Зачем мне эта математика

Что такое зависимость в математике Зависимость — это связь между двумя величинами. Длина ребра куба и его объём, стоимость каждого товара и сумма в чеке, рост и длина стопы — всё это примеры зависимостей. Чаще всего работают с зависимостями, которые можно записать формулами. Обычно говорят о зависимости переменной y от переменной x. Функции Функция — это такая зависимость y от x, где каждому допустимому x соответствует только одно значение y. Примеры функций: y=5x-7, 4y-x²=8, y=tgx-2ˣ. Если мы подставим какой-то x в каждую из формул, то однозначно посчитаем y. При этом для разных x могут получаться одинаковые y. Поэтому, скажем, y=sinx — это функция. Уравнения Уравнения описывают формулами разные зависимости: и функциональные, и не очень. В них одному x может соответствовать сколько угодно y, совсем необязательно один. То есть это более общий класс с менее строгими ограничениями. Например, x=y². Возьмём значение x=4, ему соответствуют два разных y: это 2 и -2. Или рассмотрим уравнение x=5 — тут вообще одному-единственному x подходит бесконечно много y. Эти примеры — не функции, но уравнения. Новогодняя аналогия Пусть x — это подарки, а y — это люди. Удачный новый год — когда зависимость функциональная: у каждого подарка есть один будущий хозяин. При этом у людей может быть и по несколько подарков. Новый год не удался — когда зависимость не функциональная: какой-то подарок оказался сразу для нескольких людей. Пусть с вами такого не случится :) Отличаем по графику Выяснить, функция перед нами или нет, поможет график! Проведём воображаемую вертикальную линию, подвигаем её вдоль графика функции и посмотрим на точки пересечения. Если везде одна, то перед нами функция. А если хоть где-то больше, то нет. Посмотреть, как это происходит, можно на интерактивной объяснялке из курса «Математика для анализа данных». В комментариях предлагаем привести ещё новогодние примеры функций и не-функций.

Привет, друзья! Нас тут уже захватило новогоднее настроение🎄 Так что мы официально объявляем, что до конца декабря у нас тут будет математический адвент! Как всегда: будем писать задачки и рассказы, но они будут тематическими — новогодними. Сегодня первый день, и мы расскажем о том, чем функциональная зависимость (или попросту функция) отличается от уравнения. У функций много хороших свойств, и их рассматривают чаще других. Именно поэтому полезно уметь распознавать функцию.

Задание Поэкспериментируйте с топологическими объектами в быту! 1) Склейте две ленты Мёбиуса. Одну из них разрежьте ровно посередине (вдоль), а вторую — примерно на 1/3 ширины. Посмотрите, что получится! Фото выкладывайте в комментариях 🙂 Спойлер: результаты будут разные! 2) Вспомните, кто из ваших знакомых вяжет: бабушка, мама или, может быть, вы сами? Предложите им связать вам шарф в виде ленты Мёбиуса или шапку в форме бутылки Клейна. :)) Такому подарку кстати будет рад любой математик!

Капелька магии в пятницу Недавно мы писали о волшебной части математики — топологии. Сегодня продолжим о её фокусах. Встречайте — на первой иллюстрации к посту... Лента Мёбиуса Эта лента может быть вам знакома. Её легко сделать в домашних условиях. Возьмём бумажную полоску, перевернём один конец на 180° и склеим с другим. Получится такое кольцо с перекрутом, а по-научному — лента Мёбиуса. У неё много удивительных свойств. Например, если у обычного бумажного кольца есть две стороны (внешняя и внутренняя), то у ленты Мёбиуса — только одна. Чтобы это проверить, поставьте точку на ленте и ведите линию вдоль ленты — не отрывая руки от бумаги! Когда вы вернётесь в исходную точку, то увидите, что линия идёт и «внутри», и «снаружи» — всё потому, что сторона на самом деле одна. Добавим ещё одну размерность Возьмём две ленты Мёбиуса, закрученные в разные стороны, и склеим их — получится ещё более удивительный объект — бутылка Клейна (Кляйна). Она — на второй иллюстрации к посту. Это старшая сестра ленты Мёбиуса, у неё тоже только одна сторона. В трёхмерном пространстве её можно смастерить только с самопересечением, но в четырёхмерном его не будет (хотя представить это тяжеловато). И так как у этой бутылки одна сторона — значит, у неё нет разделения на «внутри» и «снаружи». И поэтому — у неё нет объёма. Как вам такое? 😯 Чтобы проникнуться всеми чудесами этих двух фигур — смотрите плейлист. В первом видео рассказчиком выступает учёный Клифф Столл — кажется, главный энтузиаст топологии и этих поверхностей в частности. Мы уверены, его бьющая через край энергия и любовь к математике не оставят равнодушными и вас!

Решим вчерашнюю задачу про чиновника в городе N. Реальный вариант Каждый час количество жителей, знающих новость по секрету, увеличивается в одинаковое количество раз — это геометрическая прогрессия. С 9 до 21 часов произошло 12 итераций, значит, всего было 13 членов прогрессии. Нам надо найти их сумму. Первый член равен 2, знаменатель равен 3. Вычислим сумму по формуле: S₁₃=b₁(1-q¹³)/(1-q)=2(1-1594323)/(1-3)= 1 594 322. Больше полутора миллионов человек узнают по секрету новость за день! Примерно так и работают сплетни. 😄 Фантастический вариант Здесь тоже речь о геометрической прогрессии. Но теперь её элементы не увеличиваются, а уменьшаются, причём стремительно. Каждый следующий член в 1.5 раза меньше предыдущего, значит, знаменатель q=1/1.5=10/15=2/3. Это меньше 1. У прогрессий с |q|<1 есть уникальная особенность — для них можно найти сумму всей прогрессии! Формула выглядит вот так: S = b₁/(1-q). В нашем случае b₁=8, q=2/3, значит, S = 8/(1-2/3) = 8*3=24. Именно столько печенек чиновник съест за бесконечно долгое время в городе N. А что, не так уж и много! Коробки с 50 печеньками ему хватит с лихвой! *** Бесконечно убывающие геометрические прогрессии встречаются не только в фантастических задачах, но и в многочиленных математических мемах и анекдотах. Например, мы рассказывали анекдот про математиков в баре. 🤓🍸

Сегодня мы принесли вам задачу из двух частей. Первая — вполне реальная, вторая — фантастическая. Но просим вас к обеим отнестись серьёзно! 1) В город N приехал столичный чиновник. На собрании в 9.00 он по секрету рассказал важную новость двум местным сотрудникам. В течение часа каждый из них по секрету рассказал эту новость ещё троим жителям этого города. В течение следующего часа — каждый из знающих ещё троим новым и т.д. Сколько жителей города N будут по секрету знать важную новость к 21 часам этого дня? 2) Помимо секретов чиновник привёз в командировку коробку с печеньками. Они были настолько вкусные, что в первый день он съел аж 8 штук. Ему хотелось растянуть печенье до конца командировки, поэтому он решил держать себя в руках и есть каждый следующий день в полтора раза меньше печенек, чем в предыдущий. Проблема в том, что чиновник попал в пространственно-временную аномалию и застрял в городе N навечно! Но это был очень последовательный чиновник — он продолжал выполнять своё обещание и каждый день ел всё меньше и меньше печенек. Можно ли узнать, сколько всего печенек он съест за время своего бесконечного пребывания в городе N? Если да, то хватит ли ему коробки с 50 печеньками? Решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом.

Округляем — в один этап! Частая ошибка в округлении: совершение его в несколько этапов. Смотрите ⤵️ 1446 округлим до сотен: • В один этап: 1446≈1400 (и это верно). • В два этапа. Сначала до десятков: 1446≈1450. Теперь до сотен: 1450≈1500. Ой, у нас получилась лишняя сотня! Поэтому округляем всегда в один этап. Описанный алгоритм помогает округлить число до ближайшего числа с нужным количеством разрядом. Округлённые числа легче воспринимаются и помогают быстро прикинуть результаты вычислений. Об этом ещё расскажем подробнее. Нюансы реальной жизни На практике бывает, нужно округлить не до ближайшего целого, а по-другому — вверх или вниз. Например, когда мы посчитали, сколько упаковок яиц надо купить и получили 3.3 упаковки, то очевидно, округлить нужно вверх — до 4 упаковок. Ближайшее целое здесь 3, но трёх упаковок нам не хватит! Другая ситуация — мы рассчитываем грузоподъёмность лифта и получаем, что лифт выдержит 7.8 человек. Здесь ближайшее целое — это 8, но для надёжности разумнее округлить вниз и написать в инструкции, что лифт выдержит 7 человек. Поэтому закончим занудной, но важной мыслью: сначала стоит подумать о задаче и только затем подбирать метод! 🖖 Задание Округлите что-нибудь и напишите в комментариях, в какой ситуации вам пригодилось округление и какое 💪

Сегодня мы будем делать вычисления проще и быстрее. Ведь чем больше в числе значащих цифр (те, которы не нули на конце числа), тем больше неудобств оно создаёт при вычислениях. Например, сравните 83 264 117 и 83 000 000 — второе число воспринимается гораздо проще, а они не так уж далеко друг от друга (отличаются всего на 0.3%). Такой переход от одного числа к другому называют округлением и записывают через знак ≈, он читается как «приближённо равно». Вспомним, как округлить правильно с точки зрения математики. Алгоритм 1) Сначала определимся, до какого разряда мы округляем. Иногда это указано в задаче, а иногда нам самим надо решить, после какого разряда нам уже не так важна точность. Например, при расчёте скидки на чайник нам поможет округление до сотен. А если мы хотим прикинуть размер налогового вычета за ипотеку, можно округлить до сотен тысяч или десятков тысяч. 😉 2) Теперь смотрим на первую цифру справа от округляемого разряда, она решает всё! Например, если мы округляем 4316 до сотен, то смотрим на десятки — в этом числе там стоит 1. • Если эта решающая цифра меньше 5, то цифра округляемого разряда не меняется. В нашем примере как раз такой случай. • Если же в десятках была бы цифра 5 или больше, тогда цифру разряда сотен увеличиваем на единицу. Мы как бы разделяем множество всех цифр пополам, и первая пятёрка (0-4) тянет число в меньшую сторону, вторая (5-9) — в большую. 3) Все цифры справа от округляемого разряда заменяем нулями. Получим: 4316≈4300. Ещё примеры 1) Округлим до сотен число 61235. В разряде десятков стоит 3, значит, цифра в разряде сотен останется прежней: 61235≈61200. 2) А если хотим округлить 15860 до тысяч — смотрим на сотни, там стоит 8. Значит, округлять нужно с прибавлением единички: 15860≈16000. 3) Число из начала поста 83 264 117 округлим до миллионов: 83 000 000.

Привет! Мы в Практикуме проводим исследование в области анализа данных и хотим больше узнать о том, какие навыки и знания вы хотите получить в рамках обучения. Для исследования мы ищем: ⏺️тех, кому интересно освоить новую профессию в области анализа данных; ⏺️ аналитиков в IT, которые хотят расти в профессии; ⏺️аналитиков из других сфер, которые хотят стать аналитиками в IT. Если вы узнали себя в каком-то пункте и сейчас ищете обучающий курс, приглашаем принять участие в интервью! Это классная возможность помочь нам в создании образовательных программ. Интервью пройдёт в зуме и займёт около 30 минут. Для участия, пожалуйста, заполните форму. Мы свяжемся с вами и подберём удобное время. В благодарность за участие мы подарим бонус от Практикума. 🫣

Зачем это надо Такая, казалось бы, абстрактная наука оказывается невероятно полезной во вполне практических применениях. Кроме ежей и барабанов 😉 Например, топология: - изучает узлы, - помогает узнать много новой информации о наборе данных (можно погуглить запрос «персистентные гомологии»), - применяется в механике, биологии, экономике, машинном обучении и других науках. Напоследок — задача Топология открывает новый взгляд на некоторые задачи. Вот, к примеру, известная задача. Заметьте, вполне практическая! В деревне есть три дома и три компании: одна поставляет газ, вторая — воду, третья — электричество. Нужно к каждому дому провести все три ресурса, но при этом пути, по которым продукт поставляется в дом, не могут пересекаться. Как это сделать? Решать задачу вам не предлагаем. Уже известно, что в нашем мире, на сфере, эта задача не имеет решений. На плоскости — тоже. А вот на торе, который изучает топология, задача вполне решаема. Предлагаем убедиться в этом, посмотрев видео. А в комментариях пишите собственные примеры эквивалентных объектов с точки зрения топологии! 😎

Вы когда-нибудь задумывались, что кружка очень похожа на пончик? Или что куб и шар — это одно и то же? Сошли ли с ума авторы канала? На все эти вопросы может дать ответ героиня сегодняшнего поста — топология. Что такое топология Топология — это очень интересный вид геометрии. Интересен он тем, что в нём не имеют значения количественные характеристики: расстояние, углы и т.д. В топологии мы считаем одинаковыми (эквивалентными) все объекты, которые можно превратить друг в друга с помощью *гомеоморфных преобразований, или непрерывных деформаций.* К ним относятся растягивание или сжатие фигуры без образования разрывов и склеек. Гомеоморфное преобразование в быту Самое понятное гомеоморфное преобразование: взять комочек теста и раскатать его в блин. Потом из блина ещё и колбаску можно сделать — это тоже годится. Блин и колбаска с точки зрения топологии — одинаковые объекты. А вот замкнуть колбаску в кольцо — это склейка, уже не гомеоморфное преобразование. Проковырять в блине дырку — тоже не гомеоморфное преобразование, оно образует объект, неэквивалентный исходному. То есть с точки зрения топологии, блин больше похож на колбаску, чем на блин с дыркой. А если взять тор (пончик) и порастягивать его — главное, не рвать и не склеивать! — то вполне можно получить кружку. Так что авторы канала не сошли с ума 😅 Названия теорем в топологии Топология примечательна ещё и тем, что в ней встречаются необычные названия теорем. Например, теорема о такой сложной штуке, как векторное поле на сфере, называется теоремой о причёсывании ежа. Ещё есть теорема о натягивании барабана на обод. Сразу заметно, что математики стараются привязать теорию к практике!

Если вам хочется размять мозги или покорить кого-то навыками устного счёта, надо тренироваться. Но найти подходящий момент для тренировок бывает непросто! Собрали для вас советы, как встроить тренировки в разные моменты жизни. В комментариях делитесь, какой совет вы сможете применить уже сегодня 😊

Разберёмся, как быстро угадать число из пятничной задачи. Честный вариант Здесь оптимальной стратегией будет «Бинарный поиск», он же метод деления пополам. При каждой попытке нужно называть середину диапазона, тогда после ответа, новый диапазон будет в два раза меньше (не всегда ровно в два, но это мелочи). Например, друг загадал число 30. Диалог получится такой. Начинаем всегда с 50 — это середина исходного диапазона от 1 до 100: — 50? — Моё число меньше. Новый диапазон — от 1 до 50, спрашиваем про середину: — 25? — Моё число больше. Новый диапазон — от 25 до 50. Его середина — 37.5, так что можно назвать 37 или 38. И так далее. Сколько раз 100 можно нацело делить пополам, пока диапазон не сузится до одного числа? Семи раз точно хватит, так как 2⁷>100. Коварный вариант Особенное коварство этого варианта в том, что он совсем не коварный! Друг может перезагадывать число сколько хочет — пока его ответы правдивы, это не имеет значения. С помощью бинарного поиска вы всё так же будете идти по половинным диапазонам. В худшем случае вам понадобится так же 7 попыток — потом диапазон сузится до 1 числа и перезагадывать будет уже некуда 👌 *** Идеей этой задачи с нами поделился дружественный Практикумовский телеграм-канала «Программирование и тестирование». В нём публикуют полезные материалы для начинающих разработчиков и тестировщиков, погружают в профессии и отвечают на вопросы. Заглядывайте в канал к ребятам, у них полезно, уютно и дружелюбно! ☺️

Привет! Сегодня у нас задачка про игру, даже в двух вариантах: обычном и коварном. ——————————————— Обычный вариант Представьте, что ваш друг загадал число от 1 до 100 включительно и просит вас его найти. Вы называете версию, а друг на каждую отвечает либо «моё число больше», либо «моё число меньше». Если вы угадали — он об этом тоже сообщает, и игра заканчивается. Ваш друг отвечает правдиво. Какая стратегия поможет угадывать число за минимальное количество попыток? Сколько попыток при такой стратегии вам точно хватит, чтобы угадать число? Коварный вариант Ваш друг снова загадал число из этого диапазона, и снова будет давать таке же правдвые ответы на ваши версии. Но теперь он будет мысленно перезагадывать число до тех пор, пока может это делать, не обращая в ложь все произнесённые ответы. Как те люди, что меняют положение кораблей в морском бое по ходу игры. 😅 Какая стратегия будет для вас эффективной в этом случае? Какое максмальное количество попыток понадобится теперь, чтобы загнать друга в угол и угадать последнее перезагаданное число? ——————————————— Ответы и решения ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом. Разбор задачи опубликуем в понедельник.

Почти-сфера в Вегасе Признаемся вам по секрету — мы тут немножко душнилы. Иногда любим докопаться до какой-нибудь мелочи. Если вы тоже, то сегодняшнее видео вам понравится. 😉  В Вегасе есть концертный зал в форме сферы, очень красивый и эффектный. Так вот. Вообще-то. Строго говоря. С точки зрения математики. Форма этого концертного зала — это не сфера, а только 79% от сферы. Более того, на сайте концертного зала в научном разделе(!) есть парочка ошибок. Например, в записи числа π верны только первые 20 знаков после запятой! Начиная с 21-го — идут какие-то странные цифры… Познакомиться с подробностями можно в захватывающем видео-расследовании. Его провёл Мэтт Паркер, один из наших любимых популяризаторов математики. Кстати, после этого видео ошибки на сайте исправили. А ещё говорят, что математика не нужна! Как минимум, она позволяет подушнить. 😁

В математике встречаются теоремы с пафосными названиями. 😅 Сразу приходит на ум Великая теорема Ферма — не просто «теорема Ферма о решениях такого-то вида», а именно Великая теорема Ферма. Есть и другие, не менее величественно звучащие. Например, основная теорема алгебры — не просто «теорема о количестве корней многочлена», а вот прям «основная(!) теорема алгебры (всей!)». Кажется, некоторые математики — прирождённые маркетологи. 😎 Ведь невозможно удержаться, чтобы не узнать, что же это за теорема такая. Не будем вас томить — расскажем. Немножко вспомним про комплексные числа Комплексные числа — это числа вида a+b*i, где i — это √(-1), a и b — действительные числа (это все наши обычные числа с любым количеством знаков после запятой). Действительные числа — тоже являются комплексными. Просто подставляем в определение b=0 и у нас остаётся только a. Формулировка теоремы Возьмём многочлен с комплексными коэффициентами. Основная теорема алгебры гласит, что если он имеет первую степень или выше — у него всегда существует по крайней мере один комплексный корень. Корень этот не всегда просто найти — но это уже детали. 🙃 Например, многочлены x²-2 и x⁶+x³+1 точно имеют хотя бы один комплексный корень. Да и вообще любые многочлены. :) Следствие У этой теоремы есть очень важное следствие, чаще всего используют именно его. Возьмём многочлен степени n — это значит, что максимальная степень переменной в нём равна n. Сколько у него корней? Хороший вопрос, на который чётко отвечает следствие основной теоремы алгебры: ровно n комплексных. Например, у любого многочлена третьй степени будет ровно 3 комплексных корня. В алгебре вообще часто ищут корни. Так что знать их количество — полезно, ведь так мы понимаем, когда точно можно остановиться в поисках! Нюанс В следствии теоремы есть небольшая хитрость. Например, рассмотрим многочлен x²-2x+1. Его коэффициенты — действительные, а значит, и комплексные тоже, так что к нему можно применить основную теорему алгебры и её следствие. Степень этого многочлена — вторая, значит, у него должны быть два корня. Чтобы найти их, разложим его на множители: x²-2x+1=(x-1)². Приравняем к нулю: (x-1)²=0, получим x=1, и всё, других нет. Следствие теоремы не верно? Верно, просто есть нюанс. 😁 Никто не говорит о том, что корни должны быть разные. Они могут совпадать! Всё потому, что у каждого корня есть кратность. Что такое кратность Каждый многочлен можно разложить на множители. Количество скобок, которые обнуляет корень, и называется его кратностью. Например, в уравнении (x-1)²=(x-1)(x-1)=0 корень x=1 обнуляет две скобки — значит, его кратность равна 2. В таких случаях математики считают, что исходный многочлен имеет два совпадающих корня. Так ничего не поломается! Ещё пример Многочлен четвёртой степени (x+i)(x-2)³ имеет такие корни: • x=-i — этот корень обнуляет одну скобку и имеет кратность 1, • x=2 — обнуляет три одинаковые скобки и поэтому имеет кратность 3. Итого степень у многочлена четвёртая, различных корней — два, но с учётом кратности — четыре корня, всё хорошо. Для желающих поупражняться Предлагаем найти все три комплексных корня многочлена x³-4x²+9x-36. Решения и ответы пишите под скрытым текстом.

Узнайте, какая профессия вам подходит, и получите скидку на обучение «Почему вы работаете в этой профессии?» На этот вопрос люди отвечают по-разному. Один пошёл туда, где казалось престижнее. Второй последовал настойчивому совету родителей. Третий пошёл за компанию с другом. Четвёртый родился в семье потомственных врачей, и тут всё понятно. А что насчёт собственных желаний и способностей? Разобраться в них бывает ох как непросто. Упорядочить мысли и понять, на что стоит обратить внимание, помогают профориентационные тесты. Да, их проходят не только подростки, но и люди с опытом работы. Предлагаем пройти бесплатный тест, который разработан методистами Практикума и МГУ. В результате вы получите отчёт с анализом профессиональных интересов и рекомендации по выбору профессий. Попробовать себя в новой профессии можно в бесплатной части подходящего курса в Яндекс Практикуме. До конца ноября в честь Чёрной Пятницы действует скидка 20% на все курсы, в том числе на курсы направления анализа данных: 📌«Математика для анализа данных», 📌«Аналитик данных», 📌«Специалист по Data Science». В комментариях можно поделиться своими результатами теста и тем, что вы о них думаете. 😁

Геометрическая прогрессия Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются в одно и то же число раз. Например: 1, 2, 4, 8, 16, … — здесь каждое следующее больше предыдущего в 2 раза. Такую последовательность тоже можно задать двумя числами: первым членом b₁ и знаменателем прогрессии q. В примере выше b₁=1 и q=2. Другие элементы. Элемент с номером n можно найти по формуле bₙ = b₁*qⁿ⁻¹. В примере выше 4-й член равен: b₄ = 1*2³ = 8. А 12-й элемент получится b₁₂ = 1*2¹¹ = 2048. Сумма первых n членов вычисляется по формуле: Sₙ = b₁(1-qⁿ)/(1-q). Например, сумма первых 12 членов нашей геометрической прогрессии будет равна S₁₂ = 1*(1-2¹²) / (1-2) = 4095. Прогрессии в жизни Прогрессии часто встречаются нам в реальной жизни. Например: - Большинство живых существ размножается в геометрической прогрессии. - Страшное словосочетание «сложные банковские проценты» — это тоже геометрическая прогрессия. - Литературный пример. Ямб и хорей — это два стихотворных размера, в каждом из которых ударение ставится на каждый второй слог. При этом, в ямбе номера ударных слогов — 2, 4, 6, 8, …, а в хорее — 1, 3, 5, 7, … — это арифметические прогрессии. Напоследок — несколько задач 1. Пусть есть арифметическая прогрессия, в которой первый член равен 3, а пятый равен 11. Посчитайте сумму первых десяти членов этой прогрессии. 2. Теперь возьмем геометрическую прогрессию. Пусть b₁=4 и q=-2. Чему равна сумма первых шести членов такой прогрессии? А чему равна сумма членов с пятого по десятый включительно?

Недавно мы рассказывали про последовательности. Выделяют несколько видов последовательностей, у которых есть полезные свойства. Сегодня расскажем про арифметическую и геометрическую прогрессии. У них два полезных свойства: - можно быстро найти любой элемент по его номеру: пятый, десятый, сто двадцатый; - можно быстро найти сумму любого количества первых элементов. А в математике всё, что быстро, особенно вдохновляет! Арифметическая прогрессия Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются на одно и то же число. Например: 1, 3, 5, 7, 9, … — здесь каждое следующее больше предыдущего на 2. Такую последовательность можно задать двумя числами: первым членом a₁ и разностью прогрессии d. В примере выше a₁ = 1, d = 2. Другие элементы. С помощью этих двух чисел мы можем посчитать любой элемент прогрессии. Элемент под номером n: aₙ = a₁ + (n-1)*d. В примере третий элемент: a₃ = 1 + (3-1)*2 = 1 + 4 = 5 — так и есть! А например, 32-й элемент: a₃₂ = 1 + (32-1)*2 = 1 + 62 = 63. Сумма первых n членов. Формула выглядит так: Sₙ = (a₁ + aₙ)*n / 2. Элемент aₙ можно найти через первый член и разность, так что всю сумму можно выразить через них: Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)*n / 2. Все формулы ещё отдельно положим в комметарии ко второй части поста. Посчитаем сумму первых 32 элементов нашей прогрессии: 1 +3+5+7+…+63 = (2*1 + (32-1)*2)*32 / 2 = 64*32 / 2 = 1024. Вуаля! Вот так быстро с помощью одной формулы мы посчитали сумму 32 чисел.

Привет! Раскрываем секрет Понедельнечная задача не просто так была про торт, и свечка на нём — не просто так в форме единички. Это была такая настроенческая подводка к сегодняшнему празднику: cегодня у телеграм-канала «Практически математически» день рождения! 🎉 Немного сантиментов Год назад мы опубликовали первый пост, и было много сомнений: будет ли нам о чём писать, будет ли кто-то это читать. А теперь здесь уютная математическая тусовка! Мы очень рады каждому подписчику. Вы любознательные, умные, отзывчивые и просто классные! Без вас и ваших реакций так здорово бы не получилось. Спасибо вам ❤️  Если хотите нас поздравить Не сдерживайте себя, нам будет очень приятно! Например, можете рассказать о нас своим знакомым — это замечательный подарок для телеграм-канала ;) Ну и мы, конечно, всегда рады лайкам, комментариям и репостам.