Семихатов хорошо объясняет одну из самых непривычных идей современной физики: скорость света не ведёт себя как скорость обычного тела. Если мы движемся навстречу лучу, свет не становится для нас быстрее; если убегаем от него, он не становится медленнее. Но в одном месте популярная формулировка прячет важную логическую подмену. Рассуждение строится так: Земля движется по орбите, поэтому в разные сезоны она может лететь почти навстречу свету от выбранной звезды, а через полгода — почти в противоположную сторону. И измеренная скорость света всё равно оказывается той же самой. Вывод: скорость света одинакова и при движении навстречу лучу, и при движении вслед за ним. Вот здесь проблема. Это не просто педагогическое упрощение. Упрощение допустимо, если оно сохраняет логическую структуру опыта. Но тут измеренная величина подменяется другой. Майкельсон и Морли не измеряли отдельно скорость света «туда» и отдельно скорость света «обратно». Их установка сравнивала прохождение света по замкнутым путям в разных направлениях. Опыт был чувствителен только к суммарному времени хода света туда-обратно, а не к каждому из двух односторонних участков по отдельности. Голый факт, который выдал интерферометр: сумма времён T_AB + T_BA не зависит от ориентации установки и от движения Земли. Всё. Эксперимент не дал нам ни T_AB, ни T_BA самих по себе. Это та же ошибка, что и в рассуждении: «среднее арифметическое двух чисел равно 5, значит, оба числа равны 5». Поэтому фраза «скорость света при движении навстречу лучу и вслед за лучом оказалась одинаковой» звучит гораздо сильнее, чем позволяет сам опыт. Опыт Майкельсона–Морли показал изотропность скорости света на замкнутом пути. Но равенство односторонних скоростей — не прямой результат этого опыта. Чтобы измерить скорость света в одну сторону, скажем от A к B, нужны двое часов: одни в A, другие в B. Свет вылетел из A по часам A, прилетел в B по часам B; делим расстояние на разность времён — получаем скорость. Но как заранее синхронизировать эти двое часов? Обычный ответ: послать световой сигнал и договориться, что на путь туда он потратил половину общего времени туда-обратно. Но это и есть предположение, которое мы якобы «проверяем». Мы не измерили равенство времён туда и обратно — мы использовали его как правило синхронизации. Теория относительности не рухнет, если мы выберем другую синхронизацию. Можно условиться, что свет в одну сторону идёт быстрее, а в обратную — медленнее, так, чтобы суммарное время туда-обратно осталось неизменным. Наблюдаемые предсказания от этого не изменятся. Просто пространственно-временные диаграммы перекосятся, формулы станут менее изящными, а координатная скорость света в одном направлении перестанет быть равной c. Эйнштейн выбрал симметричный вариант — это удобная конвенция, а не экспериментальная необходимость. Так что когда говорят «скорость света навстречу и вслед одинакова», это не оглашение результата опыта — это оглашение нашего собственного соглашения о часах. «Погоня за лучом» — прекрасная метафора. Но если сказать, что опыт прямо сравнил скорость света навстречу наблюдателю и вслед за ним, внутри метафоры появляется подмена: конвенцию выдают за экспериментальный факт.

