عُـمـر isomorphism

تعميم الدوال في المستوي العقدي إن حقيقة معنى التعميم للدالة الحقيقية (x)exp هو أننا نبحث عن الدالة العقدية (z)H التي تحافظ على نفس خصائص الدالة الأسية الاعتيادية، ونعني بالتحديد أنها تحافظ على : 1- المشتقة كما هي . 2- تحفظ قوانين الأسس المعروفة : H(z¹)•H(z²) = H(z¹+z²) إلخ 3- الخاصية الثالثة وهي الأهم أنها تحفظ نفس نتائج الدالة الأصلية فيما لو طبقناها على القيم الحقيقية أي أن : H(x+0i) = exp(x) . إن الدالة التي نبحث عنها هي الدالة المعطاة بالقاعدة الآتية : H(z) := exp(x)•[cos(y)+isin(y)] يمكننا التحقق بسهولة من أن الدالة (z)H تحقق الخواص الثلاثة السابقة . وفي هذه المرحلة يمكننا الاجتراء بالقول أن الدالة (z)H هي تعميم للدالة (x)exp وأكثر من ذلك سنغير ترميزها إلى الشكل (z)exp أي أن : exp(z) := H(z) = exp(x)•[cos(y)+isin(y)] . وبناء على ما سبق لا ينبغي الخلط أبدًا بالقول أن (z)exp هي نفسها (x)exp فالعلاقة الوحيدة بين الدالتين هي أنهما تعطيان نفس النتائج فقط فيما لو طبقنا الدالة (z)exp على القيم المكافئة للأعداد الحقيقية أعني تلك القيم التي تكتب بالشكل (x,0) أي تلك المجموعة التي تكون Copy isomorphic من الأعداد الحقيقية . إن السؤال الأهم الذي يتبادر إلى الذهن هو : كيف استطعنا استنتاج شكل الدالة المعممة (z)exp ؟ والجواب أن آلية تعميم الدوال بصورة عامة تتضمن بعض الخداع والحيلة في قلب وتحوير المفاهيم الاعتيادية، والحيلة غير الرسمية ستكون كالآتي : 1- سنفرض وجود الدالة التي نبحث عنها (z)exp وبكل الخصائص التي نتوقعها منها ( أي أننا سنبدأ من النتيجة ). 2- نستخدم بعض خصائصها وكالآتي : exp(x+yi)=exp(x)•exp(yi) ثم بتطبيق صيغة اويلر exp(x)•[ cos(y)+ isin(y) ] . 3- الآن مرة أخرى ولكن بالعكس، بشكل رسمي نزعم أن الدالة الآخيرة هي التي تمثل (z)exp وعليه نثبت الخصائص الثلاثة التي ذكرناها أي : ( سنجري عكس الخطوات السابقة ) . إن عشوائية الأفكار السابقة تجعلني أميل إلى أن الطريق الطبيعي لتعميم دوال مثل (x)exp إنما يكون عبر المتسلسلات التي يسهل بها استنتاج التعميم وكالآتي : exp(x) = Σ xⁿ/n! سنقول أن المتسلسلة : Σ zⁿ/n! = exp(z) , z in C ونراجع ثبوت شروط التعميم . وكتب عمر محمد

إن هذه النظرية تمثل مصداقاً للحملة العالمية الحديثة لعلماء الرياضيات التي انطلقت من عهد السير برتراند آرثر راسل والتي تتمثل بمحاولة تفسير كل العالم وفق نظرية المجموعات والمنطق الرياضي، الهدف ببساطة إعادة هيكلة كل شيء بحيث يمكن التعبير عنه وفق بديهياتنا العشرة !

جانب من بحث تخرجي المعنون بـ " Selected topics in Set Theory" النتيجة أعلاه هي نتيجة خاصة ومهمة جدًا حيث تربط بين التفسير الحدسي لعلاقة الترتيب وبين التفسير التجريدي للعلاقة لاحظ أننا حدسيًا نقول أن العدد الطبيعي m أصغر من n إذا وفقط إذا يوجد k بحيث أن حاصل جمع k مع m يساوي n . إن الوجه الآخر لهذا الكلام مكافئ لقولنا أن العدد الطبيعي m أصغر من n إذا وفقط إذا m ينتمي إلى n . لاحظ أننا لا نستخدم سوى علاقة الانتماء مع اعتبار أن الاعداد الطبيعية هي مجموعات في حقيقتها، النتيجة تثبت تكافؤ العبارتين في الصدق، بل ويمكن اعتبار العبارة الثانية هي التعريف البديل عن الأول لأنه لا تحتاج إدخال للحساب البيانوي أصلًا، وبذلك إن صح التعبير يمكننا أن نقول أنها تمثل عين حقيقة علاقة الترتيب على N لأنها تعتمد على مفهوم الانتماء فقط وهو مفهوم أصيل وبديهي في نظرية المجموعات .

Chapter two Section 2

بعض الملاحظات المرفقة 1- يمكن اعتبار قانون منع التناقض قانون بديهي من الناحية الدلالية وإن الاستنتاج الطبيعي في الأنظمة البديهية يعتمد على قوالب وقواعد مسلمة يمكن من خلالها اشتقاق القوانين بشكل نحوي محض، فبالطبع لا يخفى علينا أن الربط ∧ دلاليًا يمتنع فيه اجتماع الصدق والكذب مع صدق العبارة المركبة . 2- الاستدلال سليم صوريًا من الإشكالات الدورية، بعض الإشكالات قد تنتج من محاولة " حشر " قانون التناقض في مجرد إدراك المفاهيم والحدود، ولكن هذا الوهم أجده لا يستحق الرد ويتبدد بالقليل من التحليل الدقيق . 3- يمكن اشتقاق هذه المسلمات من قانون منع التناقض أيضًا في نظام آخر، فيظهر أن الرتبية والأسبقية تتلاشى في هذه الأنظمة وتصبح مسألة اختيار المسلمات هي مسألة حدسية وما ورائية .

اشتقاق قانون منع التناقض لقد كتبت اشتقاق أو برهان - إن صح التعبير - لقانون منع التناقض من 14 سطر منطقي، اعتمدت فيه على نظام من 5 مسلمات ( مكتوبة أعلاه ) بالإضافة إلى قاعدة التعويض وقاعدة modus ponens، مع تعريف النفي . في حقيقة الأمر أغلب المسلمات التي اعتمدتها يمكن اشتقاقها في نظام هيلبرت للاستنتاج، لكنني آثرت اعتبارها مسلمات لأجل الاختصار والسهولة .

مستفاد من كتاب النظم البديهية القديرة أ.د.آمال شهاب المختار .

نظرية جليلة يكون النظام البديهي كاملًا ( قادرًا على برهنة جميع قضاياه ) إذا كان لأي نموذجين لذلك النظام فإنهما يكونان متشاكلين تقابليًا Isomorphic Models بحيث أن التقابل بينهما يكون تقابلًا صدقيًا .

يظهر في الصورة الرياضياتي والمنطقي الألماني غيرهارد غنتزن Gerhard Gentzen وهو أحد تلامذة الأستاذ ديفيد هيلبرت، له أعمال في نظرية البرهان ، ويعد أول من استخدم رمز التسوير الكلي المعروف " ∀ " ( مقلوب الحرف A في كلمة All ) . عاش 35 سنة فقط وتوفي جوعًا في المعتقلات السوفييتية سنة 1945 .

اشتباه نحوي ودلالي سألني أحد الفضلاء عن علاقة التسوير بالعبارة المنطقية فكما نعلم، الجملة المفتوحة تكون عبارة منطقية إذا استبدل متغيرها بثابت، فكان سؤاله بالتحديد لماذا الجملة أدناه : ∀ x ( p(x) →q(x) ) تكون عبارة منطقية على الرغم من أن التسوير غير داخل على أجزاء العبارة المركبة أي : الشرط وجواب الشرط ؟ فإن (x)p ليست عبارة لأن التسوير لم بدخل عليها، وكذلك (x)q، على اعتبار أن التسوير إنما دخل على الشرطية ! والجواب على ذلك : يتقدم بالتمهيد إلى مفهومين 1- نطاق التسوير 2- المتغيرات الحرة والمقيدة أما نطاق التسوير فهي الجمل المفتوحة التي تقع تحت سيطرة التسوير، أي الجمل التي تتأثر بالتسوير، مثلًا : ∀x [ p(x) ] لاحظ أن المتغير x في p يقع تحت تأثير التسوير الكلي أي أنه محكوم عليه بالتسوير لذلك يسمى بالمتغير المقيد bounded variable، وخلاف ذلك سنسميه متغيرًا حرًا free variable ومثاله : ∀ x [ p(x) ] and q(x) لاحظ أن المتغير x في q غير مقيد؛ لأن حكم التسوير لم يتعد إليه، أي أنه خارج نطاق التسوير الكلي . ينبغي التنويه على أن نطاق التسوير نحن من نتحكم به من خلال إضافة أقواس النطاق " [ ] " وأحيانًا بكتابة x صغيرة أسفل الجملة المفتوحة دلالة على شمولها ضمن نطاق المسور . بعد التمهيد السابق سنعود للقول وبشكل أكثر دقة : أن الجملة المفتوحة تكون عبارة منطقية إذا كانت ضمن نطاق المسور . فينتج لدينا أن التعبير أدناه : ∀ x [ [ p(x) ] →[ q(x) ] ] يعني وقوع الجمل (x)p و (x)q ضمن نطاق التسوير الكلي وهذا يعني تحويلها إلى عبارات منطقية، طبعًا من الواضح أن الجملة المركبة p(x) →q(x)  تقع ضمن النطاق بشكل عرضي لدخول أجزائها فيه، قد يكون الكلام غامضًا بعض الشيء لكن يمكن توضيحه بقليل من النحو عن طريق المثال أدناه : Let B = {a, b}, p,q are predicates p(a) →q(a), p(b) →q(b) iff ∀ x ∈ B ( [ p(x) ] →[ q(x) ] أي أنك مهما أخذت من ثابت على حدا فإنه سيحقق الشرطية بمفرده وبصرف النظر عن بقية العناصر، ويمكن أن نلاحظ حينئذ أن وجود مجموعة S مساوية لـB بحيث أن : x ∈ S إذا وفقط إذا p(x) →q(x) هذا يعني بالتحديد أن : ∀x [ [ p(x) ] →[ q(x) ] ] وهذا أحد التعريفات المشهورة الذي يبين كيفية نشوء القضية الكلية من خلال ثوابت a تنتمي إلى مجموعة S مساوية لـA والتي تسمى بمجموعة الحل عادة، وهي مجموعة العناصر التي تحقق الخاصية المطلوبة . وطبعًا من الواضح أن ذلك مختلف عن قولنا : ∀x [ p(x) ] →∀x [ q(x) ] لاحظ أن الأخير لا يشترط أخذ نفس الثابت a لكلا الجملتين، بل هما صحيحتان مهما اخترت a,b بحيث أن p(a) →q(b) . على كل حال يُظهر بناء المسورة الكلية من خلال أخذ العناصر التي تحقق الشرطية تباعًا المعنى القضوي للشرطية بكل وضوح، ويبدو أن موضع الاشتباه إنما حصل بسبب الاعتياد التقليدي على شمول ما بين الأقواس بالحكم، فظن أن المحكوم عليه بالتسوير هو القضية الشرطية لا أجزائها وهذا مغالطة معروفة من قبيل أخذ المعنى من اللفظ أو من الرمز لا من التعريف، وتنحل عقدتها بمراجعة دلالية لذلك اللفظ ثم تعبير صارم يضبط معنى الرمز والذي ظهر عندنا بوضع أقواس النطاق .

Goodman–Myhill theorem إثبات قانون الوسط المستبعد " p ∨ ~ p " . باستخدام بديهية الاختيار Axiom choice في نظرية المجموعات وبعض القوانين المنطقية الأولية يمكن إثبات استلزام قانون الوسط المستبعد . إن هذا البرهان كما يظهر يعتمد على مسلمات مقبولة في المنطق الحدسي وهذا يعني أنه من أجل الحفاظ على اتساق المنطق ثلاثي القيم يجب رفض بديهية الاختيار . ينبغي توضيح أننا نستخدم بديهية الاختيار على مجموعة منتهية، هذا يعني أنها مقبولة في نظام ZF كذلك .

مجموعة مرتبة وحقل غير مرتب C = { (x,y) | x,y ∈ R } تعد مجموعة الأعداد العقدية - خلافًا لما يظنه البعض - مجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا . تعريف Let, u = (x¹,y¹), v = (x²,y²) ∈ C u ≤ v iff (x¹ < x²) or [ (x¹=x²) and (y¹ ≤ y²) ] . يمكن بسهولة إثبات أن العلاقة أعلاه هي علاقة ترتيب كلي ولذلك يمكننا أن نقول مثلًا : 1- (4,7) < (4,8) . 2- (3,9) < (5,4) . ولكن هنا ينبغي الحذر في التعامل مع البنى الجبرية، فإن مجموعة الأعداد العقدية وإن كانت مجموعة مرتبة (≥,C) لكن علاقة الترتيب أعلاه لا يمكن أن تعمل في النظام العقدي، أي أن الرباعي المرتب (≥,•,+,C) ليس حقلًا مرتبًا وذلك لأن علاقة الترتيب هذه لا تنسجم مع عمليتي الجمع والضرب للأعداد العقدية ويمكن برهنته بسهولة وكالآتي : بما أن : 0 < 1 إذن : 0•i•1 > i وعليه : 0 < i ومنه : 0•i² > i ولذلك : 0 < -1 . وهو تناقض . فينبغي عدم الخلط بين كونها مجموعة مرتبة وكونها لا تمثل حقلًا مرتبًا رفقة الجمع والضرب .