И кто тут невежественный? Пролистывая новостную ленту, наткнулся на очередную громкую историю. The Moscow Times написали, что 49% россиян считают, будто антибиотики действуют на вирусы, и что раньше таких было 28% в 2011 году, 34% в 2014-м и 41% в 2020–2021 годах. На этом месте мне стало интересно уже не столько содержание новости, сколько арифметика. Если понимать эти цифры буквально, выходит довольно странная картина. За 10 лет доля людей, правильно понимающих действие антибиотиков, должна была бы упасть с 72% до 51%. То есть минус 21 процентный пункт взрослого населения. Куда делись эти люди? Умерли, эмигрировали, вышли из возрастной группы 18–65? И кем их заменили? Чтобы такое произошло без массового перехода из состояния «понимает» в состояние «не понимает», пришлось бы предположить очень жёсткое замещение: значительная часть разумно отвечавших исчезла из выборки, а на их место пришли новые респонденты с заметно худшими представлениями о совсем базовых вещах. Что-то тут не бьётся. Пришлось открыть источник, на который ссылаются сами журналисты, — сборник ВШЭ «Индикаторы науки». И там сразу видно главное: это график не о доле заблуждающихся, а о доле правильных ответов. После этого вся конструкция рассыпается. В строке про антибиотики написано: «Антибиотики убивают не только бактерии, но и вирусы (неверно)». А числа 28%, 34%, 41% и 49% — это доля людей, которые ответили правильно, то есть поняли, что утверждение ложно. Иначе говоря, график показывает не рост невежества, а, наоборот, рост правильных ответов: 28% — 34% — 41% — 49%. Ровно то же самое и со строкой про гены. В графике ВШЭ утверждение сформулировано так: «Обычные овощи — картофель, помидоры и т. п. — не содержат генов, а генетически модифицированные овощи — содержат (неверно)». И числа 29%, 34%, 38%, 40% снова означают долю правильных ответов. То есть и здесь журналисты прочитали график наоборот. Со строкой про Солнце ошибка уже немного другая, но тоже довольно грубая. В графике ВШЭ 90% в 2023–2024 годах дали правильный ответ на утверждение «Земля вращается вокруг Солнца», а в 2011 и 2014 годах — по 87%. Значит, в новых данных 10% не дали правильного ответа, а в старых — 13%. Но «не дали правильного ответа» — это не то же самое, что «считают, будто Солнце вращается вокруг Земли». В эту группу входят не только ошибившиеся, но и те, кто просто затруднился ответить на так сформулированный вопрос. Так что и тут из графика нельзя извлечь тот вывод, который вынесен в новости. Более того, если сравнивать именно то, что реально изображено на графике, то получается не рост, а небольшое улучшение: доля правильных ответов выросла с 87% до 90%. Итак, если заглянуть в исходный материал ВШЭ, а не пересказ, получается совсем другая история. По двум строкам журналисты просто перепутали долю правильных ответов с долей ошибочных. По строке про Солнце они подменили одну величину другой: «не ответил правильно» превратилось в «придерживается геоцентризма». В результате из графика, который местами показывает улучшение, сделали новость о нарастающем невежестве. Так что проблемы с научной грамотностью бывают не только у респондентов, но и у тех, кто берётся пересказывать результаты опросов.

После видео ВРАЛ: это уже не просвещение, а судилище Я не собирался продолжать эту тему: казалось, что уже всё сказал. Но после просмотра видео с вручением ВРАЛ стало ясно, что один важный момент всё-таки остался недоговорённым. Я не биолог и не климатолог, поэтому не буду оценивать, насколько удачны у них частные разборы по существу. Меня здесь интересует не это. Интересен сам жанр происходящего — и то, что участники церемонии сами о нём проговаривают. Проблема в том, что это уже не просто критика ложных тезисов. Это смесь научпопа, капустника и показательной порки. Во-первых, зрителя с самого начала настраивают не на разбор, а на нужную эмоцию: скетчи, карикатурный Захария Деникин, «грустный рептилоид», общий балаганный тон. Уже после этого внутрь вставляются содержательные куски. То есть просвещение здесь подаётся в упаковке заранее заданного презрения. Во-вторых, в видео слишком явно звучит не только эпистемическая, но и репутационная логика. Самый яркий пример — слова Евгения Александрова о Савватееве: «на следующих выборах [в РАН] он пойдёт в академики, и получит тем самым возвышение по общественной линии… Мне представляется, что давать ему дополнительный шанс продвинуться было бы грешно. А если мы ему присвоим звание академика ВРАЛ, то это будет основанием для того, чтобы он не пошёл дальше по академической лестнице» (57:55–58:58). Это уже не про истину и не про ошибку. Это про репутационный удар и попытку символически перекрыть человеку путь дальше. И почти сразу после этого ведущий говорит обратное: «мы ни в коем случае не хотим оказывать какое-то влияние на карьерный рост того или иного учёного» (1:15:22–1:15:34). То есть сначала со сцены прямо проговаривается карательный смысл, а потом тут же включается формула невинности. В-третьих, там всё время всплывает язык не научного разбора, а санитарной обработки среды. «Престиж академии наук должен тщательно охраняться» (56:22–56:35). Телевизионную аудиторию «уже не спасти», это «как труп палкой колотить» (1:02:01–1:02:24). Креационизм — это болезнь, которую «победить невозможно, но бороться нужно» (1:31:30–1:31:45). Это уже не спор с тезисами. Это язык маркировки, вытеснения и профилактики. Отсюда и главное ощущение от видео. Оно не столько различает, сколько сваливает в один ряд слишком разные вещи: цельные лженаучные конструкции, слабые аргументы, дилетантские заходы в чужую область, мировоззренческие утверждения, троллинг, медийный эпатаж. А потом на всё это навешивается один общий ярлык и запускается церемония публичного клеймения. Именно это мне в жанре ВРАЛ кажется самым дурным. Самозваная претензия на маленький символический суд. Формально это, конечно, частная премия частных людей. Но риторически она устроена именно как инстанция, которая не просто возражает, а распределяет публичный позор, причём с интонацией почти окончательного вердикта. Но настоящая наука сильна не этим. Не удовольствием от клейма. Не позой людей, которым будто бы выдана лицензия отделять допустимое от недопустимого. А способностью различать: где ошибка, где натяжка, где подмена, где псевдонаучный аргумент, а где уже полноценная имитация науки. Здесь же речь идёт не о просвещении, а о карательном спектакле, в котором научная критика смешана с репутационным наказанием. И именно это смешение кажется мне особенно отталкивающим.

О Фоменко, Савватееве и праве раздавать ярлыки Михаил Гельфанд в комментариях на своём канале задал мне такой вопрос: «математик Фоменко стал высказывать мнения по поводу истории — его тоже в академики ВРАЛ нельзя номинировать?» Фоменко — да, можно. Это, по-моему, именно лженаучная система: в чужой области там построена альтернативная система «научных» фактов, связей между ними и защиты от опровержения. Это уже не частное заблуждение. Это суррогат науки. С Савватеевым случай другой. У него нет собственной альтернативной биологии, собственной медицины или собственной истории. У него есть религиозное мировоззрение, дилетантские заходы в чужие области, слабые и местами псевдонаучные аргументы. Иногда он пытается подпереть метафизический вывод словами про вероятность, математику, «специалистов». Это можно считать натяжкой, плохой аргументацией, выходом за пределы компетенции. Но это всё же не то же самое, что цельная фоменковская конструкция. И вот здесь начинается важная вещь. Как только пытаешься провести такую границу, сразу возникает ловушка: а не усаживаюсь ли я сам в кресло судьи? Риск, конечно, есть. Но всё-таки есть разница между различением и судилищем. Различение можно оспаривать, уточнять, сдвигать. Судилище устроено иначе: оно не различает, а клеймит. Ему не нужна шкала. Ему нужен ярлык. Различать — это говорить: здесь перед нами цельная лженаучная система; здесь — псевдонаучный аргумент; здесь — дилетантство; здесь — мировоззренческое суждение; здесь — просто ошибка. Это не окончательный приговор от имени Истины. Это попытка не валить в одну кучу разные вещи. А жанр антипремий как раз на этом сваливании и держится. Он стирает границы. Ему неудобно говорить: здесь у человека спорное мировоззрение, здесь слабый аргумент, здесь натяжка, а здесь уже настоящая лженаучная система. Ему проще выдать один ярлык и вручить статуэтку. Вот это мне и кажется дурным жанром. Не потому, что нельзя назвать лженауку лженаукой. Можно и нужно. Не потому, что любую глупость надо терпеть из уважения к свободе мнений. Не надо. А потому, что антипремия слишком легко превращает критику в маленький суд от имени Науки. И тут у меня возникает главный вопрос — к самой интонации происходящего. Откуда берётся это право на окончательный суд? Кто уполномочил эту медийную тусовку не просто спорить и критиковать, а символически распределять, какое знание «настоящее», а какое уже подлежит публичному позору? Наука так не устроена. В науке нет сана, который даёт право на анафему. Есть компетенции, аргументы, методы, степень обоснованности, границы применимости. Можно показать, что перед нами не наука, а её имитация. Можно показать, что человек вышел за пределы своей области и начал нести чушь. Можно показать, что такой-то аргумент псевдонаучен. Всё это нормальная работа мысли, а не вручение позорных знаков отличия. Когда же из этого делают карнавальный жанр с церемонией и статуэткой, возникает уже не разбор, а ритуал. И плох он не только дурным вкусом. Плох он тем, что слишком быстро начинает притворяться чем-то большим, чем он есть. Не шуткой. Не полемикой. А маленьким окончательным судом — с правом на моральную сортировку людей и идей. В этом и есть главная пошлость жанра. Он выдаёт себя за защиту рациональности, а на деле слишком часто просто эксплуатирует удовольствие от публичного клеймения. Ему хочется не столько разобрать, сколько назначить виновного. Не столько прояснить, сколько унизить. Поэтому мой ответ Гельфанду такой. Фоменко — да, это лженаука. Савватеев — нет, не в том же смысле. У него можно находить слабые, натянутые, дилетантские и местами псевдонаучные высказывания. Их можно и нужно критиковать. Но чем точнее мы различаем эти случаи, тем меньше оснований любить сам жанр антипремий. Потому что этот жанр живёт на обратном: на стирании различий и на самоуверенном праве выносить громкие вердикты. Именно это меня в нём и раздражает больше всего. Не жёсткость. Не резкость. Не желание спорить. А самодовольная уверенность медийной инстанции, что ей почему-то позволено не просто возражать, а раздавать знаки позора от имени Науки.

По части комментариев видно, что раздражение вызывают уже не только гомеопатия или натянутые выводы о биологии, но и сам факт того, что человек публично говорит о Боге. И вот это уже важный симптом. Вера в Бога сама по себе не антинаучна. Наука занимается не тем, во что человеку позволено верить, а тем, что можно проверить. Поэтому одно дело — разбирать конкретную чушь. Если человек говорит ерунду о медицине или биологии, это надо разбирать по существу. Другое дело — превращать саму религиозность в повод для презрения и клейма. В этот момент спор идёт уже не о знании, а о мировоззренческой лояльности. Возникает простая схема: если ты верующий, значит, ты заведомо подозрителен; если говоришь о Боге публично, значит, ты уже почти мракобес. Но это не научный подход. Это обычная идеологическая нетерпимость, только в светской упаковке. Борьба с мракобесием с позиций воинствующего безбожия сама легко становится мракобесной. Просто с другим знаком. У таких атеистов тоже есть свои правильные и неправильные взгляды, свои дозволенные и недозволенные мысли, своё раздражение к «ереси». К науке это имеет довольно косвенное отношение. Между тем даже правила самой премии ВРАЛ формально выводят религиозных деятелей и религиозные проекты за скобки. То есть по крайней мере на бумаге организаторы сами признают, что религиозность как таковая — не их предмет. Тем более странно видеть, как в обсуждении именно религиозность начинает вызывать у части публики почти рефлекторную ненависть. Критиковать ложные утверждения нужно. Воевать с верой как таковой — нет. Иначе под видом защиты разума начинают защищать совсем не разум, а собственную догму.

Если уж раздавать балаганные антипремии от имени «чистоты науки», то исторический список номинантов придётся сильно расширить. Ньютона можно было бы торжественно произвести в академики ВРАЛ за алхимию: он не просто интересовался ею, а оставил огромный корпус алхимических рукописей. Кеплера — за астрологию и за попытку объяснить устройство планетной системы через платоновы тела. Кардано — вообще в почётные члены: автор «Великого искусства», одной из главных книг в истории алгебры, и одновременно астролог. Разумеется, в 16–17 веках границы между наукой, натурфилософией, астрологией и алхимией были другими. Но вывод отсюда простой и неприятный для любителей быстрых ярлыков: история науки плохо укладывается в схему, где великий учёный обязан быть идейно стерилен. А привычка делить людей на «настоящих учёных» и «постыдных еретиков» говорит не о верности науке, а о тяге к примитивным схемам.

Когда борьба с лженаукой начинает мешать науке Портал «Антропогенез.ру» и фонд «Эволюция» включили Алексея Савватеева в число лауреатов своей антипремии ВРАЛ. Поводом были не его математические работы, а публичные высказывания вне его специальности — в частности, об эволюции и гомеопатии. То есть речь шла не о научном результате в математике, а о личных суждениях, высказанных в роли публичного человека. Именно это здесь и важно. Савватеев — не случайный блогер и не человек без научной биографии. Это известный математик, член-корреспондент РАН, профессор МФТИ, один из самых заметных популяризаторов математики в России. С его словами на темы вне математики можно спорить. Многие из них действительно могут вызывать возражения. Но одно дело — спорить по существу. Другое — выдавать публичный ярлык. Для науки это разница принципиальная. Наука держится не на праве выносить окончательные приговоры, а на процедуре проверки. Нормальное состояние науки — не самодовольная уверенность, а сомнение, уточнение, готовность пересматривать выводы. Если человек ошибается, это надо показывать точно: вот тезис, вот ошибка, вот натяжка, вот место, где сказано лишнее, вот данные, которые этому противоречат. Это нормальный научный разговор. Ярлык «лженаука» работает иначе. Он не разбирает, а сокращает путь. Не объясняет, где именно ошибка, а сразу переводит человека в удобную категорию. Для сцены и медиа это эффективно. Для науки — нет. Обычно на это отвечают, что кто-то должен защищать границы науки. Но здесь и возникает проблема. Не всякая ошибка — это лженаука. Не всякая спорная мысль — шарлатанство. Есть разница между слабым аргументом, выходом за пределы компетентности, неудачной гипотезой, самоуверенным дилетантизмом и сознательным обманом. Когда этой разницы не делают, вместо разбора получается просто система ярлыков. История науки слишком хорошо показывает, что быстрый ярлык — плохая замена спокойному разбору. Бывали случаи, когда под видом борьбы за научную чистоту душили целые направления. В отечественной истории такие вещи особенно памятны. Поэтому любые карательные жесты «от имени науки» вызывают не доверие, а настороженность. Есть и ещё одна простая вещь. Если математик в публичном выступлении говорит, на чей-то взгляд, спорные вещи, например, об эволюции или гомеопатии, то разбирать надо именно эти вещи. По пунктам. Спокойно. Без балагана. Без театрализованного вручения антипремий. Потому что в противном случае обсуждение подменяется показательным наказанием. Это вредно не только для конкретного человека. Это вредно для самой научной среды. Наука развивается не в атмосфере показательных вердиктов, а в атмосфере проверки и возражения. Там, где спорные идеи разбирают, а не клеймят. Там, где ошибку опровергают, а не превращают в повод для символической казни. Речь не о том, что любое высказывание Савватеева надо оправдывать. И не о том, что крупный учёный вне своей области автоматически прав. Речь о более простом принципе: ошибку надо опровергать по существу, а не заменять разбор публичным шельмованием. Когда люди, выступающие от имени рациональности, начинают действовать таким способом, происходит подмена. Вместо научной процедуры появляется активистский ритуал. Вместо разбора по существу — публичное клеймение. Это не укрепляет научную культуру, а портит её. И в этом смысле деятельность «Антропогенеза» выглядит скорее вредной, чем полезной.

Хотите изучать математику, но не знаете, с чего начать? Создатели образовательного проекта Popmath, преподающие в МФТИ, ШАД и ИТМО, проводят бесплатный вебинар: «Как выучить математику во взрослом возрасте?» Вы узнаете: ❓ В каких сферах нужна математика ❓ Почему традиционное преподавание часто не справляется со своей задачей ❓ Какие тенденции появились в образовании ❓ Как освоить математику, даже если вы считаете себя "гуманитарием" Дата: 23 марта Время: 20:00 по МСК Длительность: 1 час + ответы на вопросы ➡️ Для регистрации пишите нам! или ознакомьтесь со страницей вебинара и оставьте заявку там 🔸Всем участникам вебинара скидка 10% на 4-х месячный онлайн-курс "Математика с нуля для взрослых", который стартует уже 26 марта! 🔸

Применение алгебры Жегалкина для решения логических задач Из книги С.В. Буфеев, И.С. Буфеев «Основы математической логики и теории множеств» Задача 1. Алёша, Илья и Добрыня нашли в земле хорошо сохранившийся стеклянный сосуд с жидкостью. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения: Алёша: «Это сосуд французский и имеет 5 звёздочек». Илья: «Это сосуд испанский и имеет 3 звёздочки». Добрыня: «Это сосуд не французский и имеет 4 звёздочки». Змей Горыныч объяснил ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где изготовлен сосуд и во сколько звёздочек оценивается его качество? Решение. Обозначим высказывания: «Сосуд — французский» — F, «Сосуд — испанский» — S, «Сосуд имеет n звёздочек» — Zₙ. Условие задачи можно записать в виде: (F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) = 1. Упростим левую часть равенства. (F ⊕ Z₅) (S ⊕ Z₃) (F ⊕ 1 ⊕ Z₄) = = (F S ⊕ F Z₃ ⊕ Z₅ S ⊕ Z₅ Z₃) (F ⊕ Z₄ ⊕ 1) = = F Z₃ ⊕ S Z₅ = 1. Получившееся равенство возможно в двух случаях: F = 1, Z₃ = 1, S = 0, Z₅ = 0 или S = 1, Z₅ = 1, F = 0, Z₃ = 0. Однако первый случай не реализуется, ибо третий множитель исходной формулы при этом даёт решение Z₄ = 1, что невозможно при Z₃ = 1. Поэтому S = 1, Z₅ = 1. Ответ: сосуд испанский, 5 звёздочек. Задача 2. По подозрению в совершении преступления задержали Брауна, Джонса и Смита. Браун: «Я совершил это. Джонс не виноват». Джонс: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит». Смит: «Я не виноват. Виновен Браун». В процессе следствия выяснилось, что у одного из подозреваемых оба утверждения ложны, у другого одно истинно, а другое ложно, у третьего оба истинны, а также что преступник только один. Требуется определить имя преступника и выяснить, кто говорил правду, а кто нет. Решение. Обозначим буквами B, J, S соответственно высказывания «Виноват Браун», «Виноват Джонс», «Виноват Смит». Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций B ¬J, ¬B S, B ¬S, из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна. Истинной будет формула F = B ¬J ∨ ¬B S ∨ B ¬S = 1. Упростим её: F = B (J⊕1) ∨ (B⊕1) S ∨ B (S⊕1) = = B ∨ S ∨ B = B ∨ S = 1. Значит, преступление совершил Браун или Смит. Предположим, преступник Браун. Тогда из трёх конъюнкций, составляющих функцию F, истинными будут две. А это противоречит условию задачи. Поэтому B = 0, и очевидно, S = 1 удовлетворяет условию задачи. Ответ: преступник — Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно, другое нет, Джонс сказал правду. Задача 3. Один из пяти братьев разбил окно. — Это мог сделать только или Виктор, или Сергей, — сказал Андрей. — Я окно не разбивал, — возразил Виктор, — и Егор тоже. — Вы оба говорите неправду, — заявил Сергей. — Нет, Сергей, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, — возразил Дмитрий. — Ты, Дмитрий, неправ, — вмешался Егор. Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил окно? Решение. Введём логические переменные A, B, C, D, E, определяющие, кто из братьев разбил окно, — соответственно Андрей, Виктор, Сергей, Дмитрий, Егор. Запишем алгебраически высказывания братьев: Андрей: a = B ⊕ C, Виктор: b = ¬B ¬E = (B⊕1)(E⊕1) = B⊕E⊕1 = A⊕C⊕D. (Мы воспользовались тем, что B E = 0, поскольку по условию задачи окно разбил только один из братьев.) Сергей: c = ¬a ¬b = ¬(B⊕C) ¬(¬B ¬E) = = ¬B ¬C (B⊕E) = ¬B ¬C E = E. Дмитрий: d = a ¬b ⊕ ¬a b = = (B⊕C) ¬(¬B ¬E) ⊕ ¬(B⊕C) (¬B ¬E) = = (B⊕C) (B⊕E) ⊕ ¬B ¬C ¬B ¬E = = B ⊕ (B E) ⊕ (B C) ⊕ (C E) ⊕ ¬B ¬C ¬E = = B ⊕ (B⊕1)(C⊕1)(E⊕1) = = B ⊕ (B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1) = B ⊕ C ⊕ E ⊕ 1 = A ⊕ D. Егор: e = ¬d = ¬(A ⊕ D) = B ⊕ C ⊕ E. По условию задачи, трое братьев сказали правду. Образуем из формул a, b, c, d, e конъюнкции, беря в каждую по три формулы: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde. Поскольку a и c, b и c, c и d в конъюнкции дают противоречия, то из десяти сочетаний оставляем только три: abd, abe и bde. Легко видеть, что abd = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (A⊕D) = 0, bde = (A⊕C⊕D) (A⊕D) (B⊕C⊕E) = 0, abe = (B⊕C) (A⊕C⊕D) (B⊕C⊕E) = 1 при C = 1. Ответ: стекло разбил Сергей.

Объяснение парадокса Что означает формула mg = kx? Это условие статического равновесия. Тело покоится, ускорение равно нулю. Обозначим это сжатие как xₛₜ— статическое. Что означает формула mgx = ½ kx²? Если груз положить на пружину и отпустить, он начнёт двигаться вниз, проскочит точку равновесия с максимальной скоростью и остановится лишь в самой нижней точке. Именно для этой нижней точки (где скорость снова равна нулю) справедливо равенство энергий. Обозначим это максимальное сжатие как xₘₐₓ. Для него верно: mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ². Из уравнений: mg = k xₛₜ, mg xₘₐₓ = ½ k xₘₐₓ² легко получить: xₘₐₓ = 2 xₛₜ. То есть динамическое максимальное сжатие в два раза больше статического. Где возник «парадокс»? В подстановке одного и того же x сразу в две формулы, которые описывают разные физические ситуации. mg = kx — покой; mgx = ½ kx² —мгновенная остановка в колебательном движении. Законы верны. Парадокс возник из-за смешения режимов. А что происходит на самом деле? Если просто отпустить груз, система начнёт колебаться между точками x = 0 и xₘₐₓ = 2xₛₜ. В точке xₛₜ но кинетическая энергия максимальна — именно она и «потерялась» в наивном энергетическом рассуждении. Из-за трения колебания постепенно затухнут, и груз в итоге остановится в точке статического равновесия xₛₜ, а лишняя энергия ½ k xₛₜ² рассеется в виде тепла.

Парадокс пружины: 1 = ½? Мысленный эксперимент. На вертикально стоящую на столе пружину жёсткости k кладём сверху груз массы m. Пружина сжимается на x. 1. Сила тяжести уравновешена силой упругости: mg = kx. (1) 2. Груз опустился на x, значит потерял потенциальную энергию mgx. Эта энергия перешла в энергию пружины: mgx = ½ kx². (2) Поделим (2) на x: mg = ½ kx. (3) Совмещаем (1) и (3): kx = ½ kx ⇒ 1 = ½. Где ошибка?

Империи как задача оптимизации Применимо ли подобное рассуждение к социальным системам — например, к государствам? Любая расширяющаяся держава сначала выигрывает от роста. Больше территории — больше ресурсов. Больше населения — больше налогов и солдат. Больше связей — выше торговый оборот. Больше влияния — выше безопасность. Рост напрямую конвертируется в силу. Но у роста есть и другая сторона. Управление становится сложнее. Коммуникации удлиняются. Контроль требует всё большего аппарата. Растёт коррупция, инерция, внутренние противоречия. Цена поддержания порядка увеличивается быстрее, чем раньше. Пока выигрыш от расширения превышает цену, система растёт. Когда выигрыш и цена сравниваются, рост замедляется. Когда цена начинает превышать выигрыш, рост перестаёт быть источником силы. Это и есть точка максимума эффективности. Она не обязана выглядеть как «пик территории» или «пик населения». Чаще это момент, после которого любое новое расширение делает систему менее устойчивой. И здесь не требуется никаких специальных исторических теорий. Работает та же самая логика компромиссов, что и в физике, биологии или теории информации. Империи гибнут не «из-за пороков», не из-за отдельных ошибочных решений и не просто из-за внешних ударов вроде войн или вторжений. Чаще война становится последним толчком для системы, уже вошедшей в область собственной уязвимости. Личности могут ускорять или замедлять процесс, но они не меняют форму кривой. Попытка ответить на нарастающую сложность ещё большим усложнением — разрастанием бюрократии, созданием новых уровней управления, стремлением всё регламентировать и контролировать, наращиванием силовых структур, внешней экспансией — часто приносит кратковременное ощущение управляемости, но резко увеличивает будущую цену. Система начинает тратить всё большую долю ресурсов не на развитие, а на поддержание самой себя. С этого момента историю обычно описывают словами «стагнация», «кризис», «распад». Но математически это всего лишь движение по нисходящей ветви той же кривой. Важно подчеркнуть: здесь нет попытки построить модель, вычислять траектории или спорить с различными философиями истории. Это не теория исторического процесса. Это применение очень общего и универсального принципа к ещё одной области. История при таком взгляде оказывается не чередой моральных уроков и не набором случайностей, а последовательностью столкновений сложных систем с их собственными пределами. В этом смысле государства, как и системы счисления, как и живые организмы, подчиняются одному и тому же закону: рост полезен, но не бесконечно. И тогда главный объект исследования смещается. Это уже не сами системы, не их достижения и не их ошибки. Это границы их устойчивости. Математика компромиссов в конечном счёте сводится к простой идее: устойчивость возможна только там, где сохраняется баланс